Enunciado

Você pendura um aro fino de raio R em um prego na periferia do aro. Você o desloca lateralmente (dentro do plano do aro) até um ângulo β a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Qual é sua velocidade angular quando ele retorna para sua posição de equilíbrio? (Sugestão: Use a Equação (9.18).)

Passo 1

O centro do Aro é deslocado de sua posição de equilíbrio até uma altura y c m tendo uma de suas partes presa por um prego, assim como pode ser observado na figura:

Pelo princípio da conservação de energia, teremos que o movimento parte do repouso, finalizando nossa observação quando y c m = 0 , ou seja, quando a Energia Potêncial final for nula.

Passo 2

Seguindo a lógica sugerida no Passo 1, temos que

U I = K f

m g y c m = I ω 2 2

Passo 3

Agora devemos relacionar as variáveis y c m e I em função das váriáveis já conhecidas, R e β .

Pela figura do Passo 1, podemos observar que

y c m = R – R c o s β = R 1 - c o s β

Além disso, temos que I c m = M R 2 . Entretanto para calcular o Momento de Inécia que o aro terá para girar sobre o ponto fixado, temos que usar o Teorema dos eixos paralelos, ou seja

I = I c m + M d 2

Como d = R para o nosso problema, temos que:

I = 2 M R 2

Passo 4

Por fim temos que

m g R 1 – c o s β = M R 2 ω 2 2

Isolando ω :

ω = g 1 – c o s β R

Resposta

ω = g 1 – c o s β R

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o momento de inércia do paralelogramo em relação ao eixo x¿, que passa pelo centroide C da área.
Determine o produto de inércia da área sombreada em relação aos eixos x e y .
Determine o produto de inércia do paralelogramo em relação aos eixos x e y .
Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo x ' passando pelo seu centroide C .
Determine o momento de inércia de massa da manivela em relação ao eixo x . O material é aço, com densidade ρ = 7,85M g / m 3 .