Enunciado

Dois pontos pertencem a um disco que gira, com velocidade angular crescente, em torno de um eixo fixo que passa perpendicularmente pelo centro do disco. Um ponto está na borda e o outro ponto está a meio caminho entre a borda e o centro. (a) Qual dos pontos percorre uma distância maior em dado tempo? (b) Qual dos pontos varre o maior ângulo? (c) Qual dos pontos tem a maior rapidez? (d) Qual dos pontos tem a maior rapidez angular? (e) Qual dos pontos tem a maior aceleração tangencial? (f) Qual dos pontos tem a maior aceleração angular? (g) Qual dos pontos tem a maior aceleração centrípeta?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos dois pontos sobre um disco que gira com velocidade crescente. Eles estão nessas posições:

Vamos usar essa imagem para analisar nossos itens. Bora lá!

Passo 2

Item (a): Ele quer saber qual ponto percorre maior distância.

A distância percorrida pelo ponto 1 é o comprimento da borda do disco, certo? Se a gente disser que o disco tem raio R , a distância percorrida é

Δ S 1 = 2 π R

Já para o ponto 2, temos também uma trajetória circular, mas o raio da trajetória é menor e vale R / 2 , assim a distância percorrida é

Δ S 2 = 2 π R 2 = π R

Assim, vemos que o ponto na borda percorre uma maior distância, pois possui um raio de giração (raio da trajetória) maior.

Passo 3

Item (b):

Então, se o disco der uma volta completa em torno do eixo, nossos dois pontos voltam a mesma posição da nossa imagem, certo?

Ou seja, se o disco gira um ângulo θ , todos os pontos vão sofrer esse mesmo deslocamento angular.

Então, a gente pode dizer que os dois pontos varem a mesma angulação.

Passo 4

Item (c):

Cara, a rapidez de um ponto sobre um disco que roda é dada por

v = r ω

Onde r é o raio da trajetória (raio de giração) e ω é a rapidez angular que é igual para todos os pontos no disco.

Então o que a gente precisa fazer é comparar são os raios de giração. Quanto maior o raio, maior a rapidez. O ponto na borda tem raio R e de dentro tem raio R / 2 .

Assim o ponto na borda tem maior rapidez, pois possui um raio de giração maior.

Passo 5

Item (d):

Como falamos antes, todos os pontos tem a mesma rapidez angular. Por que? A rapidez angular é dada por

ω = d θ d t

Ou seja, é a taxa de variação do deslocamento angular θ .

Já que o deslocamento angular é o mesmo para todos os pontos do disco, a variação desse deslocamento em relação ao tempo também vai ser a mesma.

Então os dois pontos possuem a mesma rapidez angular.

Passo 6

Item (e):

Cara, a aceleração tangencial de um ponto sobre um disco que roda é dada por

a t = r α

Onde r é o raio da trajetória (raio de giração) e α é a aceleração angular que é igual para todos os pontos no disco.

Então o que a gente precisa comparar são os raios de giração. Quanto maior o raio, maior a aceleração tangencial. O ponto na borda tem raio R e de dentro tem raio R / 2 .

Assim o ponto na borda tem maior aceleração tangencial, pois possui um raio de giração maior.

Passo 7

Item (f):

Como falamos antes, todos os pontos tem a mesma rapidez angular ω , né? E quem é a aceleração angular? É a taxa de variação da rapidez angular:

α = d ω d t

Já que a rapidez angular é a mesma para todos os pontos do disco, a variação dessa rapidez em relação ao tempo também vai ser a mesma.

Então os dois pontos possuem a mesma aceleração angular.

Passo 8

Item (g):

A aceleração centrípeta é aquela que tem essa fórmula:

a c p = v 2 r

Mas a gente viu que a rapidez v vale:

v = r ω

Vamos substituir isso ali em cima:

a c p = r 2 ω 2 r

a c p = r ω 2

Onde r é o raio da trajetória (raio de giração) e ω é a rapidez angular que é igual para todos os pontos no disco.

Então o que a gente precisa comparar são os raios de giração. Quanto maior o raio, maior a aceleração centrípeta. O ponto na borda tem raio R e de dentro tem raio R / 2 .

Como o ponto da borda que possui maior raio, possui a maior aceleração centrípeta.

Resposta

a) o da borda, b) ambos varrem o mesmo ângulo, c) o da borda, d) ambos tem a mesma rapidez angular, e) o da borda, f) ambos tem a mesma aceleração angular, g) o da borda

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