Enunciado

Repita o Problema 22.63 , porém agora supondo que a esfera da esquerda possua carga Q e que a esfera da direita possua carga - Q .

Passo 1

Para iniciarmos esse exercício, precisamos lembrar que o campo elétrico no interior de uma esfera isolante, com raio R e carga distribuída uniformemente no seu volume, é dado por

E = Q 4 π ϵ 0 r R 3

E o campo elétrico na parte externa dessa mesma esfera é dado por:

E = Q 4 π ϵ 0 1 r 2

Onde r é a distância entre o centro da esfera até um determinado ponto, podemos usar essa equação e calcular o resultado para cada ponto dado, verificando se o ponto se encontra dentro ou fora de cada esfera.

Nesse caso, a esfera que possui carga positiva distribuída em seu volume tem seu campo elétrico apontando para fora do seu centro, enquanto que a esfera que possui carga negativa tem seu campo elétrico apontado para dentro do seu centro.

Além disso, vamos representar os campos elétricos das esferas de acordo com suas posições no eixo O x , ou seja, E 0 e E 2 R , tal que o campo resultante é a soma delas.

Passo 2

Dessa forma, para x = 0 , o campo elétrico da esfera centralizada na origem será:

E 0 = Q 4 π ϵ 0 0 R 3 = 0

Pelo fato da distância entre o ponto em questão e o seu centro ser nulo.

Já para a outra esfera:

E 2 R = Q 4 π ϵ 0 1 2 R 2 = Q 16 π ϵ 0 1 R 2

E tem sentido para a direita (lembrando que o seu campo flui para dentro do seu centro).

Portanto, o campo elétrico resultante é:

E T = E 0 + E 2 R = 0 + Q 16 π ϵ 0 1 R 2

E T = Q 16 π ϵ 0 1 R 2

No sentido positivo do eixo x , ou ainda:

E → T = Q 16 π ϵ 0 1 R 2 + i ^

Passo 3

Analogamente, para x = R / 2 , o campo elétrico da esfera centralizada na origem será:

E 0 = Q 4 π ϵ 0 R / 2 R 3 = Q 8 π ϵ 0 1 R 2

Com sentido para a direita.

Já para a outra esfera:

E 2 R = Q 4 π ϵ 0 1 R + R / 2 2 = Q 9 π ϵ 0 1 R 2

Direcionado para a direita.

Portanto, o campo elétrico resultante é:

E T = E 0 + E 2 R = Q 8 π ϵ 0 1 R 2 + Q 9 π ϵ 0 1 R 2

E T = 17 Q 72 π ϵ 0 1 R 2

No sentido positivo do eixo x , ou ainda:

E → T = 17 Q 72 π ϵ 0 1 R 2 + i ^

Passo 4

Agora, para x = R , o campo elétrico de ambas as esferas será dado por:

E 0 = E 2 R = Q 4 π ϵ 0 1 R 2

Pelo fato da distância entre o ponto e os seus centros serem iguais.

Ainda, como o ponto se encontra entre as esferas e seus campos apontam em sentidos diferentes, somando esses campos elétricos temos:

E T = E 0 + E 2 R = Q 4 π ϵ 0 1 R 2 + Q 4 π ϵ 0 1 R 2

Portanto:

E T = Q 2 π ϵ 0 1 R 2

No sentido positivo de x , ou:

E → T = Q 2 π ϵ 0 1 R 2 + i ^

Passo 5

Por fim, para x = 3 R , o campo elétrico da esfera centralizada na origem será:

E 0 = Q 4 π ϵ 0 1 3 R 2 = Q 36 π ϵ 0 1 R 2

No sentido + x .

Já para a outra esfera:

E 2 R = Q 4 π ϵ 0 1 R 2 = Q 4 π ϵ 0 1 R 2

Também no sentido - x .

Portanto, o campo elétrico resultante é:

E T = E 0 + E 2 R = Q 36 π ϵ 0 1 R 2 - Q 4 π ϵ 0 1 R 2

E T = - 8 Q 36 π ϵ 0 1 R 2 = - 2 Q 9 π ϵ 0 1 R 2

No sentido negativo do eixo x , ou ainda:

E → T = 2 Q 9 π ϵ 0 1 R 2 - i ^

Resposta

a   Q 16 π ϵ 0 1 R 2 + i ^

b   17 Q 72 π ϵ 0 1 R 2 + i ^

c   Q 2 π ϵ 0 1 R 2 + i ^

d   2 Q 9 π ϵ 0 1 R 2 - i ^

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