Enunciado

a Uma esfera isolante com raio a possui uma densidade de carga uniforme ρ . A esfera não está centralizada na origem, porém seu centro está localizado no ponto r → = b → . Demonstre que o campo elétrico no interior da esfera é dado por E → = ρ r → - b → / 3 ϵ 0 . b Uma esfera isolante com raio R possui um buraco esférico com raio a , localizado no interior de seu volume, e está centralizado em um ponto a uma distância b do centro da esfera, em que a < b < R (uma seção reta da esfera é indicada na Figura 22.42 ). a parte maciça da esfera possui uma densidade volumétrica de carga ρ uniforme. Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico E → no interior do buraco e mostre que E → é uniforme em todos os pontos do volume do buraco. (Sugestão: Use o princípio da superposição e o resultado do item a .)

Passo 1

Lembrando que o campo no interior de uma esfera uniforme carregada e localizada na origem é dado por

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r → R 3

Podemos usar essa equação e adaptar ao nosso caso em que a esfera está deslocada da origem em uma certa distância. Se no centro r → = 0 e a esfera está deslocada para r → = b → , então o novo vetor posição dela é dado por r → - b → e, então:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r → - b → R 3

Passo 2

Como sabemos, o campo elétrico no centro da esfera é nulo devido ao fato do seu valor depender da distância entre um determinado ponto até o seu centro. Pensando nisso, podemos considerar a esfera isolante com raio R e densidade volumétrica ρ e dizer que o buraco seria outra esfera, porém com densidade - ρ e localizada em r → = b → , visto que nesse caso o campo elétrico é nulo em r → = b → .

Dessa forma, deixando a equação do campo elétrico encontrada no Passo 1 em função da densidade superficial volumétrica, temos:

E → = ρ r → 3 ϵ 0

Tal que o campo resultante será dado pela soma dos campos das duas esferas consideradas. Então:

E → T = ρ r → 3 ϵ 0 + - ρ r → - b → 3 ϵ 0

Portanto:

E → T = ρ b → 3 ϵ 0

Um detalhe para ficarmos atentos é o fato de que, como o campo elétrico não depende da distância r → , então o campo é uniforme em toda a região do interior do buraco e a sua direção e sentido são definidos pelo vetor b → .

Resposta

b   ρ b → 3 ϵ 0

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