Enunciado

Seja   B → = ( 5,0   m ,   60 °   e m   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   a   p a r t i r   d a   v e r t i c a l ) . Determine os componentes x e y de   B → em cada um dos sistemas de coordenadas mostrados na FIGURA EX3.18.

Passo 1

Vamos começar com o sistema de coordenadas (a) porque é aquele convencional, que já estamos acostumados, beleza?

Vamos desenhar o vetor   B → no sistema de coordenadas (a):

Pronto, temos o vetor   B → , fazendo um ângulo de 60 ° com a vertical, e está no segundo quadrante porque a questão nos disse que esse ângulo era partindo na vertical e caminhando no sentido anti-horário, beleza?

Passo 2

Para calcular as componentes vamos usar aquele macetinho esperto:

A componente que está COlada com o ângulo é igual ao módulo do vetor vezes o COsseno do ângulo. Já a componente que está SEparada do ângulo é igual ao módulo do vetor vezes o SEno do ângulo.

B x = - B   s e n   60 °

B y = B cos ⁡ 60 °

Nota que para a componente x tem um sinal de negativo acompanhando. Esse sinal é pra indicar que essa componente está apontando no sentido contrário ao sentido do eixo x . Beleza?

A questão nos deu o módulo do vetor:

B = 5,0   m

E sabemos que:

s e n   60 ° = 3 2

cos ⁡ 60 ° = 1 2

Então, as componentes serão:

B x = - 4,3   m

B y = 2,5   m

Lembrando que temos os vetores unitários i ^ e j ^ para representar as direções dos eixos x e y , respectivamente, podemos escrever o vetor   B → assim:

B → = - 4,3 i ^ + 2,5 j ^   m

Passo 3

Agora, vamos para o sistema de coordenadas (b), aquele que não estamos acostumados.

Vamos desenhar o vetor   B → nesse sistema:

Vamos lá, o vetor   B → faz um ângulo de 60 ° com a vertical no sentido anti-horário, mas agora o sistema de coordenadas foi rotacionado em 30 ° no sentido anti-horário, isso quer dizer que ele faz um ângulo de 30 ° com a horizontal e com a vertical no sentido anti-horário. E é isso que está mostrando a figura acima, beleza?

O ângulo que o vetor   B → faz com o eixo y do sistema de coordenadas é de 30 ° porque fazemos 60 ° - 30 ° , como a figura também mostra.

Agora que sabemos o ângulo que o vetor faz com o eixo y podemos achar as componentes.

Passo 4

Aquele mesmo macete para calcular as componentes:

COlado – COsseno, SEparado – SEno

B x = - B   s e n   30 °

B y = B cos ⁡ 30 °

Já sabemos o módulo:

B = 5,0   m

E sabemos que:

s e n   3 0 ° = 1 2

cos ⁡ 3 0 ° = 3 2

Então:

B x = - 2,5   m

B y = 4,3   m

Escrevendo em termos de i ^ e j ^ :

B → = - 2,5 i ^ + 4,3 j ^   m

Resposta

Sistema de coordenadas (a): B → = - 4,3 i ^ + 2,5 j ^   m

Sistema de coordenadas (b): B → = - 2,5 i ^ + 4,3 j ^   m

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