Enunciado

Seja   A → = 5 i ^ + 2 j ^ e B → = - 3 i ^ - 5 j ^ e F → = A → - 4 B →

  1. Expresse o vetor F → em termos de componentes.
  2. Desenhe um sistema de coordenadas e sobre ele represente os vetores A → , B → e F → .
  3. Qual é o módulo e qual é a orientação do vetor F → ?

Passo 1

  1. Expresse o vetor F → em termos de componentes.
  2. Antes de começarmos a fazer a questão, tenho uma informação que é importante saber: Os vetores unitários i ^ , j ^ , são vetores que indicam a direção dos eixos x e y , respectivamente, no plano cartesiano. Então, se eu digo que um vetor   v → = ( 2 i ^ + 4 j ^ ) , eu quero dizer que sua componente no eixo x , v x , vale 2 e sua componente no eixo y , v y , vale 4, okay?

    Então bora.

    O vetor   F → é uma subtração entre os vetores A → e   4 B → . O vetor   A → a gente já conhece, porque foi dado na questão, precisamos saber quem é o vetor 4 B → . Para encontrarmos vamos multiplicar cada componente do vetor  B → pelo escalar correspondente:

    4 B → = 4 - 3 i ^ - 5 j ^ = - 12 i ^ - 20 j ^

    Agora, para obtermos o vetor   F → , basta subtrairmos as componentes dos vetores A → e   4 B → .

    F →     = A → - 4 B → = 5 i ^ + 2 j ^ - - 12 i ^ - 20 j ^

    F → = 17 i ^ + 22 j ^  

    Sempre subtraindo, componente x com componente x e componente y com componente y , beleza?

    Passo 2

  3. Desenhe um sistema de coordenadas e sobre ele represente os vetores A → , B → e F → .
  4. Para desenharmos os vetores em um plano cartesiano precisamos saber quais são as componentes x e y desses vetores. E a questão nos fornece isso em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ .

    Para o vetor   A → :

    A x = 5

    A y = 2

    Para o vetor   B → :

    B x = - 3

    B y = - 5

    E para o vetor   F → a questão não deu, mas nós encontramos na letra a:

    F x = 1 7

    F y = 22

    Agora podemos desenhar esses vetores no plano cartesiano:

    Passo 3

  5. Qual é o módulo e qual é a orientação do vetor F → ?

Para essa daqui, precisamos lembrar algumas coisinhas:

O módulo de um vetor   v → é dado por:

v = v x 2 + v y 2

Só precisamos saber de mais uma coisinha. Quando a questão está nos pedindo a orientação do vetor, ela está querendo saber qual o ângulo que o vetor faz com um dos eixos da sua escolha, mas lembra que esse eixo deve estar bem especificado beleza?

Da uma olhada aqui:

O vetor   v → faz um ângulo θ acima do semi-eixo x positivo. É essa informação que a questão quer saber quando nos pede a orientação.

Mas precisamos saber exatamente quem é esse ângulo θ . Levando em consideração sempre o ângulo que o vetor faz com o eixo x , podemos usar a seguinte fórmula para achar o ângulo:

θ = a r c t g   v y v x

Foi?? Agora estamos prontos pra resolver

Passo 2

Como já conhecemos as componentes do vetor   F → , vamos calcular o módulo:

F = F x 2 + F y 2

F = 1 7 2 + 22 2

F = 27,8

Esse vetor faz um ângulo θ acima do semi-eixo x positivo:

Vamos achar esse ângulo, utilizando a fórmula:

θ = a r c t g   F y F x

θ = a r c t g   22 1 7

θ = 52,3 °

Então, temos que o vetor   F → tem módulo igual a 27,8 e está à 52,3 ° acima do semi-eixo x positivo.

Resposta

  1. F → = 17 i ^ + 22 j ^
  2. O vetor   F → tem módulo igual a 27,8 e está à 52,3 ° acima do semi-eixo x positivo.
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