Enunciado

Seja   A → = 5 i ^ + 2 j ^ e B → = - 3 i ^ - 5 j ^ e E → = 2 A → + 3 B →

  1. Expresse o vetor E → em termos de componentes.
  2. Desenhe um sistema de coordenadas e sobre ele represente os vetores A → , B → e E → .
  3. Qual é o módulo e qual é a orientação do vetor E → ?

Passo 1

  1. Expresse o vetor E → em termos de componentes.
  2. Antes de começarmos a fazer a questão, tenho uma informação que é importante saber: Os vetores unitários i ^ , j ^ , são vetores que indicam a direção dos eixos x e y , respectivamente, no plano cartesiano. Então, se eu digo que um vetor   v → = ( 2 i ^ + 4 j ^ ) , eu quero dizer que sua componente no eixo x , v x , vale 2 e sua componente no eixo y , v y , vale 4, okay?

    Então bora.

    O vetor   E → é uma soma entre os vetores 2 A → e   3 B → , então precisamos saber quem são esses vetores. Para encontrarmos vamos multiplicar cada componente dos vetores   A → e   B → pelo escalar correspondente:

    2 A → = 2 5 i ^ + 2 j ^ = 10 i ^ + 4 j ^

    3 B → = 3 - 3 i ^ - 5 j ^ = - 9 i ^ - 15 j ^

    Agora, para obtermos o vetor   E → , basta somarmos as componentes dos vetores 2 A → e   3 B → .

    E →     = 2 A → + 3 B → = 10 i ^ + 4 j ^ + - 9 i ^ - 15 j ^

    E → = 1 i ^ - 11 j ^  

    Sempre somando, componente x com componente x e componente y com componente y , beleza?

    Passo 2

  3. Desenhe um sistema de coordenadas e sobre ele represente os vetores A → , B → e E → .
  4. Para desenharmos os vetores em um plano cartesiano precisamos saber quais são as componentes x e y desses vetores. E a questão nos fornece isso em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ .

    Para o vetor   A → :

    A x = 5

    A y = 2

    Para o vetor   B → :

    B x = - 3

    B y = - 5

    E para o vetor   E → a questão não deu, mas nós encontramos na letra a:

    E x = 1

    E y = - 11

    Agora podemos desenhar esses vetores no plano cartesiano:

    Passo 3

  5. Qual é o módulo e qual é a orientação do vetor E → ?

Para essa daqui, precisamos lembrar algumas coisinhas:

O módulo de um vetor   v → é dado por:

v = v x 2 + v y 2

Só precisamos saber de mais uma coisinha. Quando a questão está nos pedindo a orientação do vetor, ela está querendo saber qual o ângulo que o vetor faz com um dos eixos da sua escolha, mas lembra que esse eixo deve estar bem especificado beleza?

Da uma olhada aqui:

O vetor   v → faz um ângulo θ acima do semi-eixo x positivo. É essa informação que a questão quer saber quando nos pede a orientação.

Mas precisamos saber exatamente quem é esse ângulo θ . Levando em consideração sempre o ângulo que o vetor faz com o eixo x , podemos usar a seguinte fórmula para achar o ângulo:

θ = a r c t g   v y v x

Foi?? Agora estamos prontos pra resolver

Passo 2

Como já conhecemos as componentes do vetor   E → , vamos calcular o módulo:

E = E x 2 + E y 2

E = 1 2 + - 11 2

E = 11,05

Esse vetor faz um ângulo θ abaixo do semi-eixo x positivo:

Vamos achar esse ângulo, utilizando a fórmula:

θ = a r c t g   E y E x

θ = a r c t g   11 1

θ = 84,8 °

Então, temos que o vetor   E → tem módulo igual a 11,05 e está à 84,8 ° abaixo do semi-eixo x positivo.

Resposta

  1. E → = 1 i ^ - 11 j ^
  2. O vetor   E → tem módulo igual a 11,05 e está à 84,8 ° abaixo do semi-eixo x positivo.
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