Enunciado

Sob determinadas circunstâncias, uma estrela pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto extremamente denso, constituído principalmente por nêutrons e chamado estrela de nêutrons. A densidade de uma estrela de nêutrons é aproximadamente 10 14 vezes maior do que a da matéria comum. Suponha que a estrela seja uma esfera maciça e homogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela era de 7,0   x   10 5   k m (comparável com o raio do Sol); seu raio final é igual a 16   k m . Supondo que a estrela original completava um giro em 30   d i a s , ache a velocidade angular da estrela de nêutrons.

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? O enunciado nos diz que a densidade de uma estrela de nêutrons é aproximadamente 10 14 vezes maior do que a da matéria comum.

Suponha que a estrela seja uma esfera maciça e homogênea antes e depois do colapso.

O raio inicial da estrela era de 7,0   x   10 5   k m (comparável com o raio do Sol); seu raio final é igual a 16   k m .

Queremos encontrar a velocidade angular da estrela de nêutrons supondo que a estrela original completava um giro em 30   d i a s .

Bom... o enunciado parece ser bem doido, né? Mas fica tranquilo que vamos solucionar essa questão falando de conservação do momento angular.

Passo 2

Precisamos lembrar que a fórmula do momento angular L era essa aqui:

L = I ω

Onde ω é a velocidade angular e I é o momento de inércia.

Então, como se trata de conservação para o momento angular acontece da seguinte forma:

Quando o torque externo resultante que atua sobre

um sistema é igual a zero, o momento angular do

sistema permanece constante (se conserva).”

Ou seja, isso quer dizer que existe a seguinte igualdade entre os momentos angulares final e inicial:

L i = L f

Logo:

I i ω i = I f ω f

Agora sabemos relacionar os dados da estrela antes e depois de colapsar.

Passo 3

Belezera, a malandragem agora é que precisamos encontrar o momento de inércia inicial I i e final I f da estrela. Pra isso, podemos supor que a estrela é perfeita esférica e maciça, e lembrar que o momento de inércia de uma esfera maciça em relação a um eixo que passa pelo seu centro, é dado como:

I = 2 5 M R 2

Ou seja, para o momento de inércia inicial, teremos que:

I i = 2 5 M R i 2

E para o momento de inércia final, temos:

I f = 2 5 M R f 2

Como a massa da estrela não se altera, temos que ela é igual no momento inicial e no final. Então substituindo essas informações na igualdade dos momentos angulares, teremos que:

I i ω i = I f ω f

2 5 M R i 2 ω i = 2 5 M R f 2 ω f

Cortando os termos que se repetem:

R i 2 ω i = R f 2 ω f

Isolando ω f :

ω f = ω i R i R f 2

Passo 4

Iradoso, agora a frequência angular inicial ω i , temos no enunciado a suposição de que a estrela original complete um giro em 30 dias . Precisamos saber quantos segundos há em um dia, de forma que:

1   h =   3   600   s

24   h   =   86   400   s

Logo em 30   dias :

30   dias = 30 × 86   400   s

30   dias = 2,6 × 10 6   s

E como a estrela realiza uma volta 2 π   rad , nesse tempo, teremos que a velocidade angular inicial será:

ω i = 2 π   rad 2,6 × 10 6   s

ω i = 2,4 × 10 - 6   rad/s

Prontinho! Agora é só a gente substituir os dados do enunciado na fórmula:

Substituindo os dados, temos:

ω f = ω i R i R f 2

ω f = 2,4 × 10 - 6   rad/s 7,0 × 10 5   km   16   km 2

ω f = 4,6 × 10 3   rad/s

Resposta

ω f = 4,6 × 10 3   rad/s .

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