Enunciado

Uma soprano e um baixo estão cantando um dueto. Enquanto a soprano canta um la sustenido a 932   H z , o baixo canta um lá sustenido, porém três oitavas mais baixo. Nessa sala de concertos, a densidade do ar é 1,20   k g / m 3 , e o módulo de compressão é 1,42 × 10 5 P a . Para que suas notas tenham o mesmo nível de intensidade sonora, qual deve ser a) a razão entre a amplitude de pressão do baixo e a amplitude de pressão da soprano, e b) a razão da amplitude de deslocamento do baixo e a amplitude de deslocamento da soprano? C) que amplitude de deslocamento (em m e n m ) a soprano produz ao cantar seu lá sustenido com 72,0   d B ?

Passo 1

a) Beleza, para a gente encontrar a razão entre as amplitudes, vamos usar a equação de intensidade da onda:

I = v p m á x 2 2 B

E então igualamos a intensidade da soprano com a intensidade do baixo, vamos usar os subíndices 1 para a soprano e 2 para o baixo:

I 1 = I 2

A única diferença entre a onda sonora produzida pela soprano e a onda produzida pelo baixo é a amplitude de pressão, porque a velocidade no ar continua sendo a mesma e o módulo de compressão também, então:

v p m á x 1 2 2 B = v p m á x 2 2 2 B

Simplificando tudo:

p m á x 1 = p m á x 2

Passando tudo para um lado para fazer a razão:

p m á x 1 p m á x 2 = 1,00

Passo 2

b) Vamos seguir o mesmo raciocínio da letra a), a diferença aqui é a equação que a gente vai usar para a intensidade:

I = 1 2 ρ B ω 2 A 2

Igualamos as duas intensidades:

I 1 = I 2

Nesse caso, tanto a amplitude de deslocamento quanto a frequência são diferentes para os dois casos, o resto é igual, porque está relacionado ao ar, como a temperatura não muda, tudo continua a mesma coisa:

1 2 ρ B ω 1 2 A 1 2 = 1 2 ρ B ω 2 2 A 2 2

Simplificando:

ω 1 A 1 = ω 2 A 2

Escrevendo em termos da frequência f :

f 1 A 1 = f 2 A 2

Passo 3

Uma das frequências foi dada no enunciado, que é a da soprano, como o baixo canta três oitavas mais baixo, a soprano está cantando numa frequência oito vezes maior:

f 1 = 8 f 2

Porque para cada oitava acima do baixo, a gente multiplica a frequência dele por 2, sua frequência então vai ser:

f 2 = f 1 8 = 932   H z 8 = 116,5   H z

Substituindo na equação do Passo 2:

A 2 A 1 = f 1 f 2 = 932   H z 116,5   H z = 8,00

Passo 4

c) Vamos usar a equação de nível de intensidade sonora:

β = 10   d B log ⁡ I I 0

Substituir o valor dado:

10   d B log ⁡ I I 0 = 72,0   d B

E encontrar I :

log ⁡ I 1,0 × 10 - 12   W / m 2 = 72,0   d B 10   d B

I = 1,585 × 10 - 5   W / m 2

E agora usamos esse valor na equação de intensidade para encontrarmos a amplitude de deslocamento da onda produzida pela soprano:

I = 1 2 ρ B ω 2 A 2

A = 1 2 π f 2 I ρ B

Substituindo os valores:

A = 1 2 π 932   H z 2 1,585 × 10 - 5   W / m 2 1,20 k g m 3 1,42 × 10 5   P a

A = 4,73 × 10 - 8   m = 47,3   n m

Usamos a densidade do ar e o módulo de compressão dados pelo enunciado.

Resposta

a   1,00

b   8,00

c   A = 4,73 × 10 - 8   m = 47,3   n m

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