Enunciado

Suponha que uma corda de violino de 40,0 cm de comprimento tenha uma massa de 1,20 g e esteja vibrando em seu modo fundamental a uma frequência de 500 Hz. (a) Qual é o comprimento de onda da onda estacionária na corda? (b) Qual é a tensão na corda? (c) Onde você deve colocar o dedo para aumentar a frequência fundamental para 650 Hz?

Passo 1

a) Vamos interpretar a situação que temos aqui. A gente quer analisar a onda estacionária formada na corda de um violino.

Como as cordas ficam no violino? Elas ficam presas nas duas extremidades né? Então temos a situação aqui de uma corda presa nas duas extremidades.

Para a letra (a), queremos o comprimento da onda na corda. Aí basta a gente usar a equação que relaciona o comprimento da corda com o comprimento de onda no modo fundamental quando as duas extremidades estão presas. Essa é a equação:

L = λ 2

Isolamos λ :

λ = 2 L = 2 40.0   c m = 80.0   c m

Obs: Essa ficou diferente do gabarito, mas estamos certinhos, tá?

Passo 2

b) Nós já temos o valor do comprimento de onda no modo fundamental, e temos também a massa e o comprimento, além da frequência.

Uma expressão onde aparece a tensão na corda para ondas é essa aqui

v = T μ

Nela μ é a densidade linear da corda e v é a velocidade da onda. Mas a gente não tem v , né? Mas calma! A gente tem outra expressão para v :

v = λ f

E nós temos λ e frequência da onda.

E então igualamos as duas para calcularmos a tensão T:

λ f = T μ

T = λ 2 f 2 μ

Passo 3

Poxa, e esse μ , aí? Como a gente faz? Cara, a gente pode escrever a expressão dele. Ele é a densidade linear da corda. Então é a massa da corda dividida pelo seu comprimento.

μ = m L

Substituindo na expressão de T :

T = λ 2 f 2 μ

T = λ 2 f 2 m L

Substituindo os valores que temos:

T = 0.800 m 2 500 s - 1 2 1.20 × 10 - 3 k g 0.400   m = 480 N

Repara que a gente passou nossas medidas de comprimento para metros e a de massa para quilos.

E isso responde a letra (b).

Passo 4

(c) Quando colocamos o dedo na corda de um violino, encurtamos a distância entre os dois pontos fixos da corda, pois um deles passa a ser onde o seu dedo está segurando. É como se a corda ainda estivesse pressa em duas extremidades, mas uma delas mudou de lugar.

Precisamos então comparar a equação que relaciona a frequência e o comprimento da corda para a corda com as extremidades inicias e a corda com as extremidades novas. Aí achamos o comprimento da corda na situação nova e assim, a posição da nova extremidade.

Vimos que para nossa corda presas nas extremidades

L = λ 2

Lembrando que v = λ f → λ = v / f e substituído:

L = v 2 f

Essa é a relação entre o comprimento (distância entre extremidades da corda) L = 40   c m da corda no início e a frequência nessa corda. Para a corda com as novas extremidades, o que muda é o comprimento da corda e a frequência. Então

L ' = v 2 f '

As velocidades não variam porque as ondas se propagam no mesmo meio. Fazendo a razão entre as duas equações para comparar as duas frequências

L ' L = f f '

E então isolamos L ’ que é o ‘novo comprimento’ da corda e substituímos os dados

L ' = f f ' L = 500 H z 650   H z 40.0 c m = 30.77   c m

E então fazemos a subtração do comprimento original pelo novo, para sabermos a que distância da extremidade seu dedo deve segurar:

d = 40.0 c m - 30.77 c m = 9.2 c m

Resposta

a λ = 80.0 c m

b T = 480 N

( c ) d = 9.2 c m

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