Enunciado

Suponha que o observador no Problema 33 se encontre em um ponto de intensidade mínima em x = 15 m, y = 0. Qual é então a frequência mais baixa e a próxima menor frequência das fontes consistentes com esta observação?

Passo 1

No problema anterior, a intensidade era máxima no ponto onde ele estava parado, e diminuía quando ele andava para -y e +y, o que significava que havia uma interferência construtiva entre as ondas no ponto y=0. No problema atual a situação se inverte, ou seja, a intensidade aumenta exatamente quando ele começa a se deslocar para -y ou +y, o que significa que em y=0 a interferência é destrutiva, pela equação da interferência destrutiva:

∆ r = n λ 2

Sendo ∆ r é a diferença de caminho das ondas de cada fonte:

∆ r = r B - r A

Passo 2

Sabemos que r A é a distância entre o observador e a fonte que está na mesma linha horizontal que ele, ou seja, y=0 para ambos e r A = 15 m . r B será a distância até a fonte mais distante do observador, que será a hipotenusa de um triangulo retângulo, onde os catetos serão r A e a linha vertical que liga as duas fontes de 2.4m, então pelo teorema de Pitágoras:

r B = 15 m 2 + 2.4 m 2

Substituindo r A e r B na equação de ∆ r :

∆ r = 15 m 2 + 2.4 m 2 - 15 m

Passo 3

E agora usando a equação de velocidade da onda sonora para substituirmos λ na primeira equação do passo 1:

v = λ f

λ = v f

Ficamos com:

∆ r = n v 2 f n

E isolando f n :

f n = n v 2 ∆ r

Substituindo valores numéricos:

f n = n 343 m / s 2 15 m 2 + 2.4 m 2 ≈ 1 k H z n

E para as duas primeiras frequências (n=1) e (n=3):

f 1 = 1 k H z

f 3 = 3 k H z

Usamos n=3 ao invés de n=2 porque n só pode assumir valores impares para interferências destrutivas.

Resposta

f 1 = 1 k H z

f 3 = 3 k H z

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