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Tarzan, que pesa 820   N , salta de um rochedo na ponta de um cipó de 20,0   m que está preso ao galho de uma árvore e faz inicialmente um ângulo de 22,0 ° com a vertical. Suponha que um eixo x é traçado horizontalmente a partir da borda do rochedo e que um eixo y é traçado verticalmente para cima. Imediatamente após Tarzan pular da encosta, a tensão do cipó é 760   N . Nesse instante, quais são (a) a força do cipó sobre Tarzan em termos dos vetores unitários, a força resultante sobre Tarzan (b) em termos dos vetores unitários e como (c) módulo e (d) ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x . Quais são (e) o módulo e (f) o ângulo da aceleração de Tarzan nesse instante?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, o problema nos dá o peso do Tarzan:

P → = - 820 j ^   N

O tamanho do cipó:

d c = 20,0   m

O ângulo inicial que o cipó faz com a vertical ( θ 0 = 22 ° ) e o módulo da tensão no cipó após o pulo ( T = 760   N ). A partir daí, o problema nos pede a força do cipó sobre o Tarzan em termos dos vetores unitários ( T → ), a força resultante sobre o Tarzan ( F r → ), o módulo e o ângulo em relação ao semieixo x positivo desta força resultante ( F r e θ F ), e o módulo e o ângulo da aceleração do Tarzan neste instante ( a e θ a ).

Passo 2

Vamos começar visualizando as forças que agem sobre o Tarzan no imeditamente após ao pulo:

Portanto, por trigonometria, podemos escrever o vetor T → em função das componentes, considerando o semieixo x positivo para direita e o semieixo y positivo para cima:

T → = - T sin ⁡ θ i ^ + T cos ⁡ θ j ^

Substituindo os valores:

T → = - 760 sin ⁡ 22 ° i ^ + 760 cos ⁡ 22 ° j ^

T → = - 284,7 i ^ + 704,6 j ^   N

Passo 3

No Tarzan, só age sobre ele a força peso e a força da tração da corda, como mostra a ilustração do passo anterior, assim, podemos escrever a força peso em termos dos vetores unitários e fazer o somatório vetorial com a tração para determinar o vetor força resultante:

P → = - 820 j ^   N

Fazendo a soma vetorial:

F r → = T → + P →

F r → = - 284,7 i ^ + 704,6 j ^ + - 820 j ^

Somando as componentes, eixo por eixo:

F r → = - 284,7 i ^ - 115,4 j ^   N

Passo 4

Para calcular o módulo da força resultante sobre o Tarzan vamos usar a equação explicitada no passo inicial, show? Se não, lembra, dá uma olhadinha lá rapidinho.

F r = F r x 2 + F r y 2

F r = - 284,7 2 + - 115,4 2

F r = 307,2   N

Passo 5

Para determinar o ângulo que este vetor faz com o semieixo x positivo também usaremos também a equação dada no passo inicial:

θ F = tan - 1 ⁡ F r y F r x

θ = tan - 1 ⁡ - 115,4 - 284,7

θ = 22,1 °   ou   202,1 °

Devemos tomar cuidado quando utilizando a função tan - 1 ⁡ x na calculadora, pois dois ângulos θ e θ + 180 ° possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.

Como nosso vetor F → possui a componente x e a componente y negativas, então este só pode estar no terceiro quadrante, pois é o único cujo o seno e o cosseno são negativos, portanto:

θ F = 202,1 °

Passo 6

Para determinar o módulo da aceleração, usaremos a segunda lei de Newton:

F r → = m a →

Porém, o problema nos deu somente o módulo do peso do Tarzan, para encontrar a massa devemos dividir o módulo do peso pela gravidade ( g = 9,8   m / s 2 ), assim:

- 284,7 i ^ - 115,4 j ^ = 820 9,8 × a →

Isolando o a → :

a → = - 3,4 i ^ - 1,4 j ^   m / s 2

Passo 7

Para determinar o módulo de a → faremos de maneira análoga ao que fizemos para a força resultante:

a = - 3,4 2 + - 1,4 2 = 3,7   m / s 2

Passo 8

Para determinar o ângulo que a aceleração faz com o semieixo x positivo, vamos lembrar da segunda lei de Newton:

F r → = m a →

A massa é uma grandeza escalar sempre maior que zero multiplicando o vetor, portanto, a aceleração terá sempre o mesmo sentido e a mesma aceleração da força resultando. Isso resulta que:

θ a = θ F = 202,1 °

Resposta

  1. T → = - 284,7 i ^ + 704,6 j ^   N ;
  2. F r → = - 284,7 i ^ - 115,4 j ^   N ;
  3. F r = 307,2   N ;
  4. θ F = 202,1 ° ;
  5. a = 3,7   m / s 2 ;
  6. θ a = 202,1 ° .

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