Enunciado

Em temperaturas muito baixas, o calor específico molar C V de muitos sólidos é dado aproximadamente por C V = A T 3 , onde A depende da substância considerada. Para o alumínio, A = 3,15.10 - 5 J m o l . K 4 . Determine a variação de entropia de 4,00   m o l s de alumínio quando a temperatura aumenta de 5,00   K para 10,0   K .

Passo 1

Faaala ae, beleza? Vamos lá.

A variação de entropia é calculada por:

Δ S = ∫ d Q T

E sabemos que temos a fórmula para Q :

Q = n C V Δ T

Vamos achar a forma diferencial dessa equação:

d Q = n C V d T

E substituindo a fórmula que o enunciado deu para o calor específico molar. Geralmente ele é constante, só que nesse caso ele depende da temperatura! Isso faz com que o nosso calor fique:

d Q = n A T 3 d T

E agora é só jogar isso na integral, e integrar quando a temperatura vai de 5,00   K até 10,0   K .

Δ S = ∫ 5,00 10,0 n A T 3 T   d T

Substituindo os valores:

Δ S = ∫ 5,00 10,0 4,00   m o l s 3,15.10 - 5 T 3 T   d T

Passo 2

Vamos resolver a integral. Primeiro, colocamos as constantes do lado de fora:

Δ S = ( 4,00 ) ( 3,15.10 - 5 ) ∫ 5,00 10,0 T 3 T   d T

Simplificando:

Δ S = ( 1,26.10 - 4 ) ∫ 5,00 10,0 T 2   d T

E nós sabemos que a integral de T 2 em relação a T é T 3 / 3 :

Δ S = 1,26.10 - 4 T 3 3 5,00 10,0

Substituindo os limites de integração:

Δ S = 1,26.10 - 4 10 3 3 - 5 3 3

Δ S ≅ 0,037   J / K

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Resposta

Δ S = 0,037   J / K .

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