Enunciado

No trapézio voador. Em um novo circo, Maria oscila em um trapézio, projeta-se em um ângulo de 53 ° e deve ser segurado por João, cujas mãos estão a 6,1   m acima e 8,2   m horizontalmente do ponto de lançamento de Maria (Figura 3.50 ). Despreze a resistência do ar.

a) Qual deve ser a velocidade inicial de Maria para que ela seja segurada por João?

b) Para a velocidade inicial calculada em ( a ) , qual é o módulo, a direção e o sentido da velocidade de Maria quando ela é segurada por João?

c) Supondo que Maria possua a velocidade inicial calculada em (a), faça diagramas x t , y t , v x t e v y t para o movimento dos dois trapezistas. Seus gráficos devem mostrar o movimento para cima até o instante em que Maria alcança João.

d) Na noite de estreia, João não consegue segurar Maria. Qual a distância horizontal percorrida por Maria, a partir de seu ponto inicial, até o momento em que ela atinge a rede de segurança situada a 8,6   m abaixo de seu ponto inicial?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Pode não parecer, mas essa é uma questão de lançamento obliquo, onde Maria que vai percorrer essa trajetória e ela tem que alcançar a mão de João para que não caia.

Vamos organizar os dados que o problema nos dá:

x = 8,2 m

y = 6,1 m

α 0 = 53 °

Beleza? Agora vamos usar a fórmula 3.27 do livro texto:

y = t g α 0 x - g x 2 2 v 0 2 cos 2 ⁡ ( α 0 )

Bora começa!

Passo 2

Agora é só substituir os valores que temos e lembrar que a aceleração da gravidade g vale 9,8 m / s 2 . Daí ficamos só com a variável v 0 :

6,1 = t g 53 ° ⋅ 8,2 - 9,8 ⋅ 8,2 2 2 v 0 2 cos 2 ⁡ ( 53 ° )

Jogando tudo isso na calculadora chegamos ao valor da velocidade inicial,

v 0 = 13,8 m / s

Show?

Passo 3

Para achar o módulo e a direção precisamos das componentes verticais horizontais do vetor velocidade. Na horizontal temos:

v 0 x = v 0 cos ⁡ 53 = 13,8 ⋅ cos ⁡ 53 = 8,30 m / s

E na vertical o movimento não é constante, então precisamos determinar o instante que a Maria é segurada pelo João. Na posição x = 8,2 e com velocidade 8,3 o tempo é:

t = d v = 8,2 8,3 = 0,98 s

E da equação pra velocidade no MRUV:

v = v 0 y + a t = v 0 s e n 53 - g t

v y = 13,8 ⋅ s e n 53 - 9,8 ⋅ 0,98 = 1,34 m / s

E o módulo da velocidade vai ser:

v = 8,30 2 + 1,34 2 = 8,4 m / s

E a direção é dada pela tangente do ângulo inicial:

t g θ = v y v x = 1,34 8,3

θ = a r c t g   0,161 = 9,17 °

Bacana, não é?

Passo 4

Agora vamos aos gráficos!

Maria parte da origem e em t = 0,98 ≃ 1 s   ela encontra o João na posição x , y = 8,2 ; 6,1 . Na horizontal o movimento dela é constante, com velocidade v x = 8,3 m / s . Na vertical o movimento dela é variado, com velocidade inicial de 1,34 m / s . As equações de movimento e seus respectivos gráficos são:

  • Na horizontal:
  • x = 8,3 t

    v x = 8,3

  • Na vertical:

y = 11,02 t - 4,9 t 2

v y = 11,02 - 9,8 t

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Usando a equação 3.27 que já usei lá no passo 1 :

y = t g α 0 x - g x 2 2 v 0 2 cos 2 ⁡ ( α 0 )

Usando os mesmos valores iniciais de α 0   e   v 0 temos:

y = 1,37 x - 0,071 x 2

E o problema pede a distância horizontal x quando y = - 8,6 m :

- 8,6 = 1,37 x - 0,071 x 2

- 0,071 x 2 + 1,37 x + 8,61 = 0

Ficamos com uma equação de segundo grau em x . Usando bhaskara teremos as raízes:

x = - ( 1,37 ) ± ( 1,37 ) 2 - 4 - 0,071 ( 8,61 ) 2 ( - 0,071 )

Jogando tudo isso na calculadora e pegando a solução positiva:

x = 23,8 m

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

a )   13,8 m / s

b )   8,4 m / s ,   9,17 °  

c )

d ) x = 23,8 m

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