Enunciado

Um trem relativístico com 200 m de comprimento próprio se aproxima de um túnel com o mesmo comprimento próprio, a uma velocidade relativa de 0,900c. Uma bomba de tinta na locomotiva está programada para explodir (e pintar o maquinista de azul) quando a frente do trem passar pela saída do túnel (evento FS). Por outro lado, quando a traseira do trem passar pela entrada do túnel (evento TE), um sinal será enviado à locomotiva para desativar a bomba. Do ponto de vista do trem: (a) Qual é o comprimento do túnel? (b) Que evento ocorre primeiro, FS ou TE? (c) Qual é o intervalo de tempo entre os dois eventos? (d) A bomba de tinta vai explodir? Do ponto de vista do túnel: (e) Qual é o comprimento do trem? (f) Que evento ocorre primeiro? (g) Qual é o intervalo de tempo entre os eventos? (h) A bomba de tinta vai explodir? Se as respostas dos itens (d) e (h) forem diferentes, você precisa explicar o paradoxo, porque ou o maquinista vai ser pintado de azul ou não vai, uma das possibilidades exclui a outra. Se as respostas forem iguais, você precisa explicar a razão

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vai ser tranquilo, vem comigo.

Letra a:

Do ponto de vista do trem, o túnel parece estar contraído por um fator de:

γ = 1 1 - β 2 = 1 1 - ( 0.900 ) 2 = 2.29

Assim, o comprimento é:

L túnel   = L túnel,0 γ = 200 m 2.29 = 87.2 m .

Passo 2

Letra b:

Do ponto de vista do trem, uma vez que o túnel parece ser mais curto do que o trem, o evento FS irá ocorrer primeiro.

Passo 3

Letra c:

De acordo com um observador no trem, o tempo entre os dois eventos é:

Δ t = L trem,0 - L túnel v = 200 m - 87.2 m 0.900 3.0 × 10 8 m s = 0.418 μ s .

Passo 4

Letra d:

Visto que o evento FS ocorre primeiro, a tinta explodirá.

Passo 5

Letra e:

Do ponto de vista do túnel, o trem parece ser contraído por um fator de:

γ = 1 1 - β 2 = 1 1 - ( 0.900 ) 2 = 2.29

Assim, o comprimento é:

L trem   = L trem,  0 γ = 200 m 2.29 = 87.2 m

Passo 6

Letra f:

Do ponto de vista do túnel, uma vez que o trem parece ser mais curto que o túnel, evento TE ocorrerá primeiro.

Passo 7

Letra g:

De acordo com um observador no quadro de descanso do túnel, o tempo entre os dois eventos é:

Δ t = L túnel , 0 - L trem   v = 200 m - 87.2 m 0.900 3.0 × 10 8 m s = 0.418 μ s

Passo 8

Letra h:

A bomba vai explodir também. A razão é que deve-se levar em consideração a demora para que o sinal de desativação se propague da parte traseira do trem para a frente, que é:

Δ t sinal   = L trem , 0 v = 200 m 0.900 3.0 × 10 8 m s = 0.741 μ S

Isso é mais longo do que o tempo decorrido entre os dois eventos. Então a bomba explode.

Resposta

  1. 87.2 m
  2. Do ponto de vista do trem, uma vez que o túnel parece ser mais curto do que o trem, o evento FS irá ocorrer primeiro.
  3. 0.418 μ s .
  4. Visto que o evento FS ocorre primeiro, a tinta explodirá.
  5. 87.2 m
  6. Do ponto de vista do túnel, uma vez que o trem parece ser mais curto que o túnel, evento TE ocorrerá primeiro.
  7. 0.418 μ s
  8. 0.741 μ S
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