Enunciado

Um trem com uma velocidade constante de 60,0   k m / h se move na direção leste por 40,0   m i n , depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0 º a leste com a direção norte por 20,0   m i n e, finalmente, na direção oeste por mais 50,0   m i n . Quais são

( a ) o módulo e

( b ) o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem?

Passo 1

Desenhando o trajeto percorrido pelo trem nós teremos algo como:

Na letra a queremos calcular o módulo da velocidade desse trem mas primeiro temos que calcular o módulo da distância percorrido por ela, uma vez que a velocidade é constante e tem um vetor proporcional a ela. E para começar a fazer essa questão vamos calcular o vetor distância de cada trecho.

Dessa forma, no primeiro trecho representa uma distância de:

s → = v → t

Onde s → é o vetor da distância. Lembrado que 40   min representa 2 3 hora , logo:

s 1 → = 60   km/h   i ^ ⋅ 2 3 h

s 1 → = 40   k m i ^

Encontrando a distância vetorial do segundo trecho e do terceiro trecho nós teremos:

s 2 → = 60 sin ⁡ 50 °   km i ^ + 60 cos ⁡ 50 °   km j ^ ⋅ 20 60 h

s 2 → = 2 0 sin ⁡ 50 °   km i ^ + 2 0 cos ⁡ 50 °   km j ^

E a distância vetorial de s 3 :

s 3 → = - 60   km/h i ^ ⋅ 50 60

s 3 → = - 50   km i ^

Então a distância vetorial total do trajeto será:

s → = 40 + 20 sin ⁡ 50 ° - 50 i ^ + 20 cos ⁡ 50 °   j ^   km

s → = 5 , 32   km i ^ + 12 , 86   km j ^

O módulo da distância será então igual a:

s = 5 , 32 2 + 12 , 86 2

s = 13.91   km

Passo 2

Só que queremos na letra a o módulo da velocidade do trem e para isso nós temos que fazer:

v = | s | t

Onde o tempo percorrido pelo trem em horas será de:

t = 40 + 20 + 50   min 60   min h

t = 11 6   h

Logo o módulo da velocidade será de:

v = 13 , 91 11 6

v = 7 , 59   km/h

Passo 3

Como o vetor da velocidade é proporcional ao vetor posição equivalente então podemos afirmar que:

v → = 1 t   5 , 32   km i ^ + 12 , 86   km j ^

Então o vetor velocidade terá um ângulo de:

θ = tan - 1 ⁡ 12 , 86 5 , 32

θ = 67.5   °   nordeste  (norte do leste)  

E como o tempo é constante e é de 110   min ele não faz diferença para a angulação do vetor velocidade resultante, já que a velocidade é constante pra todos os trechos. Também poderia usar a referência angular como sendo:

θ = 22,5 °   leste do norte

Resposta

  1. 7.59   km/h
  2. 67.5 °   norte do leste
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