Enunciado

Três ondas senoidais ele mesma frequência se propagam com uma corda no sentido positivo de urn eixo x . As amplitudes das ondas são y 1 , y 1 2   e y 1 3 e as constantes de fase são 0 , π 2   e   π , respectivamente. Qual é (a) a arnplitude e (b) a constante de fase da onda resultante (c) Plote a onda resultante no instante t = 0 e discuta seu comportamento quando t aumenta.

Passo 1

  1. O jeito mais sábio de resolver essa questão é utilizando os fasores. A constante de fase à qual o enunciado se refere nada mais é do que a fase inicial ϕ 0 de uma onda semelhante a essa:

y x , t = y m s e n ( k x - ω t + ϕ 0 )

Tá, mas como os fasores podem nos ajudar?

Fasores são vetores que giram com velocidades angulares ω e possuem módulo igual à amplitude máxima da onda y m (no caso do exemplo acima). Geralmente, eles tornam muito mais fácil a representação de uma onda resultante da superposição de outras ondas. Veja como fica a representação fasorial das ondas apresentadas nessa questão:

Com base nessa figura, a gente consegue perceber que a componente horizontal do fasor resultante y m vale y 1 - y 3 = y 1 - y 1 3 = 2 3 y 1 . A sua componente vertical vale y 2 = y 1 2 . Assim, conseguimos calcular o módulo de y m por Pitágoras, assim:

y m = y 1 2 2 + 2 3 y 1 2 ≅ 0,83 y 1

Passo 2

(b)A constante de fase da onda resultante pode ser obtida a partir da relação entre suas componentes vertical e horizontal. Afinal, a tangente de sua constante de fase é igual à razão entre elas. Assim, temos:

ϕ m = tan - 1 ⁡ y 1 2 2 y 1 3 ≅ 0,644   r a d = 37 °

Passo 3

(c)Como a gente já tem o módulo da amplitude máxima da onda resultante, assim como a sua constante de fase, então a gente já tem tudo o que se precisa para escrevermos a equação geral dela:

y = y m s e n k x - ω t + ϕ = 0,83 y 1 s e n ( k x - ω t + 0,644   r a d )

O gráfico da equação acima, considerando as constantes não fornecidas na questão como iguais a 1 fica dessa forma:

Resposta

  1. 0,83 y 1

(b) 0,644   r a d

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