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Um vagonete de minério é puxado para o alto de uma encosta a 20   k m / h e puxado ladeira abaixo a 35   k m / h até a altura inicial. (O tempo gasto para inverter o movimento no alto da encosta é tão pequeno que pode ser desprezado.) Qual é a velocidade média do carrinho no percurso de ida e volta, ou seja, desde a altura inicial até voltar à mesma altura?

Passo 1

Inicialmente é preciso ter em mente a definição de velocidade média:

v m = ∆ s ∆ t

Portanto, para definirmos a velocidade média precisamos calcular o deslocamento total e o tempo gasto neste deslocamento.

Definindo o deslocamento de subida d s e o deslocamento de descida d d como d , pois o vagonete sobe e desce a mesma encosta e, por isso, ambos tem o mesmo módulo de deslocamento.

Além disso, o problema também nos deu a velocidade de subida e descida:

v s = 20   k m / h

v d = 35   k m / h

Passo 2

Calculando o deslocamento total da vagonete:

∆ s = d s + d d

∆ s = d + d = 2 d

Passo 3

Agora, vamos definir o tempo total do percurso. Para isso, usaremos a função da posição de um movimento retilíneo uniforme, pois a velocidade com que a vagonete se move é constante, se dividimos este movimento em dois. Portanto:

Para subida:

x ( t ) = x 0 + v t

Considerando o chão como origem e, portanto, x 0 = 0 , e como queremos o tempo de subida x t s = d s . Lembrando que a velocidade de subida foi dada pelo enunciado v s , portanto, substituindo estes valores na equação acima:

d = 0 + v s t s

Isolando t s :

t s = d v s

Passo 4

Fazendo o mesmo processo anterior, agora para a descida. Porém, é preciso perceber que, preservando o mesmo referencial anterior, x 0 = d e x t d = 0 , além disso, a velocidade de descida também foi dada no enunciado e é diferente da velocidade de subida, assim:

0 = d - v d t d

Isolando t d :

t d = d v d

Passo 5

Com o deslocamento total do vagonete e os tempos de subida e descida podemos calcular a velocidade média a partir de sua definição:

v m = ∆ s ∆ t

Onde,

∆ s = 2 d e ∆ t = t s + t d = d v s + d v d

Portanto, substituindo estes valores na equação da velocidade média, temos:

v m = 2 d d v s + d v d

Cortando a variável d na nossa divisão e fazendo o mmc da soma de frações do denominador, temos:

v m = 2 v d + v s v d × v s

v m = 2 v d × v s v d + v s

Substituindo os valores de v d e v s dados no enunciado:

v m = 2 35 × 20 35 + 20 = 25,45   k m / h

Resposta

v m = 25,45   k m / h

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