Enunciado

A velocidade de uma partícula de 3,00   k g é dada por v → = 8,00 t i ^ + 3,00 t 2 j ^   m / s , com o tempo t em segundos. No instante em que a força resultante que age sobre a partícula tem um módulo de 35,0   N , quais são as orientações (em relação ao sentido positivo do eixo x ) (a) da força resultante e (b) do movimento da partícula?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, aqui temos um partícula de massa 3   kg com velocidade dada na forma vetorial como:

v → = 8,00 t i ^ + 3,00 t 2 j ^   m/s

Ou seja, temos na coordenada x uma velocidade dada como:

v x = 8,00 t   m/s   i ^  

E no eixo y dada como:

v y = 3,00 t 2   m/s   j ^

Mas como queremos informações sobre a força F → que age sobre a partícula, precisamos lembrar que:

F → = m a →

E a malandragem aqui é que podemos lembra que a derivada da velocidade em relação ao tempo fornece a aceleração:

a → = d v → d t

Logo:

F → = m d v → d t

Passo 2

Iradoso, agora, vamos determinar a aceleração resultante através da relação dada acima:

a → t = d v → t d t

a → t = d 8,00 t i ^ + 3,00 t 2 j ^ d t

a → t = 8,00 i ^ + 6,00 t j ^   m/s²

Passo 3

Agora vamos escrever a segunda lei de Newton para cada eixo. Primeiro, para o eixo x :

F r x = m a x

Substituindo os valores dado:

35 cos ⁡ θ F = 3 × 8

Isolando o cos ⁡ θ F :

cos ⁡ θ F = 24 35 = 0,69

Definindo o θ F :

θ F = cos - 1 ⁡ ( 0,69 ) = 46,7 °

Devemos tomar cuidado quando utilizando a função cos - 1 ⁡ x na calculadora, pois dois ângulos θ e θ + 180 ° possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.

Como nosso vetor F → possui a componente x e a componente y positivas, então este só pode estar no primeiro quadrante, pois é o único cujo o seno e o cosseno são positivos, portanto:

θ F = 46,7 °

Passo 4

Agora, vamos definir o instante em que a força tem módulo 35   N para poder determinar a orientação do movimento, beleza?

Para isso vamos escrever a segunda lei de Newton para o eixo y :

F r y = F sin ⁡ θ = m a y

35 × sin ⁡ 46,7 ° = 3 × 6 t

Isolando o t :

t = 1,41   s

Passo 5

Com o tempo em mãos, vamos substituir na função da velocidade:

v → 1,41 = 8 × 1,41 i ^ + 3 × 1,41 2 j ^

v → = 11,28 i ^ + 5,96 j ^   m / s

Agora, usaremos a seguinte relação:

θ v = tan - 1 ⁡ v y v x

Substituindo os valores:

θ v = tan - 1 ⁡ 5,96 11,28 = 2 8,0 °

Resposta

  1. θ F = 46 , 7 ° ;
  2. θ v = 2 8,0 ° .
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