Determine o produto de inércia do paralelogramo em relação aos eixos x e y .

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Precisamos encontrar o produto de inercia em relação ao eixo x e y . Para isso, vamos considerar o seguinte desenho:

Vamos aos cálculos!

Passo 2

Nós iremos aplicar aqui o teorema dos eixos paralelos a todo o paralelogramo para determinar o seu produto de inercia I x y sobre x e y . Mas antes disso precisaremos encontrar alguns valores primeiro.

Primeiro, nós iremos determinar o valor do produto de inercial do centroide de cada triangulo. Como esses triângulos que compõem a figura são iguais, então o produto será o mesmo.

Considere o triângulo mostrado abaixo:

Passo 3

Nós iremos determinar I x ' y ' , t r i - primeiro determinando o produto de inercia I x y , t r i sobre o eixo x e y . Nós iremos fazer isso aplicando o teorema dos eixos paralelos.

d I x y , t r i = d I x y , t r i - + d A x ~ y ~

= 0 + y d x ⋅ y 2 ⋅ x

d I x y , t r i = 0 + sin ⁡ θ cos ⁡ θ x d x ⋅ sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ ⋅ x ⋅ x

= x 3 sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d x

Passo 4

Agora nós podemos determinar I x y , t r i integrando d I x y , t r i :

I x y , t r u = ∫ d I x y , t r i

= ∫ 0 acos ⁡ θ x 3 sin 2 ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ d x

= sin 2 ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ x 4 4 0 acos ⁡ θ

= a 4 sin 2 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ 8 cos 2 ⁡ θ

= a 4 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 8

Agora nós podemos determinar I x ' y ' , t r i - aplicando o teorema do eixo paralelo. Dessa vez para todo o triangulo:

I x y , t r i = I x ' y ' , t r i - + A d x d y

a 4 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 8 = I x ' y ' , t r i - + 1 2 asin ⁡ θ acos ⁡ θ ⋅ 2 3 acos ⁡ θ ⋅ asin ⁡ θ 3

I x ' y ' , t r i - = a 4 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 72

Passo 5

Agora iremos encontrar o produto de inercia de todo o paralelogramo em relação aos eixos x ' e y ' que passam através do centroide do paralelogramo. Utilizaremos novamente o teorema dos eixos paralelos:

I x ' y ' , p a r a - = ∑ I x ' , y ' - + A d x d y

I x ' y ' , p a r a - = I x ' , y ' - + A d x d y r e t + 2 I x ' , y ' - + A d x d y t r i a n

I x ' y ' , p a r a - = 2 a 4 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 72 + 2 1 2 asin ⁡ θ acos ⁡ θ ⋅ c + acos ⁡ θ 2 - 2 acos ⁡ θ 3 ⋅ asin ⁡ θ 2 - a sin ⁡ θ 3

I x ' y ' , p a r a - = 2 a 4 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 72 + a 3 c cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ 24 - a 4 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 72

I x ' y ' , p a r a - = a 3 c cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ 12

Passo 6

Finalmente, agora podemos finalmente encontrar o que procurávamos desde o princípio:

I x y = I x ' y ' , p a r a - + A d x d y

I x y = a 3 c cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ 12 + c ⋅ a sin ⁡ θ ⋅ c + a cos ⁡ θ 2 ⋅ a sin ⁡ θ 2

I x y = a 3 c cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ 12 + c 2 a 2 sin 2 ⁡ θ 4

I x y = c a 2 sin 2 ⁡ θ 12 4 a cos ⁡ θ + 3 c

Resposta

I x y = c a 2 sin 2 ⁡ θ 12 4 a cos ⁡ θ + 3 c

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