Determine o produto de inércia da área sombreada em relação aos eixos x e y .

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Nesse problema foi dada uma figura hachurada sob a curva de função

y = b a n x n

Nosso objetivo é encontrar o produto de inércia dessa figura em relação aos eixos x e y

Lembra como fazemos isso?

Para calcular o produto de inercia de uma figura basta aplicarmos a fórmulinha:

I x y = ∫ ∫ A x y d A

Saca só!

Passo 2

Nesse caso, podemos definir d A como:

d A = d y d x

Com d y variando de 0 a b a n x n e d x variando de 0 a a .

Assim, nosso produto de inércia é:

I x y = ∫ 0 a ∫ 0 b a n x n x y d y d x

Integrando em relação a y ...

∫ x y d y = x y 2 2

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 b a n x n x y d y = x y 2 2 0 b a n x n = b 2 x 2 n + 1 2 a 2 n

Integrando o resultado em relação a x ...

∫ b 2 x 2 n + 1 2 a 2 n d x = b 2 x 2 n + 2 2 a 2 n 2 n + 2

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 a b 2 x 2 n + 1 2 a 2 n d x = b 2 x 2 n + 2 2 a 2 n 2 n + 2 0 a = a 2 b 2 4 n + 1

E finalmente, o produto de inércia é:

I x y = a 2 b 2 4 n + 1

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

I x y = a 2 b 2 4 n + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados