Enunciado

Um pêndulo, em seu laboratório de física, tem um comprimento de 75   c m e uma bolinha de 15   g de massa. Para iniciar o balanço da bolinha, você coloca um ventilador próximo à ela, soprando uma corrente horizontal de ar. Enquanto o ventilador está ligado, a bolinha fique em equilíbrio com o pêndulo deslocado de um ângulo de 5,0 ° com a vertical. O vento é soprado pelo ventilador a 7,0   m / s . Você desliga o ventilador e deixa que o pêndulo oscile. (a) Supondo que a força de arraste do ar seja da forma - b v , determine a constante de tempo de decaimento τ deste pêndulo. (b) Quanto tempo levará para a amplitude do pêndulo chegar a 1,0 ° ?

Passo 1

Precisamos encontrar uma expressão para a constante de tempo nesse caso especial. Vamos analisar o torque resultante agindo sobre o pêndulo:

∑ τ = I θ ¨

Onde θ ¨ = d 2 θ / d t é a aceleração angular do pêndulo.

O torque gerado pela força peso, quando o pêndulo está deslocado por um ângulo θ em relação à horizontal é:

τ 1 = - m g ( L sen ⁡ θ )

Já que a força de arraste aponta sempre na horizontal, e estamos considerando pequenas oscilações, o torque da força de arrasto é:

τ 2 = F d L

E τ 2 favorece o aumento do ângulo θ , e τ 1 favorece o retorno ao equilíbrio, por isso os sinais.

Então:

∑ τ = - m g L sen ⁡ θ + F d L = I θ ¨

E o momento de inércia do pêndulo simples é:

I = m L 2

- m g L sen ⁡ θ + F d L = m L 2 θ ¨

Passo 2

Mas pelo enunciado, a força de arrasto é:

F d = - b v = - b L θ ˙

Então a nossa equação é:

- m g L sen ⁡ θ - b L 2 θ ˙ = m L 2 θ ¨

E para pequenos ângulos, podemos usar a seguinte aproximação:

sen ⁡ θ ≅ θ

m g L θ + b L 2 θ ˙ + m L 2 θ ¨ = 0

m θ ¨ + b θ ˙ + m g L θ =

E essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, e nós já conhecemos a forma geral da sua solução:

θ t = θ 0   e - t 2 τ cos ⁡ ω t + δ

Onde:

ω = ω 0 1 - b 2 m ω 0 2

τ = m b

Passo 3

(a) Agora vamos fazer um esquema da situação:

Sendo que o pêndulo está em equilíbrio quando o deslocamento angular é máximo, então:

∑ F x = F v - T sen ⁡ θ 0 = 0

∑ F y = T cos ⁡ θ 0 - m g = 0

Ficamos com o seguinte sistema:

T sen ⁡ θ 0 = F v T cos ⁡ θ 0 = m g

Dividindo a primeira equação pela segunda:

F v = m g tan ⁡ θ 0

b v = m g tan ⁡ θ 0

b = m g tan ⁡ θ 0 v

E agora podemos substituir essa expressão para b na fórmula que encontramos para τ :

τ = m b = v g tan ⁡ θ 0

τ = 7,0 9,81 tan ⁡ 5,0 ° ≅ 8,2   s

Passo 4

(a) Vamos olhar de novo para a nossa equação para θ t :

θ t = θ 0   e - t 2 τ cos ⁡ ω t + δ

E a amplitude é todo o fator que está multiplicando o cosseno, então:

A t = θ 0 e - t 2 τ

Onde θ 0 = 5,0 ° , e τ = 8,2   s , queremos enconrar o valor de t para o qual A t = 1,0 ° :

1,0 ° = 5,0 °     e - t 2 ( 8,2 )

e - t 2 ( 8,2 ) = 0,2

Tirando o logaritmo dos dois lados:

- t 16,4 = ln ⁡ 0,2

t ≅ 26   s

Resposta

(a) τ = 8,2   s .

(b) t = 26   s .

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