Enunciado

51 . Um anel de matéria é uma estrutura familiar na astronomia planetária e estelar. Exemplos são os anéis de Saturno e a Nebulosa do Anel. Considere um anel de massa uniforme 2,36 × 10 20   k g e raio de 1,00 × 10 8   m . Um corpo de massa de 1   000   k g é colocado em um ponto A no eixo do anel, a 2,00 × 10 8   m do centro deste (Fig. P 11.51 ). Quando o corpo é liberado, a atração do anel faz que ele se mova ao longo do eixo em direção ao centro do anel (ponto B ). ( a ) Calcule a energia potencial gravitacional do sistema anel-corpo quando o corpo está em A . ( b ) Calcule a energia potencial gravitacional do sistema quando o corpo está em B . ( c ) Calcule a velocidade do corpo quando ele passa por B .

Passo 1

Vamos juntos detonar com essa questão!

A energia potencial gravitacional é dada por:

E = - G M m d

Onde d é a distância entre os corpos, tanto no item ( a ) quanto no item ( b ) vamos usar essa equação para encontrar oque eles querem, o que vai mudar para cada caso é o d .

No item ( c ) para achar a velocidade em B vamos usar a conservação de energia ao nosso favo, onde inicialmente no ponto A só temos energia potencial gravitacional e no ponto B temos energia cinética (de onde vamos tirar a velocidade) e energia potencial gravitacional.

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Para podermos calcular a energia potencial no ponto A temos que saber a distância entre o anel e o corpo, e para isso podemos usar Pitágoras ao nosso favor, assim:

d = r 2 + D 2

Então temos que:

E A = - ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 2,36 × 10 20 ) ( 1000 ) ( 1 × 10 8 ) 2 + ( 2 × 10 8 ) 2

= - 1,57 × 10 13 2,23 × 10 8

Assim temos que:

E A = - 7,04 × 10 4   J

Passo 3

Agora para o item ( b ) .

Nesse caso a distância d vai ser igual ao raio do anel, assim:

E B = - ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 2,36 × 10 20 ) ( 1000 ) 1 × 10 8

= - 1,57 × 10 13 1 × 10 8

Assim temos que:

E B = - 1,57 × 10 5   J

Passo 4

Agora para o item ( c ) .

Da conservação de energia que falamos no passo 1 , temos:

E A = E B + 1 2 m v B 2

⇒ v B = 2 E A - E B m

Substituindo com o que temos, ficamos com:

v B = 2 - 7,04 × 10 4 - ( - 1,57 × 10 5 ) 1000

= 86600 500

Então temos que:

v B = 13,6   m / s

Prontinho! Encontramos tudo que ele queria.

Resposta

( a )

E A = - 7,04 × 10 4   J

( b )

E B = - 1,57 × 10 5   J

( c )

v B = 13,6   m / s

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