Enunciado

45 . Uma nave espacial está se aproximando de Marte depois de uma longa viagem a partir da Terra. Sua velocidade é tal que está viajando ao longo de uma trajetória parabólica sob a influência da força gravitacional de Marte. A distância de maior aproximação será de 300   k m acima da superfície de Marte. Nesse ponto, os motores serão acionados para diminuir a velocidade da nave espacial e colocá-la em uma órbita circular a 300   k m acima da superfície. ( a ) Qual porcentagem tem de ser reduzida da velocidade da nave para alcançar essa órbita desejada? ( b ) Como seria modificada a resposta ao item ( a ) se a distância de maior aproximação e a altitude da órbita circular desejada fossem de 600   k m , em vez de 300   k m ? (Observação: A energia do sistema nave espacial-Marte para uma órbita parabólica é   E = 0 . )

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Nesse problema vamos usar a conservação de energia ao nosso favor, já que não há nenhum fator externo que faça com que essa energia se conserve.

A nossa energia inicial vai ser dada pela a energia cinética e potencial gravitacional da nave na órbita parabólica, mas que segundo o enunciado é zero e a energia final vai ser dada pela energia cinética e potencial gravitacional assim que ela é pega pela órbita, assim temos que:

m v f 2 2 - G M m r = 0

⇒ v f = 2 G M r

Onde r é o raio da trajetória circular da nave.

Passo 2

Mas quando a nave está na trajetória circular a força resultante que atua nela deve ser igual a força centrípeta.

No caso do nosso problema a força resultante é a força gravitacional, assim temos que:

m v t 2 r = G M m r 2

Onde v t é a velocidade tangencial da nave quando ela já está na órbita circular, assim:

v t = G M r

Com parando essa velocidade com a velocidade que chegamos no passo 1 temos que:

v f = 2 v t

Passo 3

Agora vamos ver a porcentagem de redução da velocidade. Considerando que v f é o nosso 100 % , temos o seguinte:

v f - v t v f × 100 %

= 2 v t - v t 2 v t × 100 %

= 2 - 1 2 × 100 % = 29,3 %

Então a nave teve uma redução de velocidade de 29,3 % .

Passo 4

Agora vamos analisar o item ( b ) .

Nas nossas contas para o item ( a ) vimos que a dependência com r some, então uma mudança nesse valor não iria alterar a porcentagem de redução da velocidade.

Finalizamos o exercício com sucesso!

Resposta

( a )

29,3 %

( b )

Explicado acima.

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