Lei de Biot-Savart Geral

Teoria Completa

Introdução

Ok, nós já aprendemos que a fórmula do campo magnético gerado por uma carga pontual é dado por:

B → = μ 0 4 π q v → × r ^ r 2

Naturalmente, depois de aprender isso queremos saber como tratar de uma distribuição contínua de cargas e achar o campo delas. Existem basicamente duas maneiras de se fazer isso: a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère.

Biot-Savart vai desenvolver algo que já estamos acostumados a fazer. Se resolvermos pegar uma distribuição de cargas e somar os campos infinitesimais que cada carguinha da distribuição faz, teremos o campo total. Ou seja:

d B → = μ 0 4 π d q v → × r ^ r 2

Como uma carga da distribuição é pequena demais comparada ao todo, a representaremos como uma quantidade infinitesimal d q . Normalmente, não temos a expressão da velocidade de cada carga e sim um valor da corrente elétrica numa certa região. Portanto, utilizando-se da definição da corrente:

I = d q d t → d q = I d t

Utilizando a definição do vetor velocidade:

v → = d l → d t

Substituindo tudo:

d B → = μ 0 4 π I d t ( d l → / d t ) × r ^ r 2

Corta o tempo fora e fica:

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2

Integrando:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

E temos a nossa Lei de Biot-Savart. Uma boa pergunta é: quando essa Lei é útil? A resposta é: para segmentos de fios retilíneos e fios circulares (ou semicirculares, etc.).

Esse primeiro não é nem um pouco comum de ser cobrado, porque normalmente caímos em integrais muito difíceis. Já o caso do fio circular é tiro e queda.

Exemplo: Fio Semicircular

Vamos calcular o campo do segmento semicircular do fio no ponto P :

Supondo a orientação clássica:

Aplicando a Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π I ∫ fio   d l → × r ^ r 2

Calculando a direção do produto vetorial:

Se você calcular com calma, pode ver que o ângulo θ é sempre 90 º : d l → × r ^ = d l - z ^

Substituindo, tiramos - z ^ fora da integral:

B → = - μ 0 4 π I z ^ ∫ fio   d l r 2

Além disso, temos que nesse caso o r é constante:

r = R

B → = - μ 0 4 π R 2 I z ^ ∫ fio   d l

Enquanto a integral de d l é o comprimento do fio:

B → = - μ 0 4 π R 2 I z ^ π R

B → = - μ 0 4 R I z ^

E é isso aí.

Raramente nós resolvemos outro tipo de configuração com essa Lei. Quando se trata de um fio retilíneo infinito, normalmente usamos a Lei de Ampère. Porém, para efeito didático, nos exercícios, vamos estudar casos em que calculamos o campo de fios retilíneos com Biot-Savart.

Bora lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ – Prova 2 – 2012.1 – Múltipla Escolha nº9.

Considere o circuito da figura abaixo, constituído por segmentos retilíneos (I, III, V e VI) e segmentos de arco de círculos (II, IV e VII) concêntricos com o ponto C , percorridos por uma corrente estacionária I , com sentido assinalado. Indique quais de tais segmentos dão uma contribuição não nula para o campo magnético resultante no ponto C .

  1. II, III, IV, V e VII
  2. I, III, V e VI
  3. II, IV e VII
  4. I, II, IV, VI e VII
  5. Todos criam campo magnético não nulo em C
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Passo 1

O campo magnético de uma distribuição continua de corrente é dado pela Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

Para sabermos quais segmentos dão uma contribuição não nula para o campo magnético resultante do ponto C precisamos analisar o produto vetorial d l → × r ^ para cada segmento.

Passo 2

Para o segmento I os vetores d l → e r ^ são antiparalelos, ou seja, formam um ângulo de 180 ° e nesse caso:

d l → × r ^ = d l   s e n 180 ° = 0

Para o segmento VI os vetores d l → e r ^ são paralelos, ou seja, formam um ângulo de 0° e nesse caso:

d l → × r ^ = d l   s e n 0 ° = 0

De maneira geral, podemos mostrar que segmentos retilíneos que estão alinhados na direção r ^ não contribuem para o campo, pois:

Desse modo, temos que os segmentos I e VI possuem contribuições NULAS para o campo no ponto C, assim já eliminamos as alternativas b, d, e.

Passo 3

Para os demais segmentos (II, III, IV, V e VII) os vetores d l → e r ^ não estão alinhados de modo que:

d l → × r ^ = d l   s e n   θ ≠ 0

Assim, o campo produzido por esses segmentos no ponto C é não nulo. Desse modo, eliminamos a letra c e já temos nossa resposta. =)

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Prova 2 – 2012.2 – Múltipla Escolha nº8.

Dois fios muito longos são percorridos por correntes elétricas estacionárias de mesma intensidade. Cada um de tais fios é constituído por dois segmentos retilíneos (muito longos) e por um arco circular intermediário (com abertura de 90 º ); os raios de tais arcos são tais que R I I > R V . Qual dos segmentos dá maior contribuição para o campo magnético resultante B → C no ponto central C ?

  1. II
  2. V
  3. I e III
  4. IV e VI
  5. Todos contribuem igualmente para B → ( C ) .
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Passo 1

Pela lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

Primeiramente fazemos os produtos vetoriais dos fios retilíneos e mostramos que eles fazem campo nulo:

Passo 2

Agora vamos fazer os segmentos circulares. Sabemos que em cada um deles temos r = R constante e a corrente também:

B → = μ 0 I 4 π R 2 ∫ f i o d l → × r ^

Seja z ^ o sentido saindo da tela. Fazendo o produto vetorial para um segmento semicircular genérico:

Temos:

B → = μ 0 I 4 π R 2 z ^ ∫ f i o d l

O comprimento é um quarto de circunferência:

B → = μ 0 I 4 π R 2 z ^ 2 π R 4

B → = μ 0 I 8 R z ^

Passo 3

Portanto, para cada um dos segmentos temos:

B → V = μ 0 I 8 R V z ^

B → I I = μ 0 I 8 R I I z ^

Agora queremos saber quem dá mais. Como: R I I > R V

Segue:

1 R I I < 1 R V

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por μ 0 I / 8 :

μ 0 I 8 R I I < μ 0 I 8 R V

B I I < B V

Ou seja, o segmento V é quem dá mais.

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #3

UFRJ – Prova 2 – 2013.1 – Múltipla Escolha nº2.

Uma corrente estacionária, de intensidade I , flui ao longo de um segmento retilíneo que se divide, igualmente, em quatro meridianos de uma esfera de raio a , perpendiculares (dois a dois) entre si, e reencontrando-se num outro segmento retilíneo. Qual é o módulo do campo magnético no centro P da esfera?

  1. μ 0 i a
  2. μ 0 i 2 a
  3. 0
  4. μ 0 i 4 a
  5. 3 μ 0 i 2 a
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Passo 1

É a Lei de Biot-Savart que nos dá a fórmula para calcular campo magnético produzido por uma corrente né?

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

É ela que vamos usar!!

Mas pera, vamos analisar primeiro os segmentos retilíneos e depois os segmentos semicirculares, beleza?

Passo 2

Então bora analisar os segmentos retilíneos.

Para os dois segmentos retilíneos os vetores  d l → e r ^ , para o cálculo do campo no ponto P, estão alinhados, ou seja, o ângulo entre eles é 0 ° ou 180 ° . Para esses casos podemos mostrar que:

d l → × r ^ = d l s e n   θ = 0

Então, os segmentos retilíneos não contribuem para o campo no ponto P.

Passo 3

Agora, nos resta analisar os segmentos semicirculares. Para achar o campo produzido por cada um desses segmentos no ponto P precisamos calcular essas quatro integrais.

SÉRIO?? :/

Calma! O truque neste caso é se aproveitar da simetria.

Vamos analisar primeiro o campo produzido por um par de segmentos semicirculares que estão um frente ao outro. Podemos aplicar a lei de Biot-Savart sobre todo o comprimento dos dois segmentos e teremos esse resultado: