Lei de Biot-Savart Geral

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Teoria

Introdução

Ok, nós já aprendemos que a fórmula do campo magnético gerado por uma carga pontual é dado por:

B → = μ 0 4 π q v → × r ^ r 2

Naturalmente, depois de aprender isso queremos saber como tratar de uma distribuição contínua de cargas e achar o campo delas. Existem basicamente duas maneiras de se fazer isso: a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère.

Biot-Savart vai desenvolver algo que já estamos acostumados a fazer. Se resolvermos pegar uma distribuição de cargas e somar os campos infinitesimais que cada carguinha da distribuição faz, teremos o campo total. Ou seja:

d B → = μ 0 4 π d q v → × r ^ r 2

Como uma carga da distribuição é pequena demais comparada ao todo, a representaremos como uma quantidade infinitesimal d q . Normalmente, não temos a expressão da velocidade de cada carga e sim um valor da corrente elétrica numa certa região. Portanto, utilizando-se da definição da corrente:

I = d q d t → d q = I d t

Utilizando a definição do vetor velocidade:

v → = d l → d t

Substituindo tudo:

d B → = μ 0 4 π I d t ( d l → / d t ) × r ^ r 2

Corta o tempo fora e fica:

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2

Integrando:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

E temos a nossa Lei de Biot-Savart. Uma boa pergunta é: quando essa Lei é útil? A resposta é: para segmentos de fios retilíneos e fios circulares (ou semicirculares, etc.).

Esse primeiro não é nem um pouco comum de ser cobrado, porque normalmente caímos em integrais muito difíceis. Já o caso do fio circular é tiro e queda.

Exemplo: Fio Semicircular

Vamos calcular o campo do segmento semicircular do fio no ponto P :

Supondo a orientação clássica:

Aplicando a Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π I ∫ fio   d l → × r ^ r 2

Calculando a direção do produto vetorial:

Se você calcular com calma, pode ver que o ângulo θ é sempre 90 º : d l → × r ^ = d l - z ^

Substituindo, tiramos - z ^ fora da integral:

B → = - μ 0 4 π I z ^ ∫ fio   d l r 2

Além disso, temos que nesse caso o r é constante:

r = R

B → = - μ 0 4 π R 2 I z ^ ∫ fio   d l

Enquanto a integral de d l é o comprimento do fio:

B → = - μ 0 4 π R 2 I z ^ π R

B → = - μ 0 4 R I z ^

E é isso aí.

Raramente nós resolvemos outro tipo de configuração com essa Lei. Quando se trata de um fio retilíneo infinito, normalmente usamos a Lei de Ampère. Porém, para efeito didático, nos exercícios, vamos estudar casos em que calculamos o campo de fios retilíneos com Biot-Savart.

Bora lá!

Exemplo: Fio Semicircular

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere o circuito da figura abaixo, constituído por segmentos retilíneos (I, III, V e VI) e segmentos de arco de círculos (II, IV e VII) concêntricos com o ponto C , percorridos por uma corrente estacionária I , com sentido assinalado. Indique quais de tais segmentos dão uma contribuição não nula para o campo magnético resultante no ponto C .

  1. II, III, IV, V e VII
  2. I, III, V e VI
  3. II, IV e VII
  4. I, II, IV, VI e VII
  5. Todos criam campo magnético não nulo em C

Passo 1

O campo magnético de uma distribuição continua de corrente é dado pela Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

Para sabermos quais segmentos dão uma contribuição não nula para o campo magnético resultante do ponto C precisamos analisar o produto vetorial d l → × r ^ para cada segmento.

Passo 2

Para o segmento I os vetores d l → e r ^ são antiparalelos, ou seja, formam um ângulo de 180 ° e nesse caso:

d l → × r ^ = d l   s e n 180 ° = 0

Para o segmento VI os vetores d l → e r ^ são paralelos, ou seja, formam um ângulo de 0° e nesse caso:

d l → × r ^ = d l   s e n 0 ° = 0

De maneira geral, podemos mostrar que segmentos retilíneos que estão alinhados na direção r ^ não contribuem para o campo, pois:

Desse modo, temos que os segmentos I e VI possuem contribuições NULAS para o campo no ponto C, assim já eliminamos as alternativas b, d, e.

Passo 3

Para os demais segmentos (II, III, IV, V e VII) os vetores d l → e r ^ não estão alinhados de modo que:

d l → × r ^ = d l   s e n   θ ≠ 0

Assim, o campo produzido por esses segmentos no ponto C é não nulo. Desse modo, eliminamos a letra c e já temos nossa resposta. =)

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #2

Dois fios muito longos são percorridos por correntes elétricas estacionárias de mesma intensidade. Cada um de tais fios é constituído por dois segmentos retilíneos (muito longos) e por um arco circular intermediário (com abertura de 90 º ); os raios de tais arcos são tais que R I I > R V . Qual dos segmentos dá maior contribuição para o campo magnético resultante B → C no ponto central C ?

  1. II
  2. V
  3. I e III
  4. IV e VI
  5. Todos contribuem igualmente para B → ( C ) .

Passo 1

Pela lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

Primeiramente fazemos os produtos vetoriais dos fios retilíneos e mostramos que eles fazem campo nulo:

Passo 2

Agora vamos fazer os segmentos circulares. Sabemos que em cada um deles temos r = R constante e a corrente também:

B → = μ 0 I 4 π R 2 ∫ f i o d l → × r ^

Seja z ^ o sentido saindo da tela. Fazendo o produto vetorial para um segmento semicircular genérico:

Temos:

B → = μ 0 I 4 π R 2 z ^ ∫ f i o d l

O comprimento é um quarto de circunferência:

B → = μ 0 I 4 π R 2 z ^ 2 π R 4

B → = μ 0 I 8 R z ^

Passo 3

Portanto, para cada um dos segmentos temos:

B → V = μ 0 I 8 R V z ^

B → I I = μ 0 I 8 R I I z ^

Agora queremos saber quem dá mais. Como: R I I > R V

Segue:

1 R I I < 1 R V

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por μ 0 I / 8 :

μ 0 I 8 R I I < μ 0 I 8 R V

B I I < B V

Ou seja, o segmento V é quem dá mais.

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #3

Uma corrente estacionária, de intensidade I , flui ao longo de um segmento retilíneo que se divide, igualmente, em quatro meridianos de uma esfera de raio a , perpendiculares (dois a dois) entre si, e reencontrando-se num outro segmento retilíneo. Qual é o módulo do campo magnético no centro P da esfera?

  1. μ 0 i a
  2. μ 0 i 2 a
  3. 0
  4. μ 0 i 4 a
  5. 3 μ 0 i 2 a

Passo 1

É a Lei de Biot-Savart que nos dá a fórmula para calcular campo magnético produzido por uma corrente né?

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

É ela que vamos usar!!

Mas pera, vamos analisar primeiro os segmentos retilíneos e depois os segmentos semicirculares, beleza?

Passo 2

Então bora analisar os segmentos retilíneos.

Para os dois segmentos retilíneos os vetores  d l → e r ^ , para o cálculo do campo no ponto P, estão alinhados, ou seja, o ângulo entre eles é 0 ° ou 180 ° . Para esses casos podemos mostrar que:

d l → × r ^ = d l s e n   θ = 0

Então, os segmentos retilíneos não contribuem para o campo no ponto P.

Passo 3

Agora, nos resta analisar os segmentos semicirculares. Para achar o campo produzido por cada um desses segmentos no ponto P precisamos calcular essas quatro integrais.

SÉRIO?? :/

Calma! O truque neste caso é se aproveitar da simetria.

Vamos analisar primeiro o campo produzido por um par de segmentos semicirculares que estão um frente ao outro. Podemos aplicar a lei de Biot-Savart sobre todo o comprimento dos dois segmentos e teremos esse resultado:

Pela figura podemos perceber que os campos produzidos por cada segmento possuem a mesma direção, mas sentidos opostos.

Note também que a corrente que passa pelos dois segmentos é a mesma, o comprimento dos dois segmentos é o mesmo e a distância dos segmentos para o ponto P também é a mesma, pois o ponto P é o centro da semicircunferência. Então nós temos que o módulo dos campos produzidos é o mesmo.

Então os campos se anulam e o campo resultante desse par será zero no ponto P.

Analogamente, o outro par vai zerar também.

Logo, o campo total é:

B → = 0 →

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #4

Calcule o campo magnético no ponto P devido ao circuito com corrente estacionária de intensidade I .

  1. - μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^
  2. μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^
  3. - μ 0 I 2 1 a - 1 b z ^
  4. μ 0 I 2 1 a - 1 b z ^
  5. - μ 0 I 2 π 1 a - 1 b z ^
  6. μ 0 I 2 π 1 a - 1 b z ^
  7. - μ 0 I 4 π 1 a - 1 b z ^
  8. μ 0 I 4 π 1 a - 1 b z ^

Passo 1

Bom, fio circular é com Biot-Savart. Enunciando a Lei:

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

Mostramos que os segmentos retilíneos não contribuem com campo pois o produto vetorial de dois vetores paralelos é nulo:

Passo 2

Agora vamos fazendo o produto vetorial para cada um dos segmentos semicirculares

O menor fica:

B → a = μ 0 I 4 π a 2 ( - z ^ ) ∫ r = a d l

B → a = - μ 0 I 4 π a 2 2 π a 2 z ^

B → a = - μ 0 I 4 a z ^

Passo 3

Analogamente o maior fica:

B → b = μ 0 I 4 π b 2 ( z ^ ) ∫ r = b d l

B → b = μ 0 I 4 b z ^

Passo 4

Somando:

B → = μ 0 I 4 b z ^ - μ 0 I 4 a z ^

B → = μ 0 I 4 1 b - 1 a z ^

Arrumando:

B → = - μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #5

O fio que aparece na figura abaixo é percorrido por uma corrente i . Qual é o valor da contribuição para o campo magnético no centro C da semicircunferência devido

(a) a cada segmento retilíneo de comprimento l ;

(b) à semicircunferência de raio R ; e

(c) a todo fio?

Passo 1

(a) Contribuição dos segmentos retilíneos de comprimento l .

Aqui, vamos aplicar a lei de Biot-Savart, que é dada por:

d B → = μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2 .

Bem, vamos começar olhando para a figura abaixo:

Daí a gente já consegue concluir que, tanto para o segmento retilíneo da esquerada, como para o da direita, temos que:

d l → × r ^ = 0 → ,

já que esses vetores são paralelos entre si. Isso significa que esses segmentos não contribuem para o campo magnético em C .

Passo 2

(b) Contribuição da semicircunferência de raio R .

Já para a semicircunferência, podemos concluir da figura que:

d l → × r ^ = d l ≈ R d θ .

Substituindo na expressão de d B → , temos:

d B = μ 0 i 4 π d θ R .

Integrando:

B = μ 0 i 4 π R ∫ 0 π d θ ,

B = μ 0 i 4 R .

Se usarmos a regra da mão direita para determinar direção e sentido do campo, vemos que ele é perpendicular ao plano da folha e aponta para dentro dela.

Passo 3

(c) Contribuição de todo o fio.

A contribuição total é a soma de todas as contribuições. Mas como o campo em C gerado pelos dois segmentos de reta é nulo, o campo magnético total em C vai ser aquele calculado no item (b), dado por:

B = μ 0 i 4 R .

Resposta

(a) B = 0 .

(b) B = μ 0 i 4 R .

(c) B = μ 0 i 4 R

Exercício Resolvido #6

Determine o módulo do campo magnético de um fio retilíneo de comprimento l , por onde passa uma corrente i , num ponto P situado a uma distância y do fio. Dê a resposta em função dos ângulos θ 1 e θ 2 formados entre a normal ao fio baixada do ponto P e pelas retas que unem o ponto P com as extremidades do fio considerado.

Passo 1

A figura abaixo representa a configuração dada no enunciado.

Vamos utilizar a lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético B . Temos que:

d B → = μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2 ,

d B = μ 0 i 4 π d x sen ⁡ α r 2 ,

já que o ângulo entre os vetores d l → e r ^ é igual a α .

Passo 2

Precisamos, agora encontrar uma relação de x com o ângulo α , já que os dois estão variando com x . Para isso, vamos olhar para o triângulo retângulo abaixo:

Da figura, a gente pode concluir que

sen ⁡ α = cos ⁡ θ .

E também que

tan ⁡ θ = x y → x = y tan ⁡ θ

d x = y sec 2 ⁡ θ d θ .

Agora, precisamos relacionar o ângulo θ com o raio r . Temos que:

cos ⁡ θ = y r → r = y cos ⁡ θ .

Passo 3

Vamos substituir todas as relações encontradas no Passo 2 na expressão de d B :

d B = μ 0 i 4 π d x sen ⁡ α r 2 ,

d B = μ 0 i 4 π y sec 2 ⁡ θ d θ cos ⁡ θ y cos ⁡ θ 2 ,

d B = μ 0 i 4 π y cos ⁡ θ d θ .

Passo 4

Agora, já podemos integrar a expressão do Passo 3 para encontrar o módulo do campo magnético B . Mas antes vamos checar os limites de integração. Se a gente olhar para as duas figuras, vemos que o ângulo θ varia, na verdade, de θ = - θ 1 até θ = θ 2 . Serão esses, então, os nossos limites. Vamos lá:

B = μ 0 i 4 π y ∫ - θ 1 θ 2 cos ⁡ θ d θ ,

B = μ 0 i 4 π y sen ⁡ θ 2 - sen ⁡ - θ 1 ,

B = μ 0 i 4 π y sen ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 1 .

Resposta

B = μ 0 i 4 π y sen ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 1 .

Exercício Resolvido #7

Considere a espira da figura formada pelo arco B C de circunferência centrado em O e raio O B = a , pelo segmento A B de comprimento a / 2 sobre o eixo x e pelo segmento A C paralelo ao eixo y . A espira é percorrida por uma corrente de intensidade I com sentido mostrado na figura (anti-horário).

Nestas condições, utilizando explicitamente a Lei de Biot-Savart e justificando as suas afirmações, determine:

(a) O campo magnético B 1 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A C .

(b) O campo magnético B 2 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A B .

(c) O campo magnético B 3 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao arco B C .

(d) O campo magnético total B T (módulo, direção e sentido) na origem O .

Passo 1

(a) O campo magnético B 1 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A C .

Bom, vamos lá. Para começar, vamos relembrar o que a lei de Biot-Savart nos diz. Temos:

d B → = μ 0 4 π I d l → × r ^ r 2 ,

onde o vetor d l ^ aponta na direção da corrente e r ^ aponta para onde queremos medir o campo, respectivamente. Além disso, r é a distância até o ponto no qual o campo será medido. Beleza? Vamos adiante.

Passo 2

No item (a), queremos medir o campo B 1 → na origem gerado pelo segmento A C . Vamos olhar para a figurinha abaixo.

Bem, da figura, podemos concluir que a distância r à origem O de um elemento de corrente infinitesimal é dada por:

r = a / 2 2 + y 2   .

Vamos calcular também o seno de θ , para quando fizermos o produto vetorial d l → × r ^ . Temos:

sen ⁡ θ = a 2 r = a 2 a / 2 2 + y 2 .

Pra finalizar, vemos que d l é, na verdade, d y .

Passo 3

Agora podemos reescrever a equação de Biot-Savart com as informações que a gente obteve acima. Saca só:

d B 1 = μ 0 4 π I   d y sen ⁡ θ   r 2 ,

d B 1 = μ 0 I 4 π a 2 a / 2 2 + y 2 3 / 2   d y .

O sentido e direção de B 1 → podem ser obtidos pela regra da mão direita! Bem, como d l → aponta para baixo e r ^ tem a direção da reta tracejada da figura, apontando para a origem, B 1 → irá apontar para dentro da página, ou seja, no sentido negativo do eixo z .

Passo 4

Por fim, para obter B 1 , integramos a equação acima. Lembrando que y varia de 0 até 3 2 a , que é o comprimento de A C . Temos:

B 1 = μ 0 I 8 π ∫ 0 3 a / 2 a a / 2 2 + y 2 3 / 2   d y .

Agora precisamos resolver essa integral! Para isso, fazemos a seguinte substituição de variáveis:

y = a / 2 tan ⁡ ϕ → d y = a / 2 sec 2 ⁡ ϕ   d ϕ   .

Para y = 0 , ϕ = 0 e para y = 3 a / 2 , ϕ = π / 3 .

A integral resultante vai ser:

B 1 = μ 0 I 8 π ∫ 0 π 3 a 2 2 sec 2 ⁡ ϕ a 2 2 + a 2 tan ⁡ ϕ 2 3 2 d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 8 π ∫ 0 π 3 a 2 2 sec 2 ⁡ ϕ a 2 3 1 + tan ⁡ ϕ 2 3 2 d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 8 π ∫ 0 π 3 sec 2 ⁡ ϕ a 4 sec 2 ⁡ ϕ 3 2 d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 2 π a ∫ 0 π 3 1 sec ⁡ ϕ d ϕ ,

B 1 = μ 0 I 2 π a ∫ 0 π 3 cos ⁡ ϕ d ϕ ,