Teoria Completa
Fala aí, nós somos o Responde aí, e nossa missão hoje é te mostrar a Lei de Ampère.
Em um momento do estudo da física houve uma grande descoberta: uma corrente elétrica percorrendo um fio de cobre gerava um campo magnético.
Essa foi a reação dos físicos na época, hahahaha.
Mas ainda havia uma pergunta para ser respondida: Como calcular esse campo magnético? A intensidade dele é proporcional a que? E foi André Marie Ampère que respondeu essas perguntas pra gente, desenvolvendo uma expressão, a partir da qual é possível calcular o vetor campo magnético, que ficou conhecida como Lei de Ampère.
Essa é a Lei de Ampère:
Eita! Vamos entender isso aos pouquinhos, mas antes, sobre a Lei de Ampère:
- $C$ é uma curva FECHADA, que chamamos de amperiana. Essa curva amperiana é como se fosse um bambolê, que "cerca" o fio por onde está passando a corrente. Essa curva ela não existe de verdade, a gente supõe que ela está lá, para podermos aplicar a Lei de Ampère, beleza?
- Fazemos uma integral de linha sobre essa amperiana;
- O vetor $\vec{dl}$ é o vetor infinitesimal que é tangente a curva $C$ em todos os pontos;
- $\vec{B}$ é o vetor campo magnético, sobre a curva $C$;
- $\mu _{0}$ é uma constante;
- $I_{int}$ é a corrente elétrica que passa por dentro da curva $C$.
Observe a figura:
Dentro da integral nós temos um produto escalar entre dois vetores, então, podemos reescrever esse produto em função do módulo dos vetores e do cosseno do ângulo que se forma entre eles:
Se o campo sobre a curva $C$ for constante, e o ângulo entre eles for conhecido e também constante, nós podemos tirar tanto o $B$ quanto o $cos(θ)$ da integral:
A integral de $dl$ sobre a curva $C$ vai nos dá o comprimento dessa curva, que vamos representar por $L$:
Assim, ficamos com uma expressão muito mais simples, não é mesmo? Mas é necessário a gente se atentar para as simplificações que OBRIGATORIAMENTE precisam estar presentes para que a Lei de Ampère fique mais simples assim:
- O módulo do campo magnético tem que ser constante em todo o comprimento da curva, só assim podemos tirá-lo da integral. Vimos lá em cima que a amperiana é uma curva que nós mesmos criamos, imaginariamente, para podermos aplicar a Lei de Ampère, então sempre tentamos escolher curvas amperianas em que o campo magnético fique constante em todo o seu comprimento para poder facilitar os nossos cálculos.
- Além do módulo de campo magnético constante, também precisamos que o ângulo que ele faz com o vetor unitário de comprimento da curva $(\vec{dl})$ também seja constante, para assim tirar o cosseno da integral.
- A curva amperiana não precisa necessariamente ser circular, ela pode ter qualquer formato estranho, mas lembra que nessa forma simplificada nós temos que achar o comprimento da curva, então é bom tentarmos supor uma amperiana tendo um formato conhecido, como o círculo ou um quadrado, por exemplo, porque conseguimos calcular o comprimento nesses casos.
Exercício
Topa fazer um exemplo aqui comigo para ver na prática como funciona a lei de ampère? Então bora.
Calcule o módulo do campo magnético, $\vec{B}$, gerado por uma corrente de intensidade $i$ que passa no interior de um fio, como mostra a figura:
RESOLUÇÃO:
A questão já nos mostra o vetor campo magnético gerado pela corrente e quer saber só o módulo, então vamos usar a forma já simplificada, lembrando das considerações que precisam ser respeitadas, beleza?
Vamos escolher uma amperiana circular e que tem o centro coincidindo com o centro do fio. O módulo do campo magnético depende da distância em relação a corrente que o está gerando, se a amperiana é circular e é concêntrica com o fio todos os pontos da amperiana estão a mesma distância do fio e assim garantimos que o módulo do campo seja igual em todos os pontos da amperiana:
Vamos colocar o vetor $\vec{dl}$ nessa orientação aqui:
Assim garantimos que o ângulo entre o vetor campo magnético e o vetor comprimento seja sempre zero.
Agora, podemos aplicar a fórmula:
O comprimento da curva podemos calcular rapidamente como sendo o comprimento da circunferência:
E o cosseno de zero nós sabemos:
E a corrente elétrica interna é a corrente $i$, que passa por dentro da nossa amperiana.
Agora, podemos substituir na equação e encontrar o módulo do campo magnético em função de $R$ e $\mu_0$:
Prontinho!!
Exercício Resolvido #1
Considere as seguintes afirmações:
- O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.
- A afirmação é verdadeira devido à simetria axial da espira.
- Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.
- Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.
São verdadeiras as afirmativas:
Somente
e
, e
e
Somente
Passo 1
Vamos analisar uma afirmativa por vez, ok?
- O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.
A lei de Ampère é dada por:
Assim, é possível aplicar a lei de Ampère a este caso.
A afirmação é verdadeira.
Passo 2
- A afirmação é verdadeira devido à simetria axial da espira.
A simetria pode facilitar os cálculos, mas não é um requisito para aplicar a lei de Ampère.
A afirmação é falsa.
Passo 3
- Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.
Novamente, a simetria não é um requisito para aplicar a lei de Ampère. Dessa forma, a lei permaneceria válida se a espira fosse quadrada.
A afirmação é falsa.
Passo 4
- Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.
A única exigência da lei de Ampère é que a amperiana envolva todas as correntes.
Logo, a afirmativa é falsa.
A opção correta é a letra .
Resposta
Somente
Exercício Resolvido #2
Seja uma superfície esférica S, dividida em duas metades e por um grande círculo . A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que:
O fluxo do campo magnético através de é proporcional à circulação de corrente através de .
A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional à intensidade de corrente através de .
A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional à intensidade de corrente através de .