Lei de Ampère

Teoria Completa

Fala aí, nós somos o Responde aí, e nossa missão hoje é te mostrar a Lei de Ampère.

Em um momento do estudo da física houve uma grande descoberta: uma corrente elétrica percorrendo um fio de cobre gerava um campo magnético.

Essa foi a reação dos físicos na época, hahahaha.

Mas ainda havia uma pergunta para ser respondida: Como calcular esse campo magnético? A intensidade dele é proporcional a que? E foi André Marie Ampère que respondeu essas perguntas pra gente, desenvolvendo uma expressão, a partir da qual é possível calcular o vetor campo magnético, que ficou conhecida como Lei de Ampère.

Essa é a Lei de Ampère:

$$\oint _{C}\vec{B} .\ \overrightarrow{dl} =\mu _{0} I_{int}$$

Eita! Vamos entender isso aos pouquinhos, mas antes, sobre a Lei de Ampère:

  • $C$ é uma curva FECHADA, que chamamos de amperiana. Essa curva amperiana é como se fosse um bambolê, que "cerca" o fio por onde está passando a corrente. Essa curva ela não existe de verdade, a gente supõe que ela está lá, para podermos aplicar a Lei de Ampère, beleza?
  • Fazemos uma integral de linha sobre essa amperiana;
  • O vetor $\vec{dl}$ é o vetor infinitesimal que é tangente a curva $C$ em todos os pontos;
  • $\vec{B}$ é o vetor campo magnético, sobre a curva $C$;
  • $\mu _{0}$ é uma constante;
  • $I_{int}$ é a corrente elétrica que passa por dentro da curva $C$.

Observe a figura:

Dentro da integral nós temos um produto escalar entre dois vetores, então, podemos reescrever esse produto em função do módulo dos vetores e do cosseno do ângulo que se forma entre eles:

$$\oint _{C}B .dl.cos(θ) =\mu _{0} I_{int}$$

Se o campo sobre a curva $C$ for constante, e o ângulo entre eles for conhecido e também constante, nós podemos tirar tanto o $B$ quanto o $cos(θ)$ da integral:

$$B.cos(θ)\oint _{C}dl =\mu _{0} I_{int}$$

A integral de $dl$ sobre a curva $C$ vai nos dá o comprimento dessa curva, que vamos representar por $L$:

$$B~cos(θ)~L =\mu _{0}~ I_{int}$$

Assim, ficamos com uma expressão muito mais simples, não é mesmo? Mas é necessário a gente se atentar para as simplificações que OBRIGATORIAMENTE precisam estar presentes para que a Lei de Ampère fique mais simples assim:

  • O módulo do campo magnético tem que ser constante em todo o comprimento da curva, só assim podemos tirá-lo da integral. Vimos lá em cima que a amperiana é uma curva que nós mesmos criamos, imaginariamente, para podermos aplicar a Lei de Ampère, então sempre tentamos escolher curvas amperianas em que o campo magnético fique constante em todo o seu comprimento para poder facilitar os nossos cálculos.
  • Além do módulo de campo magnético constante, também precisamos que o ângulo que ele faz com o vetor unitário de comprimento da curva $(\vec{dl})$ também seja constante, para assim tirar o cosseno da integral.
  • A curva amperiana não precisa necessariamente ser circular, ela pode ter qualquer formato estranho, mas lembra que nessa forma simplificada nós temos que achar o comprimento da curva, então é bom tentarmos supor uma amperiana tendo um formato conhecido, como o círculo ou um quadrado, por exemplo, porque conseguimos calcular o comprimento nesses casos.

Exercício

Topa fazer um exemplo aqui comigo para ver na prática como funciona a lei de ampère? Então bora.

Calcule o módulo do campo magnético, $\vec{B}$, gerado por uma corrente de intensidade $i$ que passa no interior de um fio, como mostra a figura:

RESOLUÇÃO:

A questão já nos mostra o vetor campo magnético gerado pela corrente e quer saber só o módulo, então vamos usar a forma já simplificada, lembrando das considerações que precisam ser respeitadas, beleza?

Vamos escolher uma amperiana circular e que tem o centro coincidindo com o centro do fio. O módulo do campo magnético depende da distância em relação a corrente que o está gerando, se a amperiana é circular e é concêntrica com o fio todos os pontos da amperiana estão a mesma distância do fio e assim garantimos que o módulo do campo seja igual em todos os pontos da amperiana:

Vamos colocar o vetor $\vec{dl}$ nessa orientação aqui:

Assim garantimos que o ângulo entre o vetor campo magnético e o vetor comprimento seja sempre zero.

Agora, podemos aplicar a fórmula:

$$B~cos(θ)~L =\mu _{0}~ I_{int}$$

O comprimento da curva podemos calcular rapidamente como sendo o comprimento da circunferência:

$$L=comprimento ~~~circunferência=2\pi R~~\longrightarrow ~~ Onde~~R~~é~~o~~raio~~da~~amperiana$$

E o cosseno de zero nós sabemos:

$$cos (0)=1$$

E a corrente elétrica interna é a corrente $i$, que passa por dentro da nossa amperiana.

Agora, podemos substituir na equação e encontrar o módulo do campo magnético em função de $R$ e $\mu_0$:

$$B2\pi R =\mu _{0}~ i$$
$$B=\frac{\mu_0~i}{2~\pi~R}$$

Prontinho!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ – Prova Final – 2014.2 – Múltipla Escolha nº4

Considere as seguintes afirmações:

I - O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.

I I - A afirmação I é verdadeira devido à simetria axial da espira.

I I I - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.

I V - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.

São verdadeiras as afirmativas:

a Somente I

b I e I I

c I , I I e I I I

d I e I V

e Somente I V

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Passo 1

Vamos analisar uma afirmativa por vez, ok?

I - O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.

A lei de Ampère é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Assim, é possível aplicar a lei de Ampère a este caso.

A afirmação é verdadeira.

Passo 2

I I - A afirmação I é verdadeira devido à simetria axial da espira.

A simetria pode facilitar os cálculos, mas não é um requisito para aplicar a lei de Ampère.

A afirmação é falsa.

Passo 3

I I I - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.

Novamente, a simetria não é um requisito para aplicar a lei de Ampère. Dessa forma, a lei permaneceria válida se a espira fosse quadrada.

A afirmação é falsa.

Passo 4

I V - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.

A única exigência da lei de Ampère é que a amperiana envolva todas as correntes.

Logo, a afirmativa é falsa.

A opção correta é a letra a .

Resposta

a Somente I

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Prova 2 – 2014.2 – Múltipla Escolha nº4

Seja uma superfície esférica S, dividida em duas metades S 1 e S 2 por um grande círculo C . A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que:

a O fluxo do campo magnético através de S 1 é proporcional à circulação de corrente através de C .

b A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S .

c A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S 2 .

d