Lei de Ampère

Teoria Completa

Introdução

Opa, já digo de início: a lei de Ampère é um análogo da Lei de Gauss para o magnetismo.

Como assim? Bom, lembra que tentamos usar a Lei de Gauss para campos magnéticos e deu zero sempre? Pois bem, dando zero sempre não conseguimos tirar informações muito úteis sobre o campo magnético... Precisamos então de uma nova lei.

A lei de Ampère é enunciada da seguinte forma:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

A integral de linha do Campo Magnético por uma curva fechada qualquer C é igual à uma constante μ 0 vezes a corrente que passa por dentro da curva.

Quatro coisas que você precisa saber sobre a Lei de Ampère:

  • Coisa que todo mundo esquece: na Lei de Ampère a nossa integral é numa CURVA FECHADA! Esta curva é chamada de Amperiana. É como se fosse um bambolê, e não uma casca de melancia ou saco plástico. Show?
  • O vetor d l → em questão é o vetor infinitesimal que é tangente à curva C em todos os pontos;
  • Por se tratar de uma integral de linha, a curva C deve estar orientada. Essa orientação vai influenciar no sinal da integral e no que nós consideramos ser corrente positiva ou negativa;
  • A última coisa é essa definição de corrente I i n t . Ela é uma corrente constante que passa por dentro da nossa curva C . Esse conceito de passar por “dentro” talvez seja um pouco abstrato no início, então vamos ver alguns exemplos depois.

Circulação de Corrente

Uma definição matemática formal dessa coisa vem do Teorema de Stokes, mas isso aqui é teoria de física e não de cálculo então vamos ficar na informalidade mesmo kkkk.

Prosseguindo... Na Lei de Gauss, nós chamávamos aquela integral louca de fluxo do campo elétrico. No caso da Lei de Ampère, não temos um fluxo, pois nossa integral não é numa superfície e sim numa curva. Logo, essa quantidade que é a integral de B → ∙ d l → nós chamamos de Circulação de Corrente:

Γ C [ B ] = ∮ C B → ∙ d l →

O fato é que raramente trabalhamos com essa integral, portanto o que costuma acontecer é usarmos a expressão do lado direito da Lei de Ampère para calcular a circulação:

Γ C B = μ 0 I i n t

Agora vamos ver como calcular essa bandida. Observe a figura abaixo:

Temos nossa curva C em verde, orientada no sentido anti-horário e dois fios passando uma corrente I . A circulação afinal é quanto? Como só um fio atravessa o interior da curva, temos que a circulação deve ser:

Γ C B = ± μ 0 I

Agora, vai ser positiva ou vai ser negativa? Isso depende da orientação da curva, e nós conseguimos relacionar com esse sentido da corrente. Lembra do vetor área? Nós vamos mexer um pouco mais com ele agora. Se a curva está orientada conforme o desenho, pela regra da mão direita, enrolamos nossos dedos no sentido da curva C e nosso polegar é o vetor área. Portanto:

Como a corrente e o vetor área estão no mesmo sentido, temos que a circulação deste fio vai ser positiva. Logo:

Γ C B = μ 0 I

O que o sujeito faz quando ele fixa uma orientação para a curva é fixar uma orientação para o vetor área. Ao estudar a Lei de Faraday vamos precisar bastante desses conceitos. Talvez hoje você não ache tão relevante essa ideia do vetor área, mas no futuro vai achar.

Vamos ver mais exemplos?

Se tivermos vários fios dentro da curva:

Achou o vetor área pela regra da mão direita:

E portanto, a circulação de corrente é só a soma disso tudo, respeitando os sinais:

Γ C B = μ 0 - I + 2 I + 3 I - 4 I

Γ C B = 0

Show? Agora, se a curva tiver um formato estranho:

Como faz? Essa curva é válida? Sim, pois o único requisito é que uma curva tenha uma orientação só. Se você seguir as setas com seu dedo, vai ver que a orientação é consistente.

A solução é mais simples do que parece. A circulação de corrente nada mais é do que uma integral. Uma integral é como uma soma, portanto ela herda várias propriedades, como por exemplo a associatividade. Então o truque é separar em duas curvas simples:

∮ C 1 ∪ C 2 B → ∙ d l → = ∮ C 1 B → ∙ d l → + ∮ C 2 B → ∙ d l →

Γ C 1 ∪ C 2 = Γ C 1 + Γ C 2

E depois somar. No caso, fica:

Portanto a circulação é:

Γ C B = μ 0 I + μ 0 I

Γ C B = 2 μ 0 I

Isso encerra circulação de corrente. Espero que tenha curtido o passeio.

Correção de Maxwell

Sim, eu sei, a Lei de Ampère é linda... mas acontece que ela está incompleta. Maxwell percebeu que havia casos em que ela falhava em encontrar o campo magnético, por conta disso ele resolveu corrigir o coleguinha:

∮ C B → ∙ d l → = μ 0 I i n t + μ 0 ϵ 0 ∂ ϕ E ∂ t

Ou seja, ele meteu um novo fator na fórmula. Já conhecemos a constante ϵ 0 de outros carnavais, mas e esse outro troço?

O ϕ E corresponde ao fluxo de campo elétrico por dentro da curva C , ou seja:

ϕ E = ∬ S E → ∙ d A →

Isso lembra a Lei de Gauss, mas cuidado, porque essa superfície é sempre aberta e tem como borda a curva C .

O que inspirou essa correção foi um capacitor sendo carregado. Se liga, conforme ele vai carregando, surge um campo elétrico variável entre as extremidades das placas. Se colocarmos uma Amperiana ali, teremos o seguinte:

Pelo que estudamos até agora, não deve haver nenhuma corrente atravessando a Amperiana, logo:

I i n t = 0

O que nos deixa com:

∮ C B → ∙ d l → = μ 0 ϵ 0 ∂ ϕ E ∂ t

Agora é só calcular o fluxo elétrico, derivar em relação ao tempo e colocar na fórmula.

Vamos dar o nome de corrente de deslocamento a esse novo termo:

I d e s = ϵ 0 ∂ ϕ E ∂ t

E, pra ninguém ficar com inveja, batizamos a corrente antiga de corrente de condução I c o n d . Assim, podemos escrever a Lei corrigida da seguinte forma:

∮ C B → ∙ d l → = μ 0 I c o n d + μ 0 I d e s

Relembrando...

  • Corrente de condução I c o n d : É a corrente proveniente do movimento de cargas;
  • Corrente de deslocamento I d e s : É a corrente proveniente da variação do fluxo elétrico através da Amperiana.

Isso encerra a correção de Maxwell.

Campo Magnético no Interior de um Condutor

O caso que você provavelmente mais vai ver é o seguinte:

Temos um fio longo (infinito), cilíndrico, de raio R e que transporta uma corrente i .

A ideia é a seguinte... se formos calcular o campo magnético a uma distância r ≥ R (fora do fio) do eixo de simetria do fio, basta usar a Lei de Ampère e teremos que:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Nesse caso, devido à simetria cilíndrica do condutor, a boa é usarmos uma amperiana circular, dessa forma:

B . 2 π r = μ 0 i

Logo:

B r = μ 0 i 2 π r

C a m p o   m a g n é t i c o   e m   r ≥ R

Ok, mas e se quisermos calcular o campo magnético a uma distância r < R (dentro do fio)?

Nesse caso, teremos que usar a densidade de corrente pra facilitar a nossa vida, que é dada por:

J = d I d A

Assim, a corrente que deveremos usar na Lei de Ampère será:

I i n t = ∫ J . d A

Como na maioria dos casos teremos que lidar com cilindros, o diferencial da área d A será:

d A = 2 π r . d r

Logo:

I i n t = ∫ J . 2 π r . d r

Por último, basta substituir I i n t na expressão do campo magnético:

B r = μ 0 2 π r ∫ J . 2 π r . d r

C a m p o   m a g n é t i c o   e m   r < R

Na verdade, você não precisa gravar essa última fórmula. Recapitulando, quando tivermos que calcular o campo magnético no interior de um fio condutor, teremos que:

  1. Calcular a corrente I i n t no interior da nossa amperiana;
  2. Substituir essa corrente na expressão do campo magnético B r ;

Agora só vai depender do que o problema vai te informar em relação à densidade de corrente. Se a densidade de corrente for uma função de r J r , basta substituí-la na integral e ser feliz. Se o enunciado informar que a corrente está uniformemente distribuída, podemos ir por um outro caminho, vamos dar uma olhada no próximo exemplo.

Condutor com Corrente Uniformemente Distribuída

Sempre que o problema falar em corrente uniformemente distribuída, podemos simplificar a nossa vida com uma relação simples.

Se liga... temos um condutor cilíndrico de raio R e que transporta uma corrente i , uniformemente distribuída em sua seção reta, vamos calcular o campo magnético em qualquer ponto tal que r < R .

Se a corrente está uniformemente distribuída, então a densidade de corrente é constante. Além disso, nós sabemos que a corrente total no condutor é i , portanto:

J = I A = c o n s t .

J = i π R 2 = I i n t π r 2

I i n t = i π r 2 π R 2

I i n t = i r 2 R 2

Substituindo na expressão do campo magnético, teremos:

B r = μ 0 I i n t 2 π r

B r = μ 0 i 2 π r r 2 R 2

Finalmente:

B r = μ 0 i r 2 π R 2

Viu? Não é um bicho de 7 cabeças...

Novamente, sempre que o problema falar em densidade de corrente constante, ou corrente uniformemente distribuída, vamos ter que ir pelo mesmo caminho... o que deve mudar de uma questão para outra é a seção reta do condutor.

Vamos dar uma olhada nos exercícios pra fixar isso melhor.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ – Prova Final – 2014.2 – Múltipla Escolha nº4

Considere as seguintes afirmações:

I - O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.

I I - A afirmação I é verdadeira devido à simetria axial da espira.

I I I - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.

I V - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.

São verdadeiras as afirmativas:

a Somente I

b I e I I

c I , I I e I I I

d I e I V

e Somente I V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos analisar uma afirmativa por vez, ok?

I - O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.

A lei de Ampère é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Assim, é possível aplicar a lei de Ampère a este caso.

A afirmação é verdadeira.

Passo 2

I I - A afirmação I é verdadeira devido à simetria axial da espira.

A simetria pode facilitar os cálculos, mas não é um requisito para aplicar a lei de Ampère.

A afirmação é falsa.

Passo 3

I I I - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.

Novamente, a simetria não é um requisito para aplicar a lei de Ampère. Dessa forma, a lei permaneceria válida se a espira fosse quadrada.

A afirmação é falsa.

Passo 4

I V - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.

A única exigência da lei de Ampère é que a amperiana envolva todas as correntes.

Logo, a afirmativa é falsa.

A opção correta é a letra a .

Resposta

a Somente I

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Prova 2 – 2014.2 – Múltipla Escolha nº4

Seja uma superfície esférica S, dividida em duas metades S 1 e S 2 por um grande círculo C . A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que:

a O fluxo do campo magnético através de S 1 é proporcional à circulação de corrente através de C .

b A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S .

c A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S 2 .

d O fluxo do campo magnético através de S