Teoria

Fala aí, nós somos o Responde aí, e nossa missão hoje é te mostrar a Lei de Ampère.

Em um momento do estudo da física houve uma grande descoberta: uma corrente elétrica percorrendo um fio de cobre gerava um campo magnético.

Essa foi a reação dos físicos na época, hahahaha.

Mas ainda havia uma pergunta para ser respondida: Como calcular esse campo magnético? A intensidade dele é proporcional a que? E foi André Marie Ampère que respondeu essas perguntas pra gente, desenvolvendo uma expressão, a partir da qual é possível calcular o vetor campo magnético, que ficou conhecida como Lei de Ampère.

Essa é a Lei de Ampère:

Eita! Vamos entender isso aos pouquinhos, mas antes, sobre a Lei de Ampère:

  • é uma curva FECHADA, que chamamos de amperiana. Essa curva amperiana é como se fosse um bambolê, que "cerca" o fio por onde está passando a corrente. Essa curva ela não existe de verdade, a gente supõe que ela está lá, para podermos aplicar a Lei de Ampère, beleza?
  • Fazemos uma integral de linha sobre essa amperiana;
  • O vetor é o vetor infinitesimal que é tangente a curva em todos os pontos;
  • é o vetor campo magnético, sobre a curva ;
  • é uma constante;
  • é a corrente elétrica que passa por dentro da curva .

Observe a figura:

Dentro da integral nós temos um produto escalar entre dois vetores, então, podemos reescrever esse produto em função do módulo dos vetores e do cosseno do ângulo que se forma entre eles:

Se o campo sobre a curva for constante, e o ângulo entre eles for conhecido e também constante, nós podemos tirar tanto o quanto o da integral:

A integral de sobre a curva vai nos dá o comprimento dessa curva, que vamos representar por :

Assim, ficamos com uma expressão muito mais simples, não é mesmo? Mas é necessário a gente se atentar para as simplificações que OBRIGATORIAMENTE precisam estar presentes para que a Lei de Ampère fique mais simples assim:

  • O módulo do campo magnético tem que ser constante em todo o comprimento da curva, só assim podemos tirá-lo da integral. Vimos lá em cima que a amperiana é uma curva que nós mesmos criamos, imaginariamente, para podermos aplicar a Lei de Ampère, então sempre tentamos escolher curvas amperianas em que o campo magnético fique constante em todo o seu comprimento para poder facilitar os nossos cálculos.
  • Além do módulo de campo magnético constante, também precisamos que o ângulo que ele faz com o vetor unitário de comprimento da curva também seja constante, para assim tirar o cosseno da integral.
  • A curva amperiana não precisa necessariamente ser circular, ela pode ter qualquer formato estranho, mas lembra que nessa forma simplificada nós temos que achar o comprimento da curva, então é bom tentarmos supor uma amperiana tendo um formato conhecido, como o círculo ou um quadrado, por exemplo, porque conseguimos calcular o comprimento nesses casos.

Exercício

Topa fazer um exemplo aqui comigo para ver na prática como funciona a lei de ampère? Então bora.

Calcule o módulo do campo magnético, , gerado por uma corrente de intensidade que passa no interior de um fio, como mostra a figura:

RESOLUÇÃO:

A questão já nos mostra o vetor campo magnético gerado pela corrente e quer saber só o módulo, então vamos usar a forma já simplificada, lembrando das considerações que precisam ser respeitadas, beleza?

Vamos escolher uma amperiana circular e que tem o centro coincidindo com o centro do fio. O módulo do campo magnético depende da distância em relação a corrente que o está gerando, se a amperiana é circular e é concêntrica com o fio todos os pontos da amperiana estão a mesma distância do fio e assim garantimos que o módulo do campo seja igual em todos os pontos da amperiana:

Vamos colocar o vetor nessa orientação aqui:

Assim garantimos que o ângulo entre o vetor campo magnético e o vetor comprimento seja sempre zero.

Agora, podemos aplicar a fórmula:

O comprimento da curva podemos calcular rapidamente como sendo o comprimento da circunferência:

êé

E o cosseno de zero nós sabemos:

E a corrente elétrica interna é a corrente , que passa por dentro da nossa amperiana.

Agora, podemos substituir na equação e encontrar o módulo do campo magnético em função de e :

Prontinho!!

Exercício

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere as seguintes afirmações:

I - O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.

I I - A afirmação I é verdadeira devido à simetria axial da espira.

I I I - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.

I V - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.

São verdadeiras as afirmativas:

a Somente I

b I e I I

c I , I I e I I I

d I e I V

e Somente I V

Passo 1

Vamos analisar uma afirmativa por vez, ok?

I - O campo magnético de uma espira circular por onde passa uma corrente estacionária satisfaz a lei de Ampère.

A lei de Ampère é dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Assim, é possível aplicar a lei de Ampère a este caso.

A afirmação é verdadeira.

Passo 2

I I - A afirmação I é verdadeira devido à simetria axial da espira.

A simetria pode facilitar os cálculos, mas não é um requisito para aplicar a lei de Ampère.

A afirmação é falsa.

Passo 3

I I I - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère não seria válida.

Novamente, a simetria não é um requisito para aplicar a lei de Ampère. Dessa forma, a lei permaneceria válida se a espira fosse quadrada.

A afirmação é falsa.

Passo 4

I V - Se a espira fosse quadrada, a lei de Ampère seria válida, desde que se escolhessem curvas amperiana que passassem pelo centro do quadrado.

A única exigência da lei de Ampère é que a amperiana envolva todas as correntes.

Logo, a afirmativa é falsa.

A opção correta é a letra a .

Resposta

a Somente I

Exercício Resolvido #2

Seja uma superfície esférica S, dividida em duas metades S 1 e S 2 por um grande círculo C . A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que:

a O fluxo do campo magnético através de S 1 é proporcional à circulação de corrente através de C .

b A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S .

c A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S 2 .

d O fluxo do campo magnético através de S é proporcional à circulação de corrente através de C .

e A circulação do campo magnético ao longo de C é nula.

Passo 1

Vamos analisar uma alternativa de cada vez, ok?

a O fluxo do campo magnético através de S 1 é proporcional à circulação de corrente através de C .

A lei de Ampère não trabalha com o fluxo de campo magnético, apenas com a circulação de B → . Logo, essa aqui é falsa.

Passo 2

b A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S .

A lei de Ampère diz que a circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente que atravessa a curva C , então seria proporcional à intensidade da corrente através de uma das metades da esfera ( S 1 ou S 2 ) .

Passo 3

c A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S 2 .

Acabamos de falar nisso, essa afirmativa é correta.

Passo 4

d O fluxo do campo magnético através de S é proporcional à circulação de corrente através de C .

Novamente, a lei de Ampère nem menciona “fluxo de campo magnético”, essa afirmativa é falsa.

Passo 5

e A circulação do campo magnético ao longo de C é nula.

A circulação só seria nula se a corrente englobada pela curva C fosse nula.

A afirmativa é falsa.

Resposta

c A circulação do campo magnético ao longo de C é proporcional à intensidade de corrente através de S 2 .

Exercício Resolvido #3

Determine a circulação Γ B → C i ≔ ∮ C B → ∙ d l →   i = 1,2 , 3 para as três curvas fechadas orientadas respectivamente.

  1. - μ 0 I , 0 ,   3 μ 0 I
  2. μ 0 I ,   0 ,   - μ 0 I
  3. μ 0 I ,   6 μ 0 I ,   - μ 0 I
  4. μ 0 I ,   - 6 μ 0 I ,   - μ 0 I
  5. - μ 0 I ,   0 ,   - 3 μ 0 I
  6. μ 0 I ,   0 ,   3 μ 0 I
  7. 0 ,   0 ,   0 pois todas são perpendiculares.

Passo 1

Clássica questão de circulação de corrente. Pela regra da mão direita, colocamos nossos dedos alinhados à orientação de cada curva C i e determinamos os sentidos dos vetores área.

À partir daí sabemos qual corrente é positiva e qual é negativa. Fazendo um por um:

Γ 1 = μ 0 - I + I - I + 2 I - 2 I

Γ 1 = - μ 0 I

Γ 2 = 0

Esse último tem aquela sacanagem de dividir em duas curvas:

Γ 3 = - 2 μ 0 I - μ 0 I

Γ 3 = - 3 μ 0 I

Portanto temos nossa resposta.

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #4

A figura a seguir mostra a seção reta de três fios que conduzem correntes estacionárias, com intensidade de mesmo módulo I , que atravessam o plano da figura com sentidos indicados na mesma.

Quatro curvas orientadas indicadas pelas letras a até d são apresentadas na figura. A alternativa a seguir que melhor relaciona a circulação do campo magnético C i = ∮ i B → ∙ d l → i = a , b , c , d em cada curva é

a C b < C a = C c < C d .

b C a > C b > C c < C d .

c C a < C b = C d < C c .

d C d < C c = C a < C b .

e C a = C c < C b = C d .

Passo 1

Quando o problema pede para calcularmos a circulação C i = ∮ i B → ∙ d l → , no fundo, ele tá implorando pra usarmos a lei de Ampère, dada por:

C i = ∮ i   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Ou seja, para cada curva, o nosso único trabalho é calcular a corrente interna I i n t englobada pela amperiana.

O que vai determinar se vamos considerar a corrente positiva ou negativa vai ser o sentido da orientação da curva.

Se a curva estiver orientada no sentido anti-horário, as corrente que estiverem saindo da página serão positivas, e as correntes que estiverem entrando na página serão negativas.

Se a curva estiver orientada no sentido horário, as corrente que estiverem entrando na página serão positivas, e as correntes que estiverem saindo da página serão negativas.

Ok, vamos nessa!

Passo 2

A curva a não possui nenhuma corrente, logo:

C a = 0

A curva b possui uma corrente I entrando na página, como ela está orientada no sentido anti-horário:

C b = - μ 0 I

A curva c possui uma corrente entrando e uma saindo, logo:

C c = μ 0 I - I

C c = 0

A curva d está orientada no sentido anti-horário e possui 2 correntes saindo e uma entrando, logo:

C d = μ 0 I + I - I

C d = μ 0 I

Assim, a opção correta é a letra a .

Resposta

a C b < C a = C c < C d .

Exercício Resolvido #5

Um fio cilíndrico de raio R = 1   c m transporta uma corrente I = 2   A uniformemente distribuída por sua seção reta e com sentido saindo do papel.

a ) Encontre os raios a   e   b das espiras amperianas circulares centradas no eixo do fio para as quais o campo magnético gerado pelo fio é dado por: B → = 2 . 10 - 5 T θ ^

Passo 1

Para determinar os raios das amperianas, precisamos usar a lei de Ampère, que diz o seguinte:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Nossa curva será um círculo. Pela simetria, temos que o campo magnético (dado pela regra da mão direita) será sempre paralelo ao vetor d l → , e será sempre constante. Temos, então:

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   θ ^

Passo 2

a )

Vamos começar calculando o raio a !

Para esse raio, a corrente interna não vai ser a corrente total.

Como a corrente é uniformemente distribuída, temos que a corrente por unidade de área é constante, então se liga!

I π . R 2 = I i n t π r 2

Para r = a , a corrente interna à amperiana fica:

I i n t = π . a 2 . I π . R 2

I i n t = 2 a 2 R 2

Agora é só substituir os valores na Lei de Ampére e correr para o abraço!

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   θ ^

2 . 10 - 5 . 2 . π . a = μ 0 . 2 a 2 R 2

2 . 10 - 5 . π = 4 × 10 - 7 . π . a ( 10 - 2 ) 2

0,5 .   10 - 2 = a

a = 0,5   c m

Belezinha! Para determinar b , fica mais fácil ainda porque a corrente interna é dada, 2 A . Vamos pro próximo passo!

Passo 3

Para esse raio, a corrente interna será 2   A . Substituindo os valores na Lei de Ampère, temos:

B → . 2 . π . r = μ 0 . I i n t   θ ^

2 . 10 - 5 . 2 . π . b = μ 0 . 2

2 . 10 - 5 . 2 . π . b = 4 × 10 - 7 . π . 2

2 . 10 - 5 . b = 4 × 10 - 7

b = 2 × 10 - 2   m

b = 2   c m

Resposta

a ) a = 0,5   c m ; b = 2   c m

Exercício Resolvido #6

Por um condutor cilíndrico maciço e infinito de raio R passa uma corrente estacionária e axial I uniformemente distribuída através de sua seção reta. O campo magnético B → a uma distância radial s do eixo do condutor, em coordenadas cilíndricas s ,   ϕ , é igual a

a B → s < R = μ 0 I s 2 π R 2   s ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   s ^ .

b B → s < R = μ 0 I s 2 π R 2   ϕ ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   ϕ ^ .

c B → s < R = μ 0 I 2 π s   s ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   s ^ .

d B → s < R = μ 0 I 2 π s   ϕ ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   ϕ ^ .

e B → s < R ≠ 0 e B → s > R = 0 .

Passo 1

O sentido do campo magnético é determinado através da regra da mão direita. Assim, o campo terá direção tangencial ϕ ^ e não radial s ^ .

Então já poderíamos eliminar as opções a e c .

Beleza, agora vamos calcular esses caras!

O módulo do campo magnético é determinado através da lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Por conta da simetria do problema, a nossa amperiana será uma circunferência de raio s , sendo assim:

2 π s B s = μ 0 I i n t

B s = μ 0 I i n t 2 π s

Se preferir, como já sabemos a direção e sentido desse cara, podemos já colocá-lo na forma de vetor:

B → s = μ 0 I i n t 2 π s ϕ ^

Então, o nosso trabalho vai ser apenas calcular a corrente I i n t para cada região.

Passo 2

  • s < R :
  • Essa região está no interior do fio. Como sabemos que a corrente é distribuída uniformemente através de sua seção reta, para calcularmos a corrente interna, basta fazer uma regra de 3:

    I π R 2 = I i n t π s 2

    I i n t = I π s 2 π R 2

    I i n t = I s 2 R 2

    Substituindo na expressão de B → , teremos:

    B → s < R = μ 0 I 2 π s s 2 R 2 ϕ ^

    B → s < R = μ 0 I s 2 π R 2 ϕ ^

    Passo 3

  • s > R :

Como essa corresponde à região externa ao fio, I i n t = I , logo:

B → s > R = μ 0 I 2 π s ϕ ^

A resposta certa é a letra b .

Resposta

b B → s < R = μ 0 I s 2 π R 2   ϕ ^ e B → s > R = μ 0 I 2 π s   ϕ ^ .

Exercício Resolvido #7

Considere o cabo coaxial muito longo da figura ao lado, formado por duas cascas cilíndricas concêntricas com raios internos a , c e raios externos b , d , respectivamente. Uma corrente uniforme I 1 flui na casca cilíndrica interna com o sentido para fora do plano do papel e uma corrente uniforme I 2 com sentido desconhecido flui na casca cilíndrica externa.

a ) Calcule a intensidade do campo magnético nas regiões:

i ) 0 < r < a ;

i i ) a < r < b ;

i i i ) b < r < c ;

b ) Sabendo que c = 3 a ,   d = 5 a e que a amplitude do campo magnético em r = ( c + d ) / 2 tem o valor de B = μ 0 I 1 4 π a , calcule o valor da corrente I 2 em função da corrente I 1 , indicando seu sentido.

c ) Calcule a amplitude do campo magnético em r = 23 a em função da corrente I 1 .

Passo 1

a . 1 ) 0 < r < a ;

Esse é um problema clássico de Lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Podemos dar uma simplificada na expressão acima:

B ∮ C   d l = μ 0 I i n t

Onde a integral ∮ C   d l será igual ao comprimento da nossa amperiana que, nesse caso, será uma circunferência de raio r :

B 2 π r = μ 0 I i n t → B = μ 0 I i n t 2 π r

Assim, para cada caso, o nosso único trabalho é calcular a corrente I i n t englobada pela amperiana.

A amperiana de raio 0 < r < a não engloba nenhuma corrente, logo:

I i n t = 0

B = 0

Passo 2

a . i i ) a < r < b ;

A amperiana com esse raio engloba apenas parte da primeira casca cilíndrica.

Como a corrente é uniformemente distribuída pela sessão transversal da casca cilíndrica, podemos determinar I i n t com uma regra de 3:

I i n t I 1 = π r 2 - a 2 π b 2 - a 2

I i n t = I 1 r 2 - a 2 b 2 - a 2

Substituindo na expressão do campo magnético, teremos:

B = μ 0 I i n t 2 π r

B = μ 0 I 1 2 π r   r 2 - a 2 b 2 - a 2

Passo 3

a . i i i ) b < r < c ;

A amperiana com esse raio engloba toda a primeira casca cilíndrica, logo:

I i n t = I 1

Logo:

B = μ 0 I 1 2 π r

Passo 4

b ) Sabendo que c = 3 a ,   d = 5 a e que a amplitude do campo magnético em r = ( c + d ) / 2 tem o valor de B = μ 0 I 1 4 π a , calcule o valor da corrente I 2 em função da corrente I 1 , indicando seu sentido.

Vamos usar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético a uma distância r = ( c + d ) / 2 = 4 a do centro.

Novamente, o campo magnético terá essa cara:

B = μ 0 I i n t 2 π r

B = μ 0 I i n t 2 π 4 a

B = μ 0 I i n t 8 π a

Esse campo magnético deve ser igual ao campo dado pelo enunciado, logo:

B = μ 0 I i n t 8 π a = μ 0 I 1 4 π a

Simplificando:

I i n t 2 = I 1 → I i n t = 2 I 1

Isso significa que a corrente I 2 está se somando à corrente I 1 e, por isso, o seu sentido também é para fora do papel.

Agora, o nosso trabalho é calcular a corrente I i n t englobada pela amperiana de raio r = 4 a .

Passo 5

A amperiana vai englobar toda a casca cilíndrica de corrente I 1 e parte da casca cilíndrica externa.

Logo:

I i n t = I 1 + I 2 '

Pra determinar I 2 ' , vamos fazer o mesmo que fizemos anteriormente, calculando através de uma regra de 3:

I 2 ' I 2 = π r 2 - c 2 π d 2 - c 2