Campo Magnético Gerado por uma Bobina

Teoria Completa

Campo Magnético Gerado por uma Espira

A situação agora é a seguinte...Temos uma espira circular de raio R e que transporta uma corrente elétrica i , conforme a figura abaixo:

No tópico de fios infinitos nós escrevemos o campo magnético pela lei de Biot-Savart como

B → = ∫ f i o μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2

Vamos começar considerando o comprimento  d l → da figura abaixo.

Em coordenadas cilindricas esse d l → é

d l → = R d ϕ ϕ ^

Ou seja, vamos integrar em ϕ , de 0 a 2 π , percorrendo todo o fio.

Pelo triângulo retângulo da figura, a distância entre cada ponto do fio até o ponto P é dada por

r = R 2 + z 2

Assim ficamos com

B → = μ 0 i 4 π ∫ 0 2 π R d ϕ ϕ ^ × r ^ R 2 + z 2

Como vamos integrar em ϕ então podemos tirar tudo que tem R e z da integral

B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π d ϕ ϕ ^ × r ^

Repara que eu deixei o produto vetorial pro final! Isso por que essa é a parte mais importante!

Aqui a gente tá trabalhando em coordenadas cilindricas. Se fosse pra fazer esse produto vetorial bonitinho a gente precisaria escrever os vetores ϕ ^ e r ^ em função de x ^ , y ^ e z ^ . Só que isso daria um trabalhão! Pra isso vamos usar a regra da mão direita!

Desenhando os vetores r ^ e ϕ ^ , o produto vetorial deles seria algo assim

Lembrando que d l → × r ^ tem que ser perpendicular tanto a r ^ quanto a d l → . Esse vetor tá numa direção meio esquisita. O máximo que a gente consegue fazer é separar ele em uma projeção na direção z e outra projeção na direção x y .

Lembra de uma situação parecida com o campo elétrico de um fio circular? Se a gente calcula o campo elétrico produzido por um fio com densidade linear homogênea de carga o campo elétrico no centro do fio tem que apontar na direção z , lembra? Isso por que quando a gente soma todas as componentes de todos os pedacinhos do fio o campo no plano x y se anula e só sobra o campo na direção z . Algo parecido acontece aqui!

Se pegarmos dois pontos do fio diametralmente opostos e somarmos os campos dos dois teremos um campo resultante na direção z ! E como a gente expressa isso? Basta corrigir a nossa equação projetando o campo na direção z e afirmando por meio do que a gente explicou aqui que o campo pela simetria aponta na direção z ! Lembre-se de explicar isso tim tim por tim tim sempre, hein!

Pra projetar na direção z , basta multiplicar pelo cosseno de β desenhado na figura. Como o campo magnético tem que ser perpendicular a r → é só ir completando os ângulos pra chegar que β aparece nos triângulos retângulos da parte esquerda da figura. Assim

cos ⁡ β = R r = R R 2 + z 2

Beleza! Agora o nosso campo fica

B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π d ϕ ϕ ^ × r ^ → B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ β d ϕ z ^

B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π d ϕ z ^

Ainda bem que apareceu uma integral fácil!!!!!!

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

Juntando tudo

B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 R R 2 + z 2 2 π z ^

B → ( z ) = μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 / 2 z ^

O sentido do campo magnético é o mesmo sentido do momento dipolo magnético, e pode também ser determinado pela regra da mão direita (MAS isso é só um macete pra lembrar e não a justificativa formal!!!!), onde a sua mão deve acompanhar o sentido da corrente, e o campo magnético estará na mesma direção e no mesmo sentido do seu dedão, beleza?

OBS.: Essa regra da mão direita é válida apenas para pontos que pertencem a eixos que passam pelo interior da espira. Para pontos que pertencem a eixos que passam fora da espira, a direção determinada pelo dedão se inverte. Vamos observar a figura abaixo:

Para pontos muito distantes z ≫ R , o campo magnético gerado pode ser aproximado para:

B → z = lim z → ∞ ⁡ μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 / 2 z ^

B → ( z ) ≈ μ 0 i R 2 2 z 3 z ^

Já no centro da espira ( z = 0 ) , tem-se:

B → z = μ 0 i 2 R z ^

Campo Magnético Gerado por uma Bobina

Podemos aproveitar a relação a que chegamos acima e escrever o campo magnético em função de μ → .

Já sabemos que uma bobina nada mais é do que N espiras “umas sobre as outras”, percorridas por uma corrente elétrica i . Assim, o campo magnético gerado em um ponto em que z ≫ R será dado por:

B → z ≈ μ 0 N i R 2 2 z 3 z ^

O momento dipolo magnético é dado por:

μ = N i A

A área da espira A é dada por:

A = π R 2

Logo:

μ = N i π R 2 → μ π = N i R 2

Substituindo na expressão do campo magnético, teremos:

B → z = μ 0 2 π μ → z 3

Bora lá treinar?

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-56- Modificado.

A figura a abaixo mostra um fio que conduz uma corrente i e forma uma bobina circular com apenas uma espira. Na figura b um fio de mesmo comprimento forma uma bobina circular com duas espiras de raio igual à metade do raio da espira da figura a .

( a ) Se B a e B b são os módulos dos campos magnéticos nos centros das duas bobinas, qual é o valor da razão B b / B a ?

( b ) Qual é o valor da razão μ a / μ b entre os momentos dipolares das duas bobinas?

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Passo 1

Vamos lá, galera! Nesse exercício, temos uma bobina circular com uma espira que conduz uma corrente i e que tem um raio que chamaremos de R a .

Temos também uma segunda bobina, só que essa é formada por duas espiras de raio R b = R a 2 .

Primeiramente, queremos saber a razão entre os campos no centro das bobinas, B b / B a .

Passo 2

( a )

Sabemos que o módulo do campo magnético a uma distância z do centro de uma bobina de N espiras é dado por:

B z = N μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 2

Logo, quando z = 0 , temos:

B z = N μ 0 i 2 R

Assim:

B b B a = 2 μ 0 i 2 R b . 2 R a μ 0 i = 2 R a R b = 4

Passo 3

( b )

O momento dipolar magnético de uma bobina é dado por:

μ = N i A

Assim,

μ a μ b =   i A a 2 . i A b = π 2 R b 2 2 π R b 2 = 2 2 . 1 2 = 2

Resposta

a   4

b   2

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-58- Modificado.

A figura abaixo mostra um dispositivo conhecido como bobina de Helmholtz, formado por duas bobinas circulares coaxiais de raio R = 25,0   c m , com 200 espiras, separadas por uma distância s = R . As duas bobinas conduzem correntes iguais i = 12,2   m A no mesmo sentido. Determine o módulo do campo magnético no ponto P , situado sobre o eixo das bobinas, a meio caminho entre elas.

Dados: μ 0 = 4 π . 10 - 7 T . m / A

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Passo 1

Então, galera! Temos duas bobinas de 200 espiras, com correntes iguais i = 12,2   m A e mesmo raio R = 25,0   c m . Queremos saber o campo magnético num ponto P que equidista, ou seja, está a mesma distância das duas bobinas.

Passo 2

Sabemos que o campo magnético gerado por uma bobina de uma espira num ponto a uma distância z é dado por:

B → z = N μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 2 z ^

Como as correntes têm o mesmo sentido, as duas bobinas produzem campos iguais com o mesmo sentido (pela regra da mão direita, encontramos que é o sentido + x ) .

Assim, passando para as unidades SI:

B P = 2 N μ 0 i R 2 2 R 2 + R 2 2 3 2 = 8 N μ 0 i 5 5 R = 8.200.4 . π . 10 - 7 . 12,2.10 - 3 5 5 . 25.10 - 2 = 8,78.10 - 6 T

Resposta

B P = 8,78.10 - 6 T

Exercício Resolvido #3

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 28.32, pp. 274

Uma bobina circular de 800 espiras enroladas de modo compacto possui raio de 2,40   c m .

  1. Qual deve ser a corrente que passa pela bobina, supondo que o campo magnético no centro da bobina é igual a 0,0580   T ?
  2. A que distância z do centro da bobina, sobre o eixo da bobina, o campo magnético é igual à metade de seu valor no centro?
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Passo 1

Fala aíííííííí....Vamo lá? Antes de começar a questão de fato, bora discutir um pouco da situação física que a gente tem no exercício, blz?

A gente tem uma bobina condutora com N espiras enroladas e empilhadas umas sobre as outras de forma bastante compacta. “Bastante compacta significa que a distância do centro de cada uma das N espiras até o ponto P tem o mesmo valor z !! Blz?

Então, o módulo campo magnético produzido pela bobina no ponto z sobre o eixo de simetria da bobina pode ser calculado como N vezes o campo produzido em z por uma única espira, ou seja,

B → = B z   z ^ = N × μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 z ^

Passo 2

a) O exercício fornece N , R e B z = 0 no centro z = 0 da bobina e pede para encontrarmos a corrente I que produz esse campo. Portanto, organizando a equação acima, temos

I = 2 B z R 3 N μ 0 R 2 = 2 B z R N μ 0 = 2 × 0,0580 × 2,4 × 10 - 2 800 × 4 π × 10 - 7 =   2,77   A .

Passo 3

b) Neste item, precisamos encontrar a distância z tal que

B z = 1 2   B z = 0 ⇒   N μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 = 1 2   N μ 0 I R 2 2 R 2 3 2 .

Simplificando essa expressão, obtemos os seguinte:

z 2 + R 2 3 2 = 2 R 3   ⇒ z 2 + R 2 = 2 2 3 R 2   ⇒ z = ± R 2 ( 2 2 3 - 1 ) = ± R 2 2 3 - 1 .

Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado, chegamos que as distâncias são:

z = ±   0,0184   m .

Nessas posições, o campo magnético é igual à metade do campo magnético produzido no centro da bobina em z = 0 .

Resposta

  1. I = 2,77   A ;
  2. z = ± 0,0184   m .

Exercício Resolvido #4

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exemplo 28.6, pp. 255

Uma bobina conduzindo uma corrente de 5,0   A é constituída por 100 espiras circulares enroladas de modo compacto, cada uma com raio igual a 0,60   m .

  1. Determine o módulo do campo magnético ao longo do eixo da bobina, situado a uma distância de 0,80   m do seu centro.
  2. Em que ponto ao longo do eixo da bobina o campo magnético se reduz a 1 / 8 do valor do campo no centro da bobina?
  3. Determine o valor do momento de dipolo magnético que pode ser associado à essa bobina.
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Passo 1

A gente tem uma bobina condutora com N espiras enroladas e empilhadas umas sobre as outras de forma bastante compacta. Isso significa que a distância do centro de cada uma das N espiras até o ponto P tem o mesmo valor z !! Blz? Então, o módulo campo magnético produzido pela bobina no ponto z sobre o eixo de simetria da bobina pode ser calculado como N vezes o campo produzido em z por uma única espira, ou seja,

B → = B z   z ^ = N × μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 z ^ ,

sendo que o módulo do campo magnético produzido por uma única bobina é

B z = μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 .

Guarda essa expressão no seu coração aí, porque ela aparece, hein?!! ;-)

Sigamos...

Passo 2

a) Se você substitui os valores fornecidos lá no enunciado, a gente o seguinte:

B z = 100 × 4 π × 10 - 7 × 5 × 0,6 2 2 0,8 2 + 0,6 2 3 2 = 1,1   ×   10 - 4   T .

Tranquilo, né? Só substituir os valores lá do enunciado. \0/

Passo 3

b) Neste item, precisamos encontrar a distância z tal que

B z = 1 8   B z = 0 ⇒   N μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 = 1 8   N μ 0 I R 2 2 R 2 3 2 .

Simplificando essa expressão, obtemos:

z 2 + R 2 3 2 = 2 3 R 3   ⇒ z 2 + R 2 = 2 2 R 2   ⇒ z = ± R 2 ( 2 2 - 1 ) = ± R 3 .

Portanto,

z = ± 3   R = ±   1,04   m .

Essas são as posições nas quais o campo magnético é igual a 1 / 8 do campo magnético produzido pela corrente I no centro da bobina, em z = 0 .

Passo 4

c) O momento magnético que pode ser associado à essa bobina pode ser escrito como

μ = N I A ,

sendo qua A nessa expressão é a área de cada uma das esprias da bobina, tranquilo? Seguindo e colocando os valores do enunciado, temos

μ = N I A = N I π R 2 = 100 × 5,0 × π × 0,6 2 = 5,7   × 10 2   A . m 2 .

Esse é o valor do dipole magnético associado à bobina de N espiras.

Resposta

  1. B z = 1,1   × 10 - 4   T ;
  2. z = ± 3   R = ±   1,04   m ;
  3. μ = 5,7   × 10 2   A . m 2 .

Exercício Resolvido #5

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 28.34, pp. 274

Uma bobina circular com espiras enroladas de modo compacto possui raio igual a 6,0   c m e conduz uma corrente de 2,50   A . Quantas espiras ela deve ter para que o módulo do campo magnético seja de 6,39   ×   10 - 4   T em um ponto sobre o eixo da bobina afastado de 6,0   c m de seu centro?

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Passo 1

De tanto estudar os exercícios de fixação aqui que preparamos, você já tá careca de saber que, se a gente tem uma bobina condutora com N espiras enroladas e empilhadas umas sobre as outras de forma bastante compacta, então a distância do centro de cada uma das N espiras até o ponto P tem o mesmo valor z !! Blz?

Por isso (“lá vem ele repetir essa história tooooda de nooovo...” ): o módulo campo magnético produzido pela bobina no ponto z sobre o eixo de simetria da bobina pode ser calculado como N vezes o campo produzido em z por uma única espira, ou seja,

B → = B z   z ^ = N × μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 z ^ .

Passo 2

Como estamos interessados no número de espiras N , podemos isolar essa quantidade na expressão acima para o módulo B z e obter

N = 2 B z z 2 + R 2 3 2 μ 0 I R 2 = 2 × 6,39   ×   10 - 4 × 36 × 10 - 4 + 36 × 10 - 4 3 2 4 π × 10 - 7 × 2,5 × 36 × 10 - 4 ≈ 69   e s p i r a s .

Resposta

N ≈ 69   e s p i r a s .

Exercício Resolvido #6

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 28.67, pp. 277.

A figura abaixo mostra a seção reta de duas bobinas circulares com raio R , cada uma delas com N espiras que conduzem uma corrente I no mesmo sentido. A distância entre as bobinas é igual ao raio s = R das bobinas. As bobinas dessa configuração denominam-se bobinas de Helmholtz e produzem um campo magnético bastante uniforme na região entre elas. O ponto P está à mesma distância do centro de cada uma das duas bobinas.

  1. Deduza uma expressão para o módulo do campo magnétido em um ponto situado a uma distância z à direita do ponto P , que está no centro de simetria das bobinas.
  2. Usando a expressão obtida no item a), obtenha o módulo do campo magnético exatamente sobre o ponto P .
  3. Calcule o valor do módulo do campo magnético no ponto P , considerando N = 300 espiras, I = 6,0   A e R = 8,0   c m .

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Passo 1

A gente viu várias vezes aqui durante os exercícios de fixação, que o módulo campo magnético produzido por uma bobina compacta no ponto z sobre o eixo de simetria, abaixo ou acima do plano da bobina, pode ser calculado como N vezes o campo produzido em z por uma única espira, ou seja,

B → = B z   z ^ = N × μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 z ^ .

Note que, independente de o ponto z estar à esquerda ou direita do plano da bobina, o campo magnético no ponto z aponta na direção e sentido de   z ^ , pois tomamos o sentido da corrente como está indicado na figura. Tranquilo? Dá uma checada nisso, porque isso é muito importante para a gente resolver este exercício aqui!! Guarda no coração isso...\0/

Passo 2

a) Bom, pra gente obter uma expressão para o campo no ponto a uma distância z à direita do ponto P da figura, precisamos notar que, a espira da esquerda produz um campo magnético no ponto z ' = R / 2 + z   que é dado por

B z ' = R 2 + z = N μ 0 I R 2 2 ( z + R / 2 ) 2 + R 2 3 2

e a espira da direita produz um campo magnético em z " = R / 2 - z dado por

B z " = R 2 - z = N μ 0 I R 2 2 ( R / 2 - z ) 2 + R 2 3 2 .

Portanto, como os dois campos acima apontam na mesma direção e sentido dado por   z ^ , o campo resultante no ponto z à direita de P é B z , r e s = B z ' = R 2 + z + B z " = R 2 - z tem a seguinte expressão:

B z , r e s = N μ 0 I R 2 2 1 z + R 2 2 + R 2 3 2 + 1 z - R 2 2 + R 2 3 2 .

Essa é a expressão geral para o módulo do campo magnético em qualquer ponto sobre o eixo que passa pelo centro das duas bobinas!

CUIDAAAADOOOOOO: tá escrito aí que: CAMPO MAGNÉTICO EM QUALQUER PONTO SOBRE O EIXO QUE PASSA PELO CENTRO DAS DUAS ESPIRAS SEPARADAS POR s = R

Fica de olho nisso...

Passo 3

b) Para gente saber como é o campo no ponto P , basta fazer z = 0 na expressão acima para B z , r e s , o que nos dá o seguinte:

B z = 0 , r e s = N μ 0 I R 2 2 1 R 2 2 + R 2 3 2 + 1 R 2 2 + R 2 3 2 = N μ 0 I R 2 2 2 5 R 2 4 3 2 .

Se simplificamos essa expressão, obtemos que

B z = 0   ,     r e s = 4 5 3 2 N μ 0 I R   .

Passo 4

c) Com os valores dados no enunciado, encontramos que o campo no ponto P   ( z = 0 ) tem o seguinte valor

B z = 0 , r e s = 4 5 3 2 × 300 × 4 π × 10 - 7 × 6 8 × 10 - 2 = 0,0202   T .

Resposta

  1. B z , r e s = N μ 0 I R 2 2 1 z + R 2 2 + R 2 3 2 + 1 z - R 2 2 + R 2 3 2 .  
  2. B z = 0   ,     r e s = 4 5 3 2 N μ 0 I R   .
  3. B z = 0 , r e s = 0,0202   T .

Exercício Resolvido #7

Sears & Zemanske, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12ª ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 28.33, pp. 274

Uma bobina circular com 600 espiras enroladas de modo compacto possui diâmetro igual a 4,0 cm e conduz uma corrente de 0,500 A. Qual é o módulo do campo magnético (a) no centro de bobina? (b) em um ponto sobre o eixo da bobina afastado 8,0 cm de seu centro.

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Passo 1

Para resolver essa questão, basta lembramos da fórmula do campo magnético gerado por uma bobina:

B → z =   μ 0 N i   R ²   2 ( R 2 + z 2 ) 3 2   z ^

Como o problema só pede o módulo desse campo, vamos ficar com a seguinte fórmula:

B z =   μ 0 N i   R ² 2 ( R 2 + z 2 ) 3 2  

Sendo R o raio da espira, e z a distância do centro da espira até um determinado ponto.

Passo 2

Na letra (a), como estamos no centro da espira, z   =   0 e a nossa fórmula ficara assim:

B 0 =   μ 0 N i   R ² 2 ( R 2 ) 3 2 = μ 0 N i   R ² 2 R ³ =   μ 0 N i   R ² 2 R ³ =   μ 0 N i 2 R