Campo Magnético Gerado por uma Bobina

Teoria Completa

Campo Magnético Gerado por uma Espira

A situação agora é a seguinte...Temos uma espira circular de raio R e que transporta uma corrente elétrica i , conforme a figura abaixo:

No tópico de fios infinitos nós escrevemos o campo magnético pela lei de Biot-Savart como

B → = ∫ f i o μ 0 i 4 π d l → × r ^ r 2

Vamos começar considerando o comprimento  d l → da figura abaixo.

Em coordenadas cilindricas esse d l → é

d l → = R d ϕ ϕ ^

Ou seja, vamos integrar em ϕ , de 0 a 2 π , percorrendo todo o fio.

Pelo triângulo retângulo da figura, a distância entre cada ponto do fio até o ponto P é dada por

r = R 2 + z 2

Assim ficamos com

B → = μ 0 i 4 π ∫ 0 2 π R d ϕ ϕ ^ × r ^ R 2 + z 2

Como vamos integrar em ϕ então podemos tirar tudo que tem R e z da integral

B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π d ϕ ϕ ^ × r ^

Repara que eu deixei o produto vetorial pro final! Isso por que essa é a parte mais importante!

Aqui a gente tá trabalhando em coordenadas cilindricas. Se fosse pra fazer esse produto vetorial bonitinho a gente precisaria escrever os vetores ϕ ^ e r ^ em função de x ^ , y ^ e z ^ . Só que isso daria um trabalhão! Pra isso vamos usar a regra da mão direita!

Desenhando os vetores r ^ e ϕ ^ , o produto vetorial deles seria algo assim

Lembrando que d l → × r ^ tem que ser perpendicular tanto a r ^ quanto a d l → . Esse vetor tá numa direção meio esquisita. O máximo que a gente consegue fazer é separar ele em uma projeção na direção z e outra projeção na direção x y .

Lembra de uma situação parecida com o campo elétrico de um fio circular? Se a gente calcula o campo elétrico produzido por um fio com densidade linear homogênea de carga o campo elétrico no centro do fio tem que apontar na direção z , lembra? Isso por que quando a gente soma todas as componentes de todos os pedacinhos do fio o campo no plano x y se anula e só sobra o campo na direção z . Algo parecido acontece aqui!

Se pegarmos dois pontos do fio diametralmente opostos e somarmos os campos dos dois teremos um campo resultante na direção z ! E como a gente expressa isso? Basta corrigir a nossa equação projetando o campo na direção z e afirmando por meio do que a gente explicou aqui que o campo pela simetria aponta na direção z ! Lembre-se de explicar isso tim tim por tim tim sempre, hein!

Pra projetar na direção z , basta multiplicar pelo cosseno de β desenhado na figura. Como o campo magnético tem que ser perpendicular a r → é só ir completando os ângulos pra chegar que β aparece nos triângulos retângulos da parte esquerda da figura. Assim

cos ⁡ β = R r = R R 2 + z 2

Beleza! Agora o nosso campo fica

B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π d ϕ ϕ ^ × r ^ → B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ β d ϕ z ^

B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π d ϕ z ^

Ainda bem que apareceu uma integral fácil!!!!!!

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

Juntando tudo

B → = μ 0 i 4 π R R 2 + z 2 R R 2 + z 2 2 π z ^

B → ( z ) = μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 / 2 z ^

O sentido do campo magnético é o mesmo sentido do momento dipolo magnético, e pode também ser determinado pela regra da mão direita (MAS isso é só um macete pra lembrar e não a justificativa formal!!!!), onde a sua mão deve acompanhar o sentido da corrente, e o campo magnético estará na mesma direção e no mesmo sentido do seu dedão, beleza?

OBS.: Essa regra da mão direita é válida apenas para pontos que pertencem a eixos que passam pelo interior da espira. Para pontos que pertencem a eixos que passam fora da espira, a direção determinada pelo dedão se inverte. Vamos observar a figura abaixo:

Para pontos muito distantes z ≫ R , o campo magnético gerado pode ser aproximado para:

B → z = lim z → ∞ ⁡ μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 / 2 z ^

B → ( z ) ≈ μ 0 i R 2 2 z 3 z ^

Já no centro da espira ( z = 0 ) , tem-se:

B → z = μ 0 i 2 R z ^

Campo Magnético Gerado por uma Bobina

Podemos aproveitar a relação a que chegamos acima e escrever o campo magnético em função de μ → .

Já sabemos que uma bobina nada mais é do que N espiras “umas sobre as outras”, percorridas por uma corrente elétrica i . Assim, o campo magnético gerado em um ponto em que z ≫ R será dado por:

B → z ≈ μ 0 N i R 2 2 z 3 z ^

O momento dipolo magnético é dado por:

μ = N i A

A área da espira A é dada por:

A = π R 2

Logo:

μ = N i π R 2 → μ π = N i R 2

Substituindo na expressão do campo magnético, teremos:

B → z = μ 0 2 π μ → z 3

Bora lá treinar?

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-56- Modificado.

A figura a abaixo mostra um fio que conduz uma corrente i e forma uma bobina circular com apenas uma espira. Na figura b um fio de mesmo comprimento forma uma bobina circular com duas espiras de raio igual à metade do raio da espira da figura a .

( a ) Se B a e B b são os módulos dos campos magnéticos nos centros das duas bobinas, qual é o valor da razão B b / B a ?

( b ) Qual é o valor da razão μ a / μ b entre os momentos dipolares das duas bobinas?

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Passo 1

Vamos lá, galera! Nesse exercício, temos uma bobina circular com uma espira que conduz uma corrente i e que tem um raio que chamaremos de R a .

Temos também uma segunda bobina, só que essa é formada por duas espiras de raio R b = R a 2 .

Primeiramente, queremos saber a razão entre os campos no centro das bobinas, B b / B a .

Passo 2

( a )

Sabemos que o módulo do campo magnético a uma distância z do centro de uma bobina de N espiras é dado por:

B z = N μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 2

Logo, quando z = 0 , temos:

B z = N μ 0 i 2 R

Assim:

B b B a = 2 μ 0 i 2 R b . 2 R a μ 0 i = 2 R a R b = 4

Passo 3

( b )

O momento dipolar magnético de uma bobina é dado por:

μ = N i A

Assim,

μ a μ b =   i A a 2 . i A b = π 2 R b 2 2 π R b 2 = 2 2 . 1 2 = 2

Resposta

a   4

b   2

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-58- Modificado.

A figura abaixo mostra um dispositivo conhecido como bobina de Helmholtz, formado por duas bobinas circulares coaxiais de raio R = 25,0   c m , com 200 espiras, separadas por uma distância s = R . As duas bobinas conduzem correntes iguais i = 12,2   m A no mesmo sentido. Determine o módulo do campo magnético no ponto P , situado sobre o eixo das bobinas, a meio caminho entre elas.

Dados: μ 0 = 4 π . 10 - 7 T . m / A

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Passo 1

Então, galera! Temos duas bobinas de 200 espiras, com correntes iguais i = 12,2   m A e mesmo raio R = 25,0   c m . Queremos saber o campo magnético num ponto P que equidista, ou seja, está a mesma distância das duas bobinas.

Passo 2

Sabemos que o campo magnético gerado por uma bobina de uma espira num ponto a uma distância z é dado por:

B → z = N μ 0 i R 2 2 R 2 + z 2 3 2 z ^

Como as correntes têm o mesmo sentido, as duas bobinas produzem campos iguais com o mesmo sentido (pela regra da mão direita, encontramos que é o sentido + x ) .

Assim, passando para as unidades SI: