Materiais Magnéticos

Teoria Completa

Introdução

Lá na eletrostática, o meio que estávamos analisando algum fenômeno influenciava diretamente na magnitude do campo elétrico, alterando a permissividade do meio ϵ .

Aqui no magnetismo temos a mesma dependência do meio.

Lembra da Lei de Biot-Savart? Ela nos dá o campo magnético pela seguinte expressão:

B → = μ 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Esse μ , chamado de permeabilidade magnética do meio, pode ser diferente dependendo do meio.

Por exemplo: se aproximarmos um fio que conduz uma corrente I de um placa de ferro, o campo magnético medido no interior desta placa será diferente do campo no vácuo, para uma mesma distância.

Mas como trabalhamos com esse μ ?

Moleza! O problema normalmente vai te dar a permeabilidade relativa do meio K m , que respeita a seguinte relação:

K m = μ μ 0

Onde:

μ 0 = 4 π   .   10 - 7

Outra relação que podemos usar é a que equaciona a permeabilidade relativa K m com a suscetibilidade magnética do meio χ m :

K m = 1 + χ m

Portanto, podemos montar uma relação final:

μ = 1 + χ m μ 0

Em relação aos valores de χ m , podemos concluir algumas coisas:

  • Se χ m < 0 , o material é diamagnético. São materiais que não possuem momento magnético permanente e nem podem ser imantados.
  • Se χ m > 0 , o material pode ser paramagnético ou ferro magnético
    • Se χ m for positivo porém pequeno 10 - 5 ~ 10 - 3 então o material será paramagnético: são materiais que não possuem momento magnético permanente mas que podem ser imantados um pouquinho caso estejam em um campo magnético forte.
    • Se χ m for positivo e grande, temos o ferromagnetismo: são materiais que podem se tornam permanentemente imãs caso estejam em presença de campo magnético, respondendo fortemente a esse campo.

Tranquilo? Nenhum bicho de 7 cabeças né? Mas não deixe de praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP-P2-2015-3

A figura abaixo mostra uma bobina toroidal com N espiras bem compactadas. Uma corrente I percorre o enrolamento desta bobina.

a ) Calcule o módulo do campo magnético B em um ponto P no interior da bobina, a uma distância R do seu eixo, quando a bobina é constituída só pelo enrolamento (núcleo de ar). Lembre que para o magnetismo o ar é praticamente indistinguível do vácuo.

b ) Calcule a relação entre as correntes I e I F e na bobina com núcleo de ar K m ≈ 1 e com núcleo de ferro K m ≈ 1400 , respectivamente que produzem o mesmo campo magnético B no ponto P .

c ) Calcule a suscetibilidade do alumínio se com o núcleo de alumínio e mesma corrente o campo magnético no ponto P passa a ser 1,00002 do valor no ar. Como se designa esse elemento segundo sua propriedade magnética?

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Passo 1

a ) Calcule o módulo do campo magnético B em um ponto P no interior da bobina, a uma distância R do seu eixo, quando a bobina é constituída só pelo enrolamento (núcleo de ar). Lembre que para o magnetismo o ar é praticamente indistinguível do vácuo.

Pra calcular o campo magnético, vamos recorrer à Lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Dada a simetria do problema, a nossa curva será a circunferência de raio R por onde passa a bobina.

Além disso, como estamos falando que uma bobina de N espiras por onde passa uma corrente I , podemos dizer que I i n t = N I .

Então podemos simplificar a Lei de Ampère dessa forma:

B 2 π R = μ 0 N I

B = μ 0 N I 2 π R

Passo 2

b ) Calcule a relação entre as correntes I e I F e na bobina com núcleo de ar K m ≈ 1 e com núcleo de ferro K m ≈ 1400 , respectivamente que produzem o mesmo campo magnético B no ponto P .

Quando colocamos um material magnético, o campo magnético é multiplicado pelo valor de K m . Assim, o campo magnético para o ferro será:

B F e = K m μ 0 N I F e 2 π R

E para o ar, como K m ≈ 1 :

B a r = μ 0 N I 2 π R

O que queremos descobrir aqui é a relação entre I e I F e para que os campos magnéticos sejam iguais. Logo:

B F e = B a r

K m μ 0 N I F e 2 π R = μ 0 N I 2 π R

Simplificando esse cara de cima:

K m I F e = I

I I F e = K m ≈ 1400

Passo 3

c ) Calcule a suscetibilidade do alumínio se com o núcleo de alumínio e mesma corrente o campo magnético no ponto P passa a ser 1,00002 do valor no ar. Como se designa esse elemento segundo sua propriedade magnética?

Opa! Então agora o que o problema está dizendo é que:

B A l = 1,00002 B a r

Logo:

K m μ 0 N I 2 π R = 1,00002 μ 0 N I 2 π R

Simplificando esse cara:

K m = 1,00002

A relação entre K m e a suscetibilidade χ m é dada por:

K m = 1 + χ m

χ m = K m - 1

χ m = 1,00002 - 1

χ m = 0,00002

Logo, o alumínio é paramagnético.

Resposta

a )

B = μ 0 N I 2 π R

b )

I I F e ≈ 1400

c )

χ m = 0,00002

O alumínio é paramagnético.

Exercício Resolvido #2

USP-P3-2012-1

Um solenoide longo, com enrolamento compacto, produz um campo magnético B 0 em seu interior, no vácuo.

a ) Quando o solenoide é preenchido por um determinado material, observa-se que o campo magnético no seu interior diminui para B = 0,9999 B 0 . Calcule a susceptibilidade magnética do material. Como se classifica esse material quanto à sua propriedade magnética?

b ) O solenoide é agora preenchido por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética 1000 vezes maior que o valor μ 0 no vácuo. Determine a magnetização e o campo magnético B no interior do núcleo em função de B 0 e μ 0 .

c ) Quando a corrente no solenoide é desligada, o núcleo de ferro apresenta uma magnetização remanente uniforme igual a M 1 . Determine o novo valor do campo magnético B 1 no interior do núcleo.

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Passo 1

a ) Quando o solenoide é preenchido por um determinado material, observa-se que o campo magnético no seu interior diminui para B = 0,9999 B 0 . Calcule a susceptibilidade magnética do material. Como se classifica esse material quanto à sua propriedade magnética?

A susceptibilidade magnética está associada à permeabilidade magnética por:

μ = 1 + χ m μ 0

Como B 0 é diretamente proporcional a μ 0 e B é diretamente proporcional a μ , podemos dizer que:

B = 1 + χ m B 0

Portanto:

B B 0 = 1 + χ m → χ m = B B 0 - 1

χ m = 0,9999 B 0 B 0 - 1 = 0,9999 - 1

Finalmente:

χ m = - 0,0001 = - 10 - 4

Como χ m < 0 , o material é diamagnético.

Passo 2

b ) O solenoide é agora preenchido por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética 1000 vezes maior que o valor μ 0 no vácuo. Determine a magnetização e o campo magnético B no interior do núcleo em função de B 0 e μ 0 .

A permeabilidade magnética está é dada por:

μ = 1000 μ 0

Assim como anteriormente, como B 0 é proporcional a μ 0 e B é proporcional a μ , podemos dizer que:

B = 1000 B 0

Passo 3

A magnetização M está associada aos campos B e B 0 por:

B = B 0 + μ 0 M

Sabendo agora que B = 1000 B 0 , substituindo na expressão acima, teremos:

1000 B 0 = B 0 + μ 0 M

999 B 0 = μ 0 M

Finalmente:

M = 999 B 0 μ 0

Passo 4

c ) Quando a corrente no solenoide é desligada, o núcleo de ferro apresenta uma magnetização remanente uniforme igual a M 1 . Determine o novo valor do campo magnético B 1 no interior do núcleo.

A magnetização M 1 está associada aos campos B 1 e B 0 por:

B 1 = B 0 + μ 0 M 1

Quando a corrente no solenoide é desligada, B 0 = 0 . Portanto:

B 1 = μ 0 M 1

Resposta

a )

χ m = - 10 - 4

Como χ m < 0 , o material é diamagnético.

b )

B = 1000 B 0

M = 999 B 0 μ 0

c )

B 1 = μ 0 M 1

Exercício Resolvido #3

Sears & Zemanske, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12ª ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 28.46, pp. 274

Um solenoide toroidal com 400 espiras possui um raio médio igual a 6,0 cm e conduz uma corrente de 0,25 A. A permeabilidade relativa do núcleo é igual a 80. (a) Qual é o campo magnético no núcleo? (b) Que parte do campo magnético resultante é produzido pelas correntes atômicas?

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Passo 1

Bom, o problema deu a permeabilidade relativa do núcleo:

K m =   μ μ 0 = 80

    μ = 80   μ 0

Lembrando que μ 0 = 4 π   x   10 - 7  

Passo 2

Para resolver a letra (a) precisamos da fórmula do campo magnético em um toróide:

B =   μ   N i 2 π r =   80   μ 0   N i 2 π r

Sendo N   o número de espiras,   i a corrente e r o raio do toróide.

B =   80   4 π   x   10 - 7 400 ( 0,25 ) 2 π ( 6   x   10 - 2 ) = 0,0267   T

Passo 3

Para resolver a letra (b) precisamos saber que a contribuição das correntes atômicas é dada pela diferença entre B calculado com μ e B calculado com μ 0 .

Vamos calcular B sem considerar o material magnético (vou chamar de B’ para não haver confusão):

B ' =     μ 0   N i 2 π r

Assim:

B c o r r   a t o m =   B - B ' = 80 - 1   μ 0   N i 2 π r = 79   0,0267

Como queremos a parte do campo magnético resultante que é produzido pelas correntes atômicas, temos:

B r e s u l   c o r r   a t o m =   79 80   0,0267 = 0,0263   T

Podemos reparar que o material magnético inserido no toroide aumenta consideravelmente o campo magnético, sendo responsável por 98,75   % deste.

Resposta

(a) B =   0,0267   T

(b) B r e s u l   c o r r   a t o m =   0,0263   T

Exercício Resolvido #4

Sears & Zemanske, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12ª ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 28.47, pp. 274

Um solenoide toroidal com 500 espiras é constituído por um enrolamento sobre um anel cujo raio médio é igual a 2,90 cm. Calcule qual deve ser a corrente no enrolamento necessária para produzir um campo magnético de 0,350 T no anel, (a) supondo que o anel seja de ferro recozido ( K m = 1400 ); (b) supondo que o anel seja de aço com silício ( K m = 5200 )

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Passo 1

Bom, o problema deu a permeabilidade relativa do anel:

K m =   μ μ 0

    μ = K m   μ 0

Lembrando que μ 0 = 4 π   x   10 - 7  

Para resolver a questão precisamos da fórmula do campo magnético em um toróide:

B =   μ   N i 2 π r =   K m   μ 0   N i 2 π r

Sendo N   o número de espiras,   i a corrente e r o raio do toróide.

Como o problema quer a corrente no toróide em casa caso, vamos explicitar a corrente i na fórmula acima:

i = 2 B π r K m   μ 0   N

Passo 2

Para a letra (a), temos que

K m =   μ μ 0 = 1400

Então:

    μ = 1400   μ 0

E:

i = 2 ( 0,350 ) π ( 2,90   x   10 - 2 ) ( 1400 )   ( 4 π   x   10 - 7 )   500 = 0,0725   A

Passo 3

Para a letra (b), temos que

K m =   μ μ 0 = 5200

Então:

    μ = 5200   μ 0

E:

i = 2 ( 0,350 ) π ( 2,90   x   10 - 2 ) ( 5200 )   ( 4 π   x   10 - 7 )   500 = 0,0195   A

Obs.: Se o toróide estivesse preenchido apenas com ar, precisaríamos de uma corrente muito maior para produzir o mesmo campo magnético. Essa é a vantagem de utilizar materiais magnéticos!

Resposta

(a) i = 0,0725   A

(b) i = 0,0195   A

Exercício Resolvido #5

Sears & Zemanske, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12ª ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Problema 28.48, pp. 274

A corrente que passa nos enrolamentos de um solenoide toroidal é de 2,400 A. Existem 500 espiras e seu raio médio é igual a 25,0 cm. O toróide está preenchido com um material magnético. Verifica-se que o campo magnético no interior das espiras é igual a 1,940 T. Calcule (a) a permeabilidade relativa; (b) a suscetibilidade magnética do material que preenche o toróide.

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Passo 1

Para resolver a questão precisamos da fórmula do campo magnético em um toróide:

B =   μ   N i 2 π r =   K m   μ 0   N i 2 π r

Passo 2

Na letra (a), precisamos encontrar K m . Vamos rearrumar a fórmula do passo anterior:

  K m = 2 B π r   μ 0   N i

Substituindo, temos:

K m = 2 ( 1,940 ) π ( 25   x   10 - 2 )   μ 0   ( 500 ) ( 2,400 ) = 2021

Passo 3

Na letra (b) precisamos lembrar a fórmula da suscetibilidade magnética:

K m = 1 +   χ m

Portanto:

χ m =   K m - 1  

Substituindo:

χ m =   2021 - 1 = 2020

Resposta

(a) K m = 2021

(b) χ m =   2020

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