Lei de Ampère em Solenóides e Toróides

Teoria Completa

Já vimos como usar a lei de Ampère para calcular o campo magnético gerado por um fio com corrente i . E se tivéssemos mais fios? Como seria?

Lei de Ampère para um plano infinito de fios

Vamos olhar para esse caso específico com dois fios e tentar calcular o campo magnético no ponto P que está a mesma distância dos dois fios

Já sabemos que o módulo do campo magnético gerado por cada um dos fios terá mesma magnitude e a direção de cada ponto será dada pela regra da mão direita.

Ao somarmos as duas contribuições teremos somente um campo horizontal, já que as componentes verticais vão se anular!

Show! Mas o que isso tem de importante? Uma coisa que aparece muito é quando temos um plano com infinitos fios!

Para cada fio vermelho (à direita) haverá um fio verde (à esquerda), de forma que cada par de fios produzirá um campo magnético horizontal! Além disso esse campo também será uniforme!

A visualização fica mais ou menos assim

Pela regra da mão direita, acima do plano o campo magnético aponta para direita e abaixo do plano aponta para esquerda.

Beleza, agora podemos aplicar a lei de Ampère (lembra dela?) nesse problema!

Vamos escolher como curva amperiana um retângulo de altura h e base L , como na figura abaixo

Pela lei de Ampère temos que

∮ B → . d l → = μ 0 I i n

Como o campo é horizontal a integral de linha a esquerda só terá contribuição da base do retângulo.

∮ B → . d l → = 2 B L

Já a corrente I i n , total passando por dentro da amperiana será o número de fios dentro dessa curva vezes a corrente em cada fio.

Supondo que nesse plano infinito há n fios por comprimento, o total de fios dentro da amperiana será n L , de forma que

I i n = n L i

Juntando todas as informações temos

∮ B → . d l → = μ 0 I i n → 2 B L = μ 0 n L i

B = μ 0 n i 2

E aqui está o nosso campo \o/

Se liga, que vimos aqui o caso da corrente saindo do plano da folha! Quando a corrente estiver entrando a intensidade do campo é a mesma que vimos agora, mas a direção do campo muda (devido a regra da mão direita)

A boa agora é aplicar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético no interior de solenóides e toróides. Cuidado para não confundir os nomes (eu, pelo menos, acho os dois meio parecidos). Então se liga!

Lei de Ampère em Solenóides

Um solenóide é uma bobina helicoidal formada por espiras circulares muito próximas.

No interior de um solenóide longo percorrido por uma corrente I , em pontos distantes das extremidades (que é como costumam pedir nos problemas), o módulo B do campo magnético é dado por:

B = μ 0 i n

Onde n é o número de espiras por unidade de comprimento.

A representação das linhas de campo magnético em um solenoide é mostrada na figura abaixo por essas setas verdes.

Lei de Ampère em Toróides

Um toróide pode ser descrito como um solenóide cilíndrico que foi encurvado até as extremidades se tocarem, formando assim um anel como o da figura abaixo.

Em um ponto no interior de um toróide o módulo B do campo magnético é dado por:

B   = μ 0 i N 2 π r

Onde N é o número total de espiras e r é a distância entre o ponto e o centro do toróide.

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 258-50

Um solenóide com 1,30   m de comprimento e 2,60   c m de diâmetro conduz uma corrente de 18,0   A . O campo magnético no interior do solenóide é 23,0   m T .

Determine o comprimento do fio que é feito o solenóide.

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Passo 1

Pra começar, precisamos descobrir quantas espiras o solenóide possui.

O campo magnético no interior do solenóide é dado por:

B = μ 0 i n

Onde n é o número de espiras por unidade de comprimento. Logo:

n = N L

Substituindo na expressão do campo magnético, teremos:

B = μ 0 i N L

N = B L μ 0 i

Passo 2

O comprimento do fio necessário será N vezes o comprimento da circunferência do solenóide, logo:

l = 2 π r N

l = 2 π r B L μ 0 i

Onde:

B = 23,0   m T = 23 × 10 - 3   T

L = 1,30   m

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A

i = 18,0   A

r = d 2 = 1 , 3 0   c m = 1,3 × 10 - 2   m

Logo:

l = 2 π × 1,3 × 10 - 2 × 23 × 10 - 3 × 1,3 4 π × 10 - 7 × 18

l = 108   m

Resposta

l = 108   m

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 258-51

Um toróide de seção reta quadrada, com 5,0   c m de lado e um raio interno de 15,0   c m tem 500 espiras e conduz uma corrente de 0,8   A .

Determine o campo magnético no interior do toróide a a uma distância do centro igual ao raio interno; b a uma distância do centro igual ao raio externo.

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Passo 1

a Determine o campo magnético no interior do toróide a uma distância do centro igual ao raio interno;

O campo magnético no interior do toróide é dado por:

B   = μ 0 i N 2 π r

Onde:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A

i = 0,8   A

N = 500   e s p i r a s

r = 15,0   c m = 0,15   m

Logo:

B   = 4 π × 10 - 7 × 0,8 × 500 2 π × 0,15

B = 5,33 × 10 - 4 T

Passo 2

b Determine o campo magnético no interior do toróide a uma distância do centro igual ao raio externo.

O raio externo será:

r e = r i + l

Onde l é a medida do lado do quadrado, logo:

r e = 15 + 5