Movimento Harmônico Amortecido

Teoria Completa

O que é MHA?

A única coisa que muda em relação ao MHS é que agora tem atrito. Só isso!

MHA significa movimento harmônico amortecido.

Então o sistema não fica oscilando para sempre, ele vai parar com o tempo, porque a força de atrito vai tirando energia do sistema até ele parar. Nesse caso, a energia não se conserva!

Equação do MHA

Agora temos que acrescentar na Segunda Lei de Newton a força de atrito também.

Vamos ver o exemplo do sistema massa-mola.

Observe que, nesse caso, além da mola com constante elástica k , temos também um amortecedor, com constante de amortecimento c .

Além do amortecedor, existem outros fatores que podem gerar atrito no sistema. Se o bloco estivesse mergulhado em um fluido viscoso, por exemplo, a força de atrito seria a força que o líquido exerce no bloco. Outro exemplo: se fosse uma mola vertical, um disco preso à massa faria com que a resistência do ar exercesse uma força de atrito também.

Mas em todos esses casos, a força de atrito é calculada da mesma maneira:

F a t = - c v

onde v é a velocidade.

Assim como a força elástica é sempre contrária à posição, a força de amortecimento (atrito) também é.

Mas atrito não era F a t = μ N ?

Era, mas nesse caso, estamos considerando atritos viscosos, que são sempre calculados daquela maneira. Esse atrito que aprendemos antes é o atrito seco.

Beleza, então vamos isolar o bloco e ver quais forças estão atuando nele:

Então a força resultante é:

F R = F e l + F a t

onde F a t = - c v e F e l = - k x

Observação: você também poderia dizer que F R = - F e l - F a t , mas aí teria que dizer que F a t = c v e F e l = k x .

Substituindo na Segunda Lei de Newton:

F R = m a

⇒ - c v - k x = m a

Mas a = x ¨ e v = x ˙

Então:

- c x ˙ - k x = m x ¨

Logo:

m x ¨ + c x ˙ + k x = 0

Essa é a equação do MHA.

Observação: os coeficientes são sempre positivos! Se tiver algum negativo, verifique o sinal das forças, como fizemos antes no MHS.

Taí! Percebeu que fizemos os mesmos passos do MHS?

A única diferença é que apareceu um termo a mais nessa equação.

Se fizermos c = 0 (atrito zero), teremos a equação do MHS.

E essa equação é uma EDO de 2ª ordem homogênea.

E como é que a gente resolve?

Vamos dar uma puxada lá no Cálculo! Quando temos uma EDO de 2ª ordem homogênea, resolvemos a equação auxiliar:

m r 2 + c r + k = 0

Dividindo todo mundo por m :

r 2 + c m r + k m = 0

Agora, chamando c m = γ e ω 0 2 = k m , vamos calcular o dessa equação:

∆ = b 2 - 4 a c = γ 2 - 4.1 . ω 0 2

E então temos três possibilidades:

Δ > 0   ; Δ = 0   ; Δ < 0

Em cada caso, temos uma solução diferente, lembra?

Então vamos analisar cada uma dessas possibilidades agora.

Mas antes vamos dar nome aos bois:

Quando Δ > 0 : amortecimento supercrítico;

γ 2 > ω 0

Quando Δ = 0 : amortecimento crítico;

γ 2 = ω 0

Quando Δ < 0 : amortecimento subcrítico;

γ 2 < ω 0

É só você lembrar que “sub” significa “abaixo” (abaixo de zero) e “super” significa “acima” (acima de zero).

Beleza?

Então vamos lá!

Amortecimento supercrítico

Nesse caso: Δ > 0

Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e distintas:

m r 2 + c r + k = 0

r 2 + c m r + k m = 0

Chamando: γ = c m e ω 0 2 = k m :

r = r 1 = - γ 2 - γ 2 4 - ω 0 2 r 2 = - γ 2 + γ 2 4 - ω 0 2

Lembrando que ∆ > 0 .

A solução é dada por:

x t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

As constantes c 1 e c 2 são dadas pelas condições iniciais de x 0 e x ˙ 0 .

O gráfico do amortecimento supercrítico tem essa cara:

Uma soma de exponenciais decrescentes.

Amortecimento crítico

Nesse caso: Δ = 0

Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e iguais:

r 2 + c m r + k m = 0

r = r 1 = r 2 = - c 2 m = - γ 2

Porque o ∆ = 0 ((;).

A solução é dada por:

x t = c 1 e r t + c 2 t e r t

Ou, se preferir colocar em evidência:

x t = c 1 + c 2 t e r t

As constantes c 1 e c 2 também são dadas pelas condições iniciais de x 0 e x ˙ 0 .

O gráfico do amortecimento crítico tem mais ou menos a mesma cara do amortecimento supercrítico (lembra que r < 0 ) :

Como você pode perceber, o x decai mais rapidamente nesse caso do que no caso supercrítico, mesmo o amortecimento sendo menor.

Amortecimento subcrítico

Nesse caso: Δ < 0

Então a equação auxiliar tem duas raízes imaginárias:

r 2 + c m r + k m = 0

Chamando γ = c m e ω 0 2 = k m :

r 2 + γ r + ω 0 2 = 0

r = - γ 2 ± i ω = r 1 = - c 2 m + i 2 m 4 ω 0 2 m 2 - c 2         = - γ 2 - i ω 0 2 - γ 2 4 r 2 = - c 2 m - i 2 m 4 ω 0 2 m 2 - c 2 = - γ 2 + i ω 0 2 - γ 2 4

Lembrando que ∆ < 0 .

E a solução é dada por:

x t = e - γ t 2 c 1 cos ⁡ ω t + c 2 sen ⁡ ω t

Onde

ω = 1 2 m 4 ω 0 2 m 2 - c 2 = ω 0 2 - γ 2 4

As constantes c 1 e c 2 são sempre dadas pelas condições iniciais de x 0 e x ˙ 0 .

Dando uma sacudida nessas funções trigonométricas, a gente pode reescrever essa solução na forma

x t = A e - γ t 2 cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Agora, as constantes A e ϕ são dadas pelas condições iniciais de x 0 e x ˙ 0 .

E o gráfico do amortecimento subcrítico tem uma cara assim:

Nesse caso, o movimento é oscilatório, mas as amplitudes vão sendo cada vez menores, até parar.

Importante:não se preocupe em decorar essas soluções, caso você não lembre! Se for necessário, vai ter um formulário com elas. O mais importante é saber calcular Δ e classificar o amortecimento em subcrítico, crítico ou supercrítico!

Obs: Lembre-se que o amortecimento que faz com o x tenda a origem mais rapidamente é o crítico. Isso já caiu em algumas provas.

Considerações finais

Entendeu a ideia, então?

No fundo, estamos fazendo o mesmo que fizemos com MHS, só que considerando o atrito.

Uma observação importante: dissemos que a força de atrito é sempre da forma:

F a t = - c x ˙

Depois era só substituir na Segunda Lei de Newton:

F R = m a

Mas se for o caso de ser a Segunda Lei de Newton de rotação:

τ R = I α

O torque de atrito é dado por:

τ a t = - c θ ˙

Entendeu? Seria o equivalente da rotação: o torque de atrito é proporcional à velocidade angular.

Será sempre assim a menos que o problema forneça outra expressão, beleza?

Outra observação: fizemos um exemplo de massa-mola, mas poderia ser um pêndulo ou qualquer outro sistema. Mas a ideia é a mesma. É só seguir o passo-a-passo!

Resumão

Ficou informação pra caramba, né? Vamos tentar dar uma revisada aqui nos pontos mais importantes.

  • Equação do MHA:
  • Tem essa cara:

    a x ¨ + b x ˙ + c x = 0

    onde a , b e c são positivos!

    Força de amortecimento (atrito):

    F a t = - c x ˙

    Torque de amortecimento (atrito):

    τ a t = - c θ ˙

    onde c é a constante de amortecimento.

  • Tipos de amortecimento

a x ¨ + b x ˙ + c x = 0

Δ = b 2 - 4 a c

Supercrítico: Δ > 0

Crítico: Δ = 0

Subcrítico: Δ < 0

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P2-2013.2-M07

Um avião está voando em trajetória retilínea a uma altitude constante. De repente, ele é atingido por uma rajada de vento que faz força sobre sua parte frontal. O nariz do avião começa a oscilar por um dado período de tempo, assustando os passageiros, mas aos poucos a oscilação cessa e o avião volta a sua posição de equilíbrio. A situação apresentada representa:

  1. Um regime de oscilações não amortecidas, o avião oscila em movimento harmônico simples.
  2. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime subcrítico.
  3. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime supercrítico.
  4. Um regime de oscilações amortecidas, o avião oscila no regime crítico
  5. O avião entrou em ressonância com o vento.
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Passo 1

O avião começou a oscilar aos poucos começou a parar o que isso te lembra?

Oscilações amortecidas, que é um Movimento Harmônico Amortecido, isso fica claro porque a oscilação para com o tempo.

A questão agora é qual tipo de oscilação amortecida o avião está tendo.

Lembra dos gráficos de MHA da teoria?

  • Supercrítico
  • Crítico
  • Subcrítico

Os dois primeiros ele sobe uma vez e depois desce, o avião fica oscilando até parar, então temos um amortecimento subcrítico

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P2-2014.2-Q5

Duas balanças são constituídas, cada uma, por uma mola e um prato, em que se deposita uma massa a ser medida. Observa-se que para a primeira balança, o prato não oscila, mas a balança demora um certo tempo para marcar o valor correto depois que a massa é posta no prato. Nota-se também que a segunda balança oscila várias vezes antes que o prato pare e esse valor possa ser lido. Assinale a alternativa INCORRETA:

  1. Na primeira balança observa-se um regime de amortecimento crítico ou supercrítico.
  2. Na segunda balança observa-se um regime de amortecimento subcrítico.
  3. Quanto mais amortecido o sistema, menos tempo a balança leva para marcar o valor correto.
  4. Se não houvesse nenhum tipo de amortecimento, a balança poderia oscilar por tempo indeterminado.
  5. O valor da massa altera a frequência natural de oscilação do sistema massa+prato+mola.
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Passo 1

A gente tem que ver a balança como um sistema MHA.Vamos analisar uma por uma:

a) Verdadeira. Basta a gente perceber que não pode ser subcrítico se não tem oscilação.

b) Verdadeira. Palavra-chave: “oscila” Se oscila, só pode ser subcrítico.

c)Falsa! Se fosse assim, o regime supercrítico levaria o menor tempo pra parar. Sabemos que isso acontece pro crítico.

d)Verdade, pois seria apenas um sistema MHS. Ficaria oscilando indefinidamente.

e) Sim, pois a frequência angular é dada por:

ω = k m s i s t e m a

Resposta

Letra c)

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2014.2-Q7

Um oscilador levemente amortecido tem seu parâmetro de amortecimento γ muito menor que sua frequência natural ω 0 . Neste caso a energia mecânica média armazenada no oscilador num dado instante de tempo é dada por E t = E 0 e - γ t . A vida média destas oscilações é definida como o intervalo de tempo no qual a energia média se reduz de um fator 1 e . O número de oscilações n que a partícula realiza neste intervalo pode ser expresso por:

  1. n = ω 0 2 π γ
  2. n = ω 0 γ
  3. n = 2 π ω 0 γ
  4. n = l n 2 ω 0 2 π γ
  5. n = ω 0 γ 2
  6. n = 2 π γ ω 0
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Passo 1

Vamos lá. Ali no enunciado tá sendo dito que o tempo de vida média, que vamos chamar de t m , é definido como o tempo que a energia média leva pra cair a um fator de 1 e do seu valor inicial.

Então vamos comparar E 0 . 1 e com a expressão da energia pelo tempo pra descobrir quanto vale esse tempo de vida média:

E 0 . 1 e = E 0 . e - γ t

1 e = e - γ t m   → e - 1 = e - γ t m     →   - 1 = - γ t m   → t m = 1 γ

Passo 2

Beleza, já achamos quanto vale esse tempo de vida média. Agora precisamos descobrir quantas oscilações ocorrem nesse tempo. Como pensamos nisso?

Bem, se você souber o período de oscilação, fica fácil. É só dividir o tempo pelo período.

Imagine um exemplo mais simples: Digamos que um sistema tenha um período de 2 s e seja posto pra oscilar durante 8 s .Quantas oscilações ele fez?

Quatro, pois : 8 2 = 4 .

Passo 3

Então, vamos descobrir uma expressão pro período. Como ω 0 é a frequência angular, temos que:

ω 0 = 2 π T → T = 2 π ω 0

Agora vamos fazer aquilo que falamos: dividir o tempo de vida média por esse valor de período:

n = 1 γ 2 π ω 0 = ω 0 2 π γ

Resposta

a)

Exercício Resolvido #4

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 2 : ondas, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, Cap 15, Problema 57.

Na Fig. 15-15 o bloco possui uma massa de 1,50   k g