Enunciado

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Em um oscilador amortecido com m = 250 g , k = 85 N / m e b = 70 g / s , qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?

Passo 1

Vamos passar logo os valores de gramas para quilogramas?

m = 250 g = 0,25 k g

b = 70 g / s = 0,070 k g / s

Beleza?? Vamos começar agora!

Antes de tudo, temos que saber qual é o tempo que corresponde à 20 oscilações. Pra isso, a gente precisa calcular o período do sistema, que é dado por:

T = 2 π ω

E em um oscilador amortecido a frequência angular é dada por:

ω = k m - b 2 4 m 2

Substituindo:

T = 2 π k m - b 2 4 m 2

Substituindo os valores do enunciado:

T = 2 π 85 0,25 - 0,070 2 4 * 0,25 2

T = 0,34 s

Esse é o tempo necessário para completar uma oscilação. Logo, para completar 20 oscilações, precisaríamos de 20 T .

Então, quando t = 20 T , a amplitude decresce de um fator exponencial dado por r , onde

r = e - b t / 2 m

A = A 0 × r

E aí, substituindo os nossos valores para 20 oscilações, teremos o quanto a amplitude decresceu após todas elas:

r = e - 0,070 20 0,34 / 2 0,25

r = 0,39

Temos portanto que:

A = A 0 × r = 0,39 A 0

E o enunciado nos pediu a razão entre a amplitude após 20 oscilações e a amplitude inicial.

A A 0 = 0,39 A 0 A 0 = 0,39

Que é o nosso próprio fator exponencial r .

Resposta

r = 0,39

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