Oscilações Forçadas

Teoria Completa

O que são oscilações forçadas?

Já vimos que pode existir uma força de amortecimento que “atrapalha” a oscilação. E se surgir, agora, uma força externa que também afete a oscilação, como a força peso?

Como assim? Veja a figura abaixo:

Chamamos isso de oscilação forçada.

Nesse caso, uma oscilação forçada com uma força que é constante no tempo.

Matematicamente falando, antes estávamos lidando com EDOs Homogêneas. Agora, não mais. Então, a solução geral agora será dada pela soma de uma solução homogênea com uma solução particular:

x t = x h t + x p ( t )

Bora aprender a resolver isso.

Quando a força externa for constante

Vamos usar como exemplo de força constante a força peso, já comentada. Aliás, as chances de você encontrar uma questão envolvendo uma oscilação influenciada pela força peso são grandes.

Usando a segunda Lei de Newton aplicada ao exemplo lá de cima , vamos obter:

m a = F R

m a = - k x + m g

m a + k x = m g

Ahh, mas lembra aí que podemos chamar a aceleração a de x ¨ . E dividindo tudo por m, temos:

x ¨ + k m x = g

Definimos ω 2 = k / m :

x ¨ + ω 2 x = g

Obs: Veja que o sentido do peso nesse caso é positivo pois eu adotei o sentido positivo de x para baixo.

Beleza, chegamos a equação diferencial. Agora, como foi dito, a solução vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t

Para achar a solução homogênea, basta ignorarmos tudo que não é o x(t) ou suas derivadas. Então, x h ( t ) é a solução da equação homogênea:

x ¨ + ω 2 x = 0

Que é uma equação simples de um MHS. Nós já vimos que essa solução é do tipo:

x h t = A c o s ω t + B s e n ω t

E agora, como achar a solução particular?

Bom, você deve lembrar de EDO que a gente “chuta” um valor pra solução particular que seja matematicamente parecido com a parte não-homogênea da equação e depois substitui na equação diferencial.

Nesse caso, como a parte não homogênea é uma constante ( g ), então vamos chutar um valor constante também. Bem assim:

x p t = C

Substituindo na EDO:

x p ¨ + ω 2 x p = g

0 + ω 2 C = g

Percebeu que a apareceu um zero ali porque a segunda derivada de uma constante é zero, né?

Lembrando que: ω 2 = k / m :

C k m = g

C = m g k = x p t

Então, no final:

x t = x h t + x p t

x t = A c o s ω t + B s e n ω t + m g k

Show? Ah, e se nesse caso tivesse um amortecimento?

Seria muito parecido, e solução particular seria a mesma. Por quê? Bom, porque as derivadas zerariam na EDO pelo mesmo motivo que antes:

x P ¨ + γ x P ˙ + ω 2 x P = 0

0 + γ 0 + k m C = g → C = m g k

O que mudaria seria a equação da parte homogênea, que depende do tipo de amortecimento, como vimos no capítulo de MHA.

E se a força for oscilatória?

Olhe a figura: Agora temos uma força externa que não é constante e que varia no tempo como uma força oscilatória:

F e x t = F 0 cos ⁡ Ω t

Por exemplo, quando você está empurrando um balanço para um amigo que está sentado.

Como vamos resolver isso? Simples, vamos partir da segunda Lei de Newton novamente.

Equacionando

Usamos a segunda lei de Newton para buscarmos uma solução, lembrando que nesse caso, não possuímos amortecimento:

m a = - k x + F 0 cos ⁡ Ω t

Substituindo a = x ¨ e dividindo tudo por m:

x ¨ + k m x = F 0 m cos ⁡ Ω t

Fazendo ω 2 = k / m .

Repare que ω é a frequência natural de oscilação da mola (um valor constante), mas Ω é a frequência angular da oscilação externa (de valor variável). Não confunda as duas!!

x ¨ + ω 2 x = F 0 m cos ⁡ Ω t

Se liga, é um erro muito comum você chegar numa equação do tipo:

x ¨ + ω 2 x = F 0 cos ⁡ Ω t

Mas isso está errado, pois no desenvolvimento da EDO a gente dividiu tudo pela massa. Preste atenção nisso!

Enfim, como vimos, a solução vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t

A solução homogênea é a solução de um MHS, mas a solução particular a gente vai precisar chutar, usando os métodos de EDOs.

Como a parte não homogênea é um cosseno, é de se esperar que a solução particular seja do tipo:

x p t = C   c o s ( Ω t )

Vamos descobrir esse C :

Assim:

x ˙ p t = - Ω C   s e n ( Ω t )

x ¨ p t = - Ω 2 C   c o s Ω t

Assim, na EDO:

- Ω 2 C cos ⁡ ( Ω t ) + ω 2 C cos ⁡ Ω t = F 0 m cos ⁡ ( Ω t )

Cortando os cossenos:

ω 2 - Ω 2 C = F 0 m

C = F 0 m ( ω 2 - Ω 2 )

Então a solução particular vai ser:

x p t = F 0 m ω 2 - Ω 2 cos ⁡ Ω t

A massa oscila com a frequência da força externa, sem diferença de fase. Se força empurra o balanço, ele vai pra frente, se você puxa, ele vai pra trás, como esperado.

Juntando tudo:

Ressonância

Repare na amplitude da solução particular que acabamos de achar.

x p t = A Ω cos ⁡ Ω t

A Ω = F 0 m ω 2 - Ω 2

A amplitude do movimento depende da frequência da oscilação externa ( Ω ).

No caso do balanço, se você fica empurrando o balanço muito rápido (alta frequência) ou muito devagar (baixa frequência), a amplitude de oscilação vai ser baixa: seu amigo não se diverte.

lim Ω → ± ∞ ⁡ A ( Ω ) = 0

Mas o que acontece quando a frequência externa fica igualzinha a frequência natural do sistema?

Quando Ω = ω , o denominador vai a zero!

lim Ω → ω ⁡ A ( Ω ) = lim Ω → ω ⁡ F 0 m ω 2 - Ω 2 = + ∞

A amplitude de oscilação vai ficando maior e maior até o infinito, como na figura abaixo. Chamamos esse fenômeno de RESSONÂNCIA!

O máximo de amplitude só acontece quando o sistema entra em ressonância, isso é, quando Ω = ω ! Na ausência de amortecimento, a ressonância gera amplitudes infinitas!

Ou seja, se você quiser que seu amigo se divirta no balanço, você tem que empurrar com uma frequência próxima à frequência natural de oscilação do sistema para que ele tenha uma amplitude significativa. Mas cuidado, porque se não tiver atrito nenhum seu amigo vai sair voando para o infinito e além!

Agora é SUPER importante que você reforce todos os conceitos com os exercícios. Tanto os teóricos quanto os de conta, eles são essenciais para que você internalize os conhecimentos. BORA LÁ!!

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Exercício Resolvido #1

UFRJ-P2-2014.2-Discursiva 1

Considere um corpo de massa m 1 , preso a uma mola ( de constante elástica k e comprimento relaxado L 0 ) cuja outra extremidade presa está presa ao teto. Considere que pode oscilar, sem resistência, na vertical sob a ação de um campo gravitacional g . O corpo é solto, inicialmente em repouso, da posição em que a mola encontra-se relaxada.

  1. DEDUZA a equação diferencial de movimento. Especifique CLARAMENTE o eixo e a origem de seu sistema de coordenadas.
  2. Mostre que a equação diferencial de movimento pode ser escrita como a equação do oscilador harmônico simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta posição.
  3. Escreva a solução completa x = x ( t ) que descreve o movimento, em função dos dados do problema.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos definir nosso eixo de coordenadas apontando pra baixo, na direção do vetor peso:

A nossa origem ficará no teto. A força elástica será dada por:

F e l → = - k d i ^

Onde d é o deslocamento e i o vetor unitário que aponta na direção de x Como o comprimento natural é L 0 , temos que:

d = x - L 0

Show! Então a força elástica vai ser:

F e l → = - k d i = - k x - L 0 i

E temos também a força peso, né? É de se esperar que ela seja positiva, pois aponta na direção de crescimento do x :

P → = m g i

Vamos calcular agora a força resultante usando a segunda lei de Newton:

m a = - k x - L 0 + m g

A aceleração, no caso, é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:

a = x ¨

Então:

m x ¨ = - k x - L 0 + m g   → x ¨ + k m x - L 0 = g

(:

Passo 2

b)

Bom, primeiro, qual é posição de equilíbrio galera?

Vamos definir L 1 como:

k L 1 = m g → L 1 = m g k

Ou seja, o comprimento que gera uma força elástica que equilibra o peso. Agora, vamos definir novas coordenadas x ' :

x ' = x - L 1

Então, reescrevendo a equação diferencial que a gente encontrou (Trocando só x por x ' ):

x ' ¨ + k m x ' - L 0 = g

Substituindo o valor de x ' :

Primero: A derivada de x ' elimina constante L 1 :

x ' = x - L 1 → x ' ¨ = x ¨

Logo:

x ¨ + k m x - L 0 - L 1 = g

Passo 3

c):

Vamos calcular a solução para x . Como o sistema é forçado, a solução será composta por uma solução homogênea e uma particular. A solução homogênea será do tipo:

x h ( t ) = A c o s ω t + φ

E a solução particular?

Bom, a solução particular vai ser do tipo:

x ' p t = C

Onde C é uma constante. Isso seve ao fato de que a força externa é constante. Então, substituindo na expressão:

k m C - L 0 = g   → C = m g k + L 0 = x p t

Logo, a solução geral vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t = A c o s ω t + φ + m g k + L 0

As condições iniciais são:

x 0 = L 0

x ˙ 0 = 0

Lembrando-se que a mola parte do repouso, por isso x ˙ 0 = 0 .Então:

x 0 = A c o s δ + L 0 + m g k = L 0

A c o s δ = - m g k