Oscilações Forçadas

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Teoria

O que são oscilações forçadas?

Já vimos que pode existir uma força de amortecimento que “atrapalha” a oscilação. E se surgir, agora, uma força externa que também afete a oscilação, como a força peso?

Como assim? Veja a figura abaixo:

Chamamos isso de oscilação forçada.

Nesse caso, uma oscilação forçada com uma força que é constante no tempo.

Matematicamente falando, antes estávamos lidando com EDOs Homogêneas. Agora, não mais. Então, a solução geral agora será dada pela soma de uma solução homogênea com uma solução particular:

x t = x h t + x p ( t )

Bora aprender a resolver isso.

Quando a força externa for constante

Vamos usar como exemplo de força constante a força peso, já comentada. Aliás, as chances de você encontrar uma questão envolvendo uma oscilação influenciada pela força peso são grandes.

Usando a segunda Lei de Newton aplicada ao exemplo lá de cima , vamos obter:

m a = F R

m a = - k x + m g

m a + k x = m g

Ahh, mas lembra aí que podemos chamar a aceleração a de x ¨ . E dividindo tudo por m, temos:

x ¨ + k m x = g

Definimos ω 2 = k / m :

x ¨ + ω 2 x = g

Obs: Veja que o sentido do peso nesse caso é positivo pois eu adotei o sentido positivo de x para baixo.

Beleza, chegamos a equação diferencial. Agora, como foi dito, a solução vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t

Para achar a solução homogênea, basta ignorarmos tudo que não é o x(t) ou suas derivadas. Então, x h ( t ) é a solução da equação homogênea:

x ¨ + ω 2 x = 0

Que é uma equação simples de um MHS. Nós já vimos que essa solução é do tipo:

x h t = A c o s ω t + B s e n ω t

E agora, como achar a solução particular?

Bom, você deve lembrar de EDO que a gente “chuta” um valor pra solução particular que seja matematicamente parecido com a parte não-homogênea da equação e depois substitui na equação diferencial.

Nesse caso, como a parte não homogênea é uma constante ( g ), então vamos chutar um valor constante também. Bem assim:

x p t = C

Substituindo na EDO:

x p ¨ + ω 2 x p = g

0 + ω 2 C = g

Percebeu que a apareceu um zero ali porque a segunda derivada de uma constante é zero, né?

Lembrando que: ω 2 = k / m :

C k m = g

C = m g k = x p t

Então, no final:

x t = x h t + x p t

x t = A c o s ω t + B s e n ω t + m g k

Show? Ah, e se nesse caso tivesse um amortecimento?

Seria muito parecido, e solução particular seria a mesma. Por quê? Bom, porque as derivadas zerariam na EDO pelo mesmo motivo que antes:

x P ¨ + γ x P ˙ + ω 2 x P = 0

0 + γ 0 + k m C = g → C = m g k

O que mudaria seria a equação da parte homogênea, que depende do tipo de amortecimento, como vimos no capítulo de MHA.

E se a força for oscilatória?

Olhe a figura: Agora temos uma força externa que não é constante e que varia no tempo como uma força oscilatória:

F e x t = F 0 cos ⁡ Ω t

Por exemplo, quando você está empurrando um balanço para um amigo que está sentado.

Como vamos resolver isso? Simples, vamos partir da segunda Lei de Newton novamente.

Equacionando

Usamos a segunda lei de Newton para buscarmos uma solução, lembrando que nesse caso, não possuímos amortecimento:

m a = - k x + F 0 cos ⁡ Ω t

Substituindo a = x ¨ e dividindo tudo por m:

x ¨ + k m x = F 0 m cos ⁡ Ω t

Fazendo ω 2 = k / m .

Repare que ω é a frequência natural de oscilação da mola (um valor constante), mas Ω é a frequência angular da oscilação externa (de valor variável). Não confunda as duas!!

x ¨ + ω 2 x = F 0 m cos ⁡ Ω t

Se liga, é um erro muito comum você chegar numa equação do tipo:

x ¨ + ω 2 x = F 0 cos ⁡ Ω t

Mas isso está errado, pois no desenvolvimento da EDO a gente dividiu tudo pela massa. Preste atenção nisso!

Enfim, como vimos, a solução vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t

A solução homogênea é a solução de um MHS, mas a solução particular a gente vai precisar chutar, usando os métodos de EDOs.

Como a parte não homogênea é um cosseno, é de se esperar que a solução particular seja do tipo:

x p t = C   c o s ( Ω t )

Vamos descobrir esse C :

Assim:

x ˙ p t = - Ω C   s e n ( Ω t )

x ¨ p t = - Ω 2 C   c o s Ω t

Assim, na EDO:

- Ω 2 C cos ⁡ ( Ω t ) + ω 2 C cos ⁡ Ω t = F 0 m cos ⁡ ( Ω t )

Cortando os cossenos:

ω 2 - Ω 2 C = F 0 m

C = F 0 m ( ω 2 - Ω 2 )

Então a solução particular vai ser:

x p t = F 0 m ω 2 - Ω 2 cos ⁡ Ω t

A massa oscila com a frequência da força externa, sem diferença de fase. Se força empurra o balanço, ele vai pra frente, se você puxa, ele vai pra trás, como esperado.

Juntando tudo:

Ressonância

Repare na amplitude da solução particular que acabamos de achar.

x p t = A Ω cos ⁡ Ω t

A Ω = F 0 m ω 2 - Ω 2

A amplitude do movimento depende da frequência da oscilação externa ( Ω ).

No caso do balanço, se você fica empurrando o balanço muito rápido (alta frequência) ou muito devagar (baixa frequência), a amplitude de oscilação vai ser baixa: seu amigo não se diverte.

lim Ω → ± ∞ ⁡ A ( Ω ) = 0

Mas o que acontece quando a frequência externa fica igualzinha a frequência natural do sistema?

Quando Ω = ω , o denominador vai a zero!

lim Ω → ω ⁡ A ( Ω ) = lim Ω → ω ⁡ F 0 m ω 2 - Ω 2 = + ∞

A amplitude de oscilação vai ficando maior e maior até o infinito, como na figura abaixo. Chamamos esse fenômeno de RESSONÂNCIA!

O máximo de amplitude só acontece quando o sistema entra em ressonância, isso é, quando Ω = ω ! Na ausência de amortecimento, a ressonância gera amplitudes infinitas!

Ou seja, se você quiser que seu amigo se divirta no balanço, você tem que empurrar com uma frequência próxima à frequência natural de oscilação do sistema para que ele tenha uma amplitude significativa. Mas cuidado, porque se não tiver atrito nenhum seu amigo vai sair voando para o infinito e além!

Agora é SUPER importante que você reforce todos os conceitos com os exercícios. Tanto os teóricos quanto os de conta, eles são essenciais para que você internalize os conhecimentos. BORA LÁ!!

E se a força for oscilatória?

Equacionando

Ressonância

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere um corpo de massa m 1 , preso a uma mola ( de constante elástica k e comprimento relaxado L 0 ) cuja outra extremidade presa está presa ao teto. Considere que pode oscilar, sem resistência, na vertical sob a ação de um campo gravitacional g . O corpo é solto, inicialmente em repouso, da posição em que a mola encontra-se relaxada.

  1. DEDUZA a equação diferencial de movimento. Especifique CLARAMENTE o eixo e a origem de seu sistema de coordenadas.
  2. Mostre que a equação diferencial de movimento pode ser escrita como a equação do oscilador harmônico simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta posição.
  3. Escreva a solução completa x = x ( t ) que descreve o movimento, em função dos dados do problema.

Passo 1

Vamos definir nosso eixo de coordenadas apontando pra baixo, na direção do vetor peso:

A nossa origem ficará no teto. A força elástica será dada por:

F e l → = - k d i ^

Onde d é o deslocamento e i o vetor unitário que aponta na direção de x Como o comprimento natural é L 0 , temos que:

d = x - L 0

Show! Então a força elástica vai ser:

F e l → = - k d i = - k x - L 0 i

E temos também a força peso, né? É de se esperar que ela seja positiva, pois aponta na direção de crescimento do x :

P → = m g i

Vamos calcular agora a força resultante usando a segunda lei de Newton:

m a = - k x - L 0 + m g

A aceleração, no caso, é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:

a = x ¨

Então:

m x ¨ = - k x - L 0 + m g   → x ¨ + k m x - L 0 = g

(:

Passo 2

b)

Bom, primeiro, qual é posição de equilíbrio galera?

Vamos definir L 1 como:

k L 1 = m g → L 1 = m g k

Ou seja, o comprimento que gera uma força elástica que equilibra o peso. Agora, vamos definir novas coordenadas x ' :

x ' = x - L 1

Então, reescrevendo a equação diferencial que a gente encontrou (Trocando só x por x ' ):

x ' ¨ + k m x ' - L 0 = g

Substituindo o valor de x ' :

Primero: A derivada de x ' elimina constante L 1 :

x ' = x - L 1 → x ' ¨ = x ¨

Logo:

x ¨ + k m x - L 0 - L 1 = g

Passo 3

c):

Vamos calcular a solução para x . Como o sistema é forçado, a solução será composta por uma solução homogênea e uma particular. A solução homogênea será do tipo:

x h ( t ) = A c o s ω t + φ

E a solução particular?

Bom, a solução particular vai ser do tipo:

x ' p t = C

Onde C é uma constante. Isso seve ao fato de que a força externa é constante. Então, substituindo na expressão:

k m C - L 0 = g   → C = m g k + L 0 = x p t

Logo, a solução geral vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t = A c o s ω t + φ + m g k + L 0

As condições iniciais são:

x 0 = L 0

x ˙ 0 = 0

Lembrando-se que a mola parte do repouso, por isso x ˙ 0 = 0 .Então:

x 0 = A c o s δ + L 0 + m g k = L 0

A c o s δ = - m g k

Passo 4

Calculando a derivada da solução a aplicando em t = 0 :

x ˙ t = - A s e n δ = 0

Logo:

δ = n π

Com n = 0 , ∓ 1 , ∓ 2 , …

Vamos escolher n = 0 . Logo:

δ = 0

Então, voltando a expressão que achamos pra A :

A c o s δ = - m g k

A c o s 0 = - m g k

A = - m g k

Então, finalmente, a solução será:

x t = - m g k cos ⁡ k m t + L 0 + m g k

Resposta

a):

x ¨ + k m x - L 0 = g

b):

x ¨ + k m x - L 0 - L 1 = g

c):

x t = - m g k cos ⁡ k m t + L 0 + m g k

Exercício Resolvido #2

No sistema bloco-massa da figura, o bloco possui uma massa de 2,0   k g e a mola possui massa desprezível. O sistema está sobre uma superfície sem atrito que faz um ângulo de 30 ° com a horizontal.

  1. Sabendo que quando o sistema está em equilíbrio estático a mola sofre uma elongação de 5   c m , calcule a constante k da mola.
  2. Em seguida, a mola é puxada mais 4   c m e depois solta em t = 0 . Encontre a frequência angular ω e o período T .
  3. Determine a equação de movimento, a velocidade e a aceleração.

Se necessário use g = 10   m / s 2 e π = 3 .

Passo 1

a)

Quando o bloco está em equilíbrio, a força da mola equilibra o peso na direção do plano inclinado:

Então:

P s e n θ = k x

k = P s e n θ x = 2.10 s e n 30 5 x 10 - 2 = 10 5 x 10 - 2 = 200 N / m

Passo 2

b)

Ai vem um macete: A frequência angular só depende da constante da mola e da massa do bloco. Logo:

ω 0 = k m = 200 2 = 10 r a d / s

E o período:

ω 0 = 2 π T   → T = 2 π ω 0 = 2.3 10 = 0,6 s

Passo 3

c)

Vamos montar a EDO responsável pelo movimento. As forças que agem sobre o bloco são a força peso, no caso a sua componente na direção do plano, e a força elástica. Logo:

m a = - k x - m g s e n θ

O sinal do peso é negativo devido ao eixo que arbitrado na figura. Logo:

m x ¨ = - k x - m g s e n θ

m x ¨ + k x = - m g s e n θ

x ¨ + k m x = - g s e n θ

Bo resolver isso como a gente aprendeu a resolver uma EDO. Vamos resolver a equação homogênea primeiro:

x ¨ + k m x = 0

E equação relacionada será:

r 2 + k m = 0   → r = ∓ k m i

Como r é complexo, a solução da homogênea será:

x h = A c o s k m t + B s e n k m t

E a solução particular será:

x p = C

Onde C é uma constante. Logo:

C ¨ + C k m = - g s e n θ

C = - m g s e n θ k = - 2.10 . 1 2 200 = - 1 20

Logo:

x = x h + x p = A c o s k m t + B s e n k m t - 1 20

Agora vamos parra as condições de contorno. Vamos considerar como a nossa origem o ponto de equilíbrio do sistema. Então, o deslocamento inicial será x = - 4 . 10 - 2 . Então, para t = 0 :

x 0 = - 4 . 10 - 2 :

- 4 . 10 - 2 = A c o s 0 - 1 20   → A = - 0,04 + 1 20 = 0,01

E como o bloco parte do repouso, v 0 = 0 .   Derivando a expressão acima e substituindo os valores:

x ' = - k m A s e n k m t + k m B c o s ( k m t )

t = 0 :

0 = k m B c o s 0 → B = 0

Logo a solução é:

x = 0,01 cos ⁡ k m t - 1 20 = 0,01 cos ⁡ 10 t - 1 20

Então a velocidade será dada por x ˙ :

x ˙ t = - 0,1 s e n ( 10 t )

E a aceleração será dada por x ¨ :

a = x ¨ t = - cos ⁡ 10 t

Resposta

a)

200 N / m

b)

0,6 s

c)

x t = 0,01 cos ⁡ 10 t - 1 20

v t = x ˙ t = - 0,1 s e n 10 t

a t = x ¨ t = - cos ⁡ 10 t

Exercício Resolvido #3

Um bloco de massa m desliza sem atrito sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30 ° com a horizontal e tem uma mola fixa no final da rampa. O bloco é solto de uma posição inicial tal que a distância entre a ponta livre da mola e a face do bloco é L . Quando o bloco bate na mola, um dispositivo é acionado conectando o bloco na mola. O bloco comprime a mola até um valor máximo igual a L , quando a velocidade instantânea do bloco torna-se zero. Considere um eixo x ao longo do plano inclinado no sentido descendente e com sua origem na posição da ponta livre da mola quando ela não está deformada. Determine, em função dos parâmetros fornecidos e da aceleração da gravidade g no local:

  1. A frequência angular do movimento harmônico simples que o bloco executa após conectar-se à mola.
  2. A posição x 0 na qual a velocidade do bloco é máxima.
  3. A posição x m a x mais alta que o bloco alcança após conectar-se à mola.

Passo 1

Vamos, primeiramente, escrever a equação diferencial associada ao bloco:

Bom, quais são as forças que atuam sobre o bloco?

As forças que atuam sobre o bloco são a força peso e a força elástica.

Então, pela segunda lei de Newton:

m a → = P → + F e l →  

No entanto, como estamos lidando com um plano inclinado, a força peso terá apenas uma componente (lembra disso em mecânica?(: ):

P → = P = m g s e n θ

E a força elástica é:

F e l → = - k x

Logo, agora se importando apenas com os módulos:

m a = - k x + m g s e n θ

Sendo a = x ¨ :

m x ¨ = - k x + m g s e n θ

m x ¨ + k x = m g s e n θ

x ¨ + k m x = g s e n θ

θ = 30 °

x ¨ + k m x = g 2

Passo 2

a)

Aqui a questão pede a frequência angular. A gente sabe que a frequência angular aparece, elevado ao quadrado, na nossa EDO como o termo que acompanha o x :

x ¨ + ω 0 2 x = 0

Logo:

ω 0 2 = k m → ω 0 = k m

Só que a gente não sabe quem é k ! Não foi dado no problema. HUUM, vamos ter que pensar um pouco aqui.

Bem, o enunciado diz que o bloco estava afastado por uma distância L da origem estabelecida na figura, e que, depois que ele toca na mola, o mesmo ainda se afasta L na direção negativa de x .

Por isso a gente pode montar a figura:

O valor do cateto do triangulo é esse graças ao valor de θ = 30 . Logo, sabemos que o o bloco saiu de uma H = L 2 + L 2 = L para uma altura zero. Então vamos aplicar a conservação da energia:

No início havia apenas energia potencial gravitacional, e no fim passou a ter apenas energia potencial elástica, ou seja:

m g L = k L 2 2

k = 2 m g L

Logo:

ω 0 = 2 g L

Passo 3

b)

Bem, após a conexão com a mola, o bloco vai passar a oscilar em torno do ponto 0 determinado pela figura da questão com uma amplitude A .

Quando o bloco atinge os seus extremos de oscilação, A   ou - A , a sua velocidade é zero, pelo que sabemos do estudo dos MHS, logo, nesses pontos, a energia é toda potencial elástica.

E quando ele passa pelo ponto 0 , como não há deslocamento x , a sua velocidade é máxima, pois nesse caso a energia é toda cinética.

Logo, o ponto para o qual a velocidade é máxima é o ponto x 0 = 0 .

Passo 4

c)

Aqui a gente pode fazer de uma forma muito simples, usando de novo a conservação da energia. Quando o bloco está na posição mais baixa, com a altura vertical 0 , a sua energia é toda elástica. Como a energia se conserva, quando ele estiver na altura máxima, a mesma valerá:

h m á x = L s e n 30 + x s e n 30 = L 2 + x 2

Onde x vai ser o valor da elongação. Logo, a energia no segundo instante será a soma da energia potencial gravitacional mais a energia potencial da mola. Por conservação da energia mecânica:

k L 2 2 = m g h + k x 2 2

k L 2 2 = m g 2 L + x + k x 2 2

k L 2 = m g L + m g x + k x 2

k x 2 + m g x + m g L - k L 2 = 0

x 2 + m g k x + L k m g - k L = 0

Resolvendo a equação em x e lembrando do valor de k :

x = L 4 - 1 + 10

Logo, a altura máxima é:

h m á x = L 1 2 + 1 2 . 1 4 - 1 + 10 = L 3 8 + 10 8

Resposta

a)

ω 0 = 2 g L

b)

x 0 = 0

c)

L 3 8 + 10 8

Exercício Resolvido #4

Um objeto de 2   k g preso a uma mola, oscila sem atrito sujeito a uma força F = 3 s e n ( 2 π t ) , conhecendo a constante elástica da mola, k = 20   N / m , obtenha o período e a amplitude do movimento.

  1. T = 1   s ,   A = 3 8 2 π 2 -   10 - 1   m
  2. T = 1   s ,   A = 3 4 2 π 2 -   5 - 1   m
  3. T = 2   s ,   A = 3 4 2 π 2 -   10 - 1   m
  4. T = 1   s ,   A = 3 4 2 π 2 -   10 - 1   m
  5. T = 2   s ,   A = 3 4 2 π 2 -   5 - 1   m

Passo 1

Sendo o sistema um sistema não amortecido, a tendência é que ele passe a oscilar, com o tempo, com a mesma frequência de oscilação da força que está sendo aplicada. A força é:

F = 3 s e n 2 π t = 3 s e n ( ω t )

Ou seja:

ω = 2 π

Dai podemos tirar que o período será:

T = 2 π ω = 2 π 2 π = 1 s

Passo 2

A amplitude do sistema segue a fórmula:

A = - F 0 m ω 0 2 - ω 2

Precisamos calcular ali o valor de ω 0 2 :

ω 0 = k m = 20 2 = 10

E F 0 vem da fórmula da força oscilante, sendo que no caso vale 3 . Logo:

A = - 3 2 1 10 - 4 π 2 = 3 4 2 π 2 - 5

Resposta

b)

Exercício Resolvido #5

Considere duas molas, a mola 1 tem frequência natural ω 0 , enquanto a mola 2 tem frequência natural 100 ω 0 . Ambas estão sob a ação de uma mesma força externa periódica que oscila com frequência 95 ω 0 . A respeito da solução particular de ambas, podemos afirmar que:

  1. Ambas oscilam em fase com a mesma frequência e mesma amplitude.
  2. As molas oscilam defasadas mas com mesma frequência e mesma amplitude.
  3. As molas oscilam em fase com mesma frequência e 2 apresenta uma amplitude maior que 1
  4. A mola 2 oscila com maior amplitude e frequência que 1. Elas podem estar ou não em fase, dependendo das condições iniciais.
  5. As molas oscilam fora de fase com mesma frequência e 2 apresenta uma amplitude maior do que 1.

Passo 1

Quando ele fala da solução particular, está falando da solução que tem a ver com a força externa periódica, ou seja, com a solução estacionária.

Afinal de contas, a EDO de uma mola que sofre a ação de uma força externa é assim:

x ¨ + ω 0 2 x = F 0 m c o s ⁡ ( ω t + φ )

E a solução é composta de uma solução geral e uma particular:

x t = x h t + x p t

Então, você vai precisar usar também a equação:

A = F m m ω 0 2 - ω 2

Isso porque a questão não fala nada sobre amortecimento.

Passo 2

Bom, a gente não tá interessado na solução homogênea, apenas na solução particular.

A solução particular depende da força externa e oscila com a mesma frequência que essa. Então, a frequência de oscilação da solução particular, pras duas ondas, é:

95 ω 0

Bom, mas a amplitude vai depende daquela equação que vimos certo? Assim:

Pra onda 1:

A 1 = F m m ω 0 2 - 95 ω 0 2 = F m 9024 ω 0 2

Pra onda 2:

A 2 = F m m 100 ω 0 2 - 95 ω 0 2 = F m 975 ω 0 2

Logo:

A 2 > A 1

E a resposta é :

e)

Resposta

e)

Exercício Resolvido #6

Considere um trator atravessando um campo onde existem ondulações em intervalos regulares. A distância entre cada monte é 5 m . Existe uma suspensão de mola ligada ao assento do motorista e este oscila em um regime no qual o amortecimento é desprezível. Podemos assumir uma mola de constante de mola 17280 N / m , a massa do assento é 50 k g e a do motorista é 70 k g . O trator trafega a 27 k m / h . Considere π ≈ 3 .

  1. Qual a frequência f   com que o trator passa em cada elevação?
  2. Qual a frequência de oscilação natural f 0 do sistema assento-passageiro-mola?
  3. Se considerar que, durante o trajeto, a força máxima aplicada pelo trator sobre o sistema cadeira-motorista é de 756 N , qual a amplitude máxima do movimento de oscilação do motorista?(assuma que a força é harmônica).
  4. Para ocorrer o fenômeno de ressonância entre a força aplicada ao trator pelas ondulações e as oscilações sobre o sistema cadeira-passageiro, qual velocidade o trator deve atingir?(resposta em m / s ) .

Passo 1

a)

A questão quer saber qual a frequência com que o trator passa em cada elevação. Bom, nós temos uma velocidade e uma variação de espaço ∆ x = 5 m , basta a gente descobrir ∆ t , que vai ser igual ao período de tempo que o trator leva de um buraco ao outro. A frequência será o inverso desse tempo.

v = ∆ x T   → T = ∆ x v

Convertendo a velocidade pra m / s (basta dividir por 3,6 ) :

v = 7,5 m / s

Logo:

T = 5 7,5

Só que f = 1 T :

f = 7,5 5 = 1,5   H z

Passo 2

b)

A frequência natural pode ser encontrada a partir da frequência angular natural. Essa é dada por:

ω 0 = k m = 17280 120

Só que:

ω 0 = 2 π f 0 → f 0 = 1 2 π . ω 0 = 1 2 π . 144 = 6 π H z

E :

ω 0 = 144 = 12 r a d / s

Passo 3

c)

Bom, como você deve ter percebido, a questão se trata de um sistema forçado não amortecido. O sistema natural é amola com o motorista e a força externa é exercida pelo trator, sendo que essa tem uma frequência f = 1,5 H z .

O módulo da amplitude máxima do sistema forçado é:

‖ A ‖ = F 0 m ω 0 2 - ω 2

Calculando ω :

ω = 2 π f = 2 . π . 1,5 = 3 π

Usando π = 3 :

ω = 9

Logo:

A = 756 120 144 - 81 = 0,1 m = 10 c m

Passo 4

d)

Pra haver ressonância vamos ter que ter: ω = ω 0 . Como ω = 2 π T e T = ∆ x v :

ω = 2 π v ∆ x

E sabendo que ω 0 = 12 r a d / s :

12 = 2 π v ∆ x → v = 6 ∆ x π = 30 π = 30 3 = 10 m / s

Resposta

a)

f = 1,5   H z

b)

f 0 = 6 π H z

ω 0 = 12 r a d / s

c)

0,1 m = 10 c m

d)

10 m / s

Exercício Resolvido #7

Um microscópio de força magnética usa a alta sensibilidade de uma haste micrométrica a variações de força para medir o gradiente de força magnética em uma região.

O movimento de oscilação da extremidade da haste se dá na direção O Z perpendicular a haste, como ilustra a figura, e tem uma frequência angular própria ω 0 . Para simplificar a questão, consideraremos a equação do movimento da extremidade da haste, sem força externa, da seguinte forma: z ¨ + ω 0 2 z = 0 . Um mecanismo permite excitar a haste com uma força de amplitude F → = F 0 cos ⁡ ω t z ^ . A frequência angular ω é um pouco inferior a frequência angular própria da haste.

  1. Escreva a equação diferencial de movimento do oscilador harmônico forçado. Considere que m é a massa efetiva haste (massa em movimento durante as oscilações).
  2. Escreva a solução da equação homogênea, a solução particular da equação inomogênea e a solução geral da equação inomogênea.
  3. Suponha A PARTIR DE AGORA que uma força externa ADICIONAL atua sobre a haste. Como varia a frequência de ressonância se esta força adicional for tipo H → = h z z ^   h > 0 ?
  4. Para uma excitação a uma frequência angular ω inferior a ω 0 , como varia (qualitativamente) a amplitude com a presença da força H → ?

Passo 1

a)

A equação vai ser semelhante aquela do oscilador sem a força externa. A forma geral da equação é, com uma força externa f t ,

m x ¨ + c x ˙ + k x = f t

Aquela da equação está com a segunda derivada sem a massa para isso vamos dividir essa equação pela massa.

x ¨ + c m x ˙ + k m x = f t m

Nessa questão, não temos amortecimento, assim, a equação não vai ter o termo c x ˙ . Na do enunciado, o lado esquerdo já foi dado, o lado direito vai ser a força externa divida pela massa

z ¨ + ω 0 2 z = F m = F 0 m cos ⁡ ω t

O vetor z ^ só indica que é no eixo   z .

Passo 2

b)

Para a solução da equação homogênea devemos fazer como fazemos para o MHS. A equação auxiliar que fica

r 2 + ω 0 2 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau vamos achar

r = ± ω 0 i

Desse jeito temos um amortecimento subcrítico com

α = 0

β = ω 0

achando a seguinte solução da equação homogênea

z h t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 sen ⁡ β t

z h t = e 0 t c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t

z h t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t

Passo 3

Lembra de cálculo? Quando temos uma função seno ou cosseno do lado direito da equação inomogênea, considerando ω ≠ ω 0 solução da particular fica

z p t = A 1 cos ⁡ ω t + A 2 sen ⁡ ω t

A primeira e segunda derivada, em relação ao tempo, ficam

z ˙ p t = - A 1 ω sen ⁡ ω t + A 2 ω cos ⁡ ω t

z ¨ p t = - A 1 ω 2 cos ⁡ ω t - A 2 ω 2 sen ⁡ ω t

Substituindo na equação inomogênea vamos ter

z ¨ + ω 0 2 z = F 0 m cos ⁡ ω t

- A 1 ω 2 cos ⁡ ω t - A 2 ω 2 sen ⁡ ω t + ω 0 2 A 1 cos ⁡ ω t + A 2 sen ⁡ ω t = F 0 m cos ⁡ ω t

ω 0 2 A 1 - ω 2 A 1 cos ⁡ ω t + ω 0 2 A 2 - ω 2 A 2 sen ⁡ ω t = F 0 m cos ⁡ ω t

O coeficiente do cosseno e do seno devem ser iguais nos dois lados da equação, resultando no sistema

ω 0 2 A 1 - ω 2 A 1 = F 0 m ω 0 2 A 2 - ω 2 A 2 = 0

Da primeira equação vamos ter

A 1 = F 0 m ω 0 2 - ω 2

e da segunda equação teremos

A 2 = 0

Então a solução da particular fica

z p t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

Passo 4

A solução geral da equação fica

z t = z h t + z p t

z t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t + F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

Passo 5

c)

Agora a força externa passa a ser F → + H →

z ¨ + ω 0 2 z = F + H m = F 0 m cos ⁡ ω t + h m z

z ¨ + ω 0 2 - h m z = F 0 m cos ⁡ ω t

Essa equação é parecida, mas a frequência de ressonância vai ser

ω n = ω 0 2 - h m

Na teoria vimos que basta dividir o que multiplica por z pela massa e colocar dentro da raiz, mas nessa forma a divisão pela massa já foi feita, então só precisamos colocar na raiz.

Como h é positivo a frequência vai diminuir, já que pela mesma lógica a frequência de ressonância inicial é ω 0

Passo 6

d)

A frequência da força é levemente menor que a frequência de ressonância. Colocando a força H → a frequência de ressonância diminui, o que faz a frequência da força externa se aproximar da ressonância, fazendo assim amplitude aumentar

Resposta

  1. z ¨ + ω 0 2 z = F m = F 0 m cos ⁡ ω t
  2. z h t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t
  3. z p t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

    z t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t + F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

  4. Diminui
  5. Aumenta

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