Oscilações Forçadas

Teoria Completa

O que são oscilações forçadas?

Já vimos que pode existir uma força de amortecimento que “atrapalha” a oscilação. E se surgir, agora, uma força externa que também afete a oscilação, como a força peso?

Como assim? Veja a figura abaixo:

Chamamos isso de oscilação forçada.

Nesse caso, uma oscilação forçada com uma força que é constante no tempo.

Matematicamente falando, antes estávamos lidando com EDOs Homogêneas. Agora, não mais. Então, a solução geral agora será dada pela soma de uma solução homogênea com uma solução particular:

x t = x h t + x p ( t )

Bora aprender a resolver isso.

Quando a força externa for constante

Vamos usar como exemplo de força constante a força peso, já comentada. Aliás, as chances de você encontrar uma questão envolvendo uma oscilação influenciada pela força peso são grandes.

Usando a segunda Lei de Newton aplicada ao exemplo lá de cima , vamos obter:

m a = F R

m a = - k x + m g

m a + k x = m g

Ahh, mas lembra aí que podemos chamar a aceleração a de x ¨ . E dividindo tudo por m, temos:

x ¨ + k m x = g

Definimos ω 2 = k / m :

x ¨ + ω 2 x = g

Obs: Veja que o sentido do peso nesse caso é positivo pois eu adotei o sentido positivo de x para baixo.

Beleza, chegamos a equação diferencial. Agora, como foi dito, a solução vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t

Para achar a solução homogênea, basta ignorarmos tudo que não é o x(t) ou suas derivadas. Então, x h ( t ) é a solução da equação homogênea:

x ¨ + ω 2 x = 0

Que é uma equação simples de um MHS. Nós já vimos que essa solução é do tipo:

x h t = A c o s ω t + B s e n ω t

E agora, como achar a solução particular?

Bom, você deve lembrar de EDO que a gente “chuta” um valor pra solução particular que seja matematicamente parecido com a parte não-homogênea da equação e depois substitui na equação diferencial.

Nesse caso, como a parte não homogênea é uma constante ( g ), então vamos chutar um valor constante também. Bem assim:

x p t = C

Substituindo na EDO:

x p ¨ + ω 2 x p = g

0 + ω 2 C = g

Percebeu que a apareceu um zero ali porque a segunda derivada de uma constante é zero, né?

Lembrando que: ω 2 = k / m :

C k m = g

C = m g k = x p t

Então, no final:

x t = x h t + x p t

x t = A c o s ω t + B s e n ω t + m g k

Show? Ah, e se nesse caso tivesse um amortecimento?

Seria muito parecido, e solução particular seria a mesma. Por quê? Bom, porque as derivadas zerariam na EDO pelo mesmo motivo que antes:

x P ¨ + γ x P ˙ + ω 2 x P = 0

0 + γ 0 + k m C = g → C = m g k

O que mudaria seria a equação da parte homogênea, que depende do tipo de amortecimento, como vimos no capítulo de MHA.

E se a força for oscilatória?

Olhe a figura: Agora temos uma força externa que não é constante e que varia no tempo como uma força oscilatória:

F e x t = F 0 cos ⁡ Ω t

Por exemplo, quando você está empurrando um balanço para um amigo que está sentado.

Como vamos resolver isso? Simples, vamos partir da segunda Lei de Newton novamente.

Equacionando

Usamos a segunda lei de Newton para buscarmos uma solução, lembrando que nesse caso, não possuímos amortecimento:

m a = - k x + F 0 cos ⁡ Ω t

Substituindo a = x ¨ e dividindo tudo por m:

x ¨ + k m x = F 0 m cos ⁡ Ω t

Fazendo ω 2 = k / m .

Repare que ω é a frequência natural de oscilação da mola (um valor constante), mas Ω é a frequência angular da oscilação externa (de valor variável). Não confunda as duas!!

x ¨ + ω 2 x = F 0 m cos ⁡ Ω t

Se liga, é um erro muito comum você chegar numa equação do tipo:

x ¨ + ω 2 x = F 0 cos ⁡ Ω t

Mas isso está errado, pois no desenvolvimento da EDO a gente dividiu tudo pela massa. Preste atenção nisso!

Enfim, como vimos, a solução vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t

A solução homogênea é a solução de um MHS, mas a solução particular a gente vai precisar chutar, usando os métodos de EDOs.

Como a parte não homogênea é um cosseno, é de se esperar que a solução particular seja do tipo:

x p t = C   c o s ( Ω t )

Vamos descobrir esse C :

Assim:

x ˙ p t = - Ω C   s e n ( Ω t )

x ¨ p t = - Ω 2 C   c o s Ω t

Assim, na EDO:

- Ω 2 C cos ⁡ ( Ω t ) + ω 2 C cos ⁡ Ω t = F 0 m cos ⁡ ( Ω t )

Cortando os cossenos:

ω 2 - Ω 2 C = F 0 m

C = F 0 m ( ω 2 - Ω 2 )

Então a solução particular vai ser:

x p t = F 0 m ω 2 - Ω 2 cos ⁡ Ω t

A massa oscila com a frequência da força externa, sem diferença de fase. Se força empurra o balanço, ele vai pra frente, se você puxa, ele vai pra trás, como esperado.

Juntando tudo:

Ressonância

Repare na amplitude da solução particular que acabamos de achar.

x p t = A Ω cos ⁡ Ω t

A Ω = F 0 m ω 2 - Ω 2

A amplitude do movimento depende da frequência da oscilação externa ( Ω ).

No caso do balanço, se você fica empurrando o balanço muito rápido (alta frequência) ou muito devagar (baixa frequência), a amplitude de oscilação vai ser baixa: seu amigo não se diverte.

lim Ω → ± ∞ ⁡ A ( Ω ) = 0

Mas o que acontece quando a frequência externa fica igualzinha a frequência natural do sistema?

Quando Ω = ω , o denominador vai a zero!

lim Ω → ω ⁡ A ( Ω ) = lim Ω → ω ⁡ F 0 m ω 2 - Ω 2 = + ∞

A amplitude de oscilação vai ficando maior e maior até o infinito, como na figura abaixo. Chamamos esse fenômeno de RESSONÂNCIA!

O máximo de amplitude só acontece quando o sistema entra em ressonância, isso é, quando Ω = ω ! Na ausência de amortecimento, a ressonância gera amplitudes infinitas!

Ou seja, se você quiser que seu amigo se divirta no balanço, você tem que empurrar com uma frequência próxima à frequência natural de oscilação do sistema para que ele tenha uma amplitude significativa. Mas cuidado, porque se não tiver atrito nenhum seu amigo vai sair voando para o infinito e além!

Agora é SUPER importante que você reforce todos os conceitos com os exercícios. Tanto os teóricos quanto os de conta, eles são essenciais para que você internalize os conhecimentos. BORA LÁ!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P2-2014.2-Discursiva 1

Considere um corpo de massa m 1 , preso a uma mola ( de constante elástica k e comprimento relaxado L 0 ) cuja outra extremidade presa está presa ao teto. Considere que pode oscilar, sem resistência, na vertical sob a ação de um campo gravitacional g . O corpo é solto, inicialmente em repouso, da posição em que a mola encontra-se relaxada.

  1. DEDUZA a equação diferencial de movimento. Especifique CLARAMENTE o eixo e a origem de seu sistema de coordenadas.
  2. Mostre que a equação diferencial de movimento pode ser escrita como a equação do oscilador harmônico simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta posição.
  3. Escreva a solução completa x = x ( t ) que descreve o movimento, em função dos dados do problema.
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Passo 1

Vamos definir nosso eixo de coordenadas apontando pra baixo, na direção do vetor peso:

A nossa origem ficará no teto. A força elástica será dada por:

F e l → = - k d i ^

Onde d é o deslocamento e i o vetor unitário que aponta na direção de x Como o comprimento natural é L 0 , temos que:

d = x - L 0

Show! Então a força elástica vai ser:

F e l → = - k d i = - k x - L 0 i

E temos também a força peso, né? É de se esperar que ela seja positiva, pois aponta na direção de crescimento do x :

P → = m g i

Vamos calcular agora a força resultante usando a segunda lei de Newton:

m a = - k x - L 0 + m g

A aceleração, no caso, é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:

a = x ¨

Então:

m x ¨ = - k x - L 0 + m g   → x ¨ + k m x - L 0 = g

(:

Passo 2

b)

Bom, primeiro, qual é posição de equilíbrio galera?

Vamos definir L 1 como:

k L 1 = m g → L 1 = m g k

Ou seja, o comprimento que gera uma força elástica que equilibra o peso. Agora, vamos definir novas coordenadas x ' :

x ' = x - L 1

Então, reescrevendo a equação diferencial que a gente encontrou (Trocando só x por x ' ):

x ' ¨ + k m x ' - L 0 = g

Substituindo o valor de x ' :

Primero: A derivada de x ' elimina constante L 1 :

x ' = x - L 1 → x ' ¨ = x ¨

Logo:

x ¨ + k m x - L 0 - L 1 = g

Passo 3

c):

Vamos calcular a solução para x . Como o sistema é forçado, a solução será composta por uma solução homogênea e uma particular. A solução homogênea será do tipo:

x h ( t ) = A c o s ω t + φ

E a solução particular?

Bom, a solução particular vai ser do tipo:

x ' p t = C

Onde C é uma constante. Isso seve ao fato de que a força externa é constante. Então, substituindo na expressão:

k m C - L 0 = g   → C = m g k + L 0 = x p t

Logo, a solução geral vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t = A c o s ω t + φ + m g k + L 0

As condições iniciais são:

x 0 = L 0

x ˙ 0 = 0

Lembrando-se que a mola parte do repouso, por isso x ˙ 0 = 0 .Então:

x 0 = A c o s δ + L 0 + m g k = L 0

A c o s δ = - m g k

Passo 4

Calculando a derivada da solução a aplicando em t = 0 :

x ˙ t = - A s e n δ = 0

Logo:

δ = n π

Com n = 0 , ∓ 1 , ∓ 2 , …

Vamos escolher n = 0 . Logo:

δ = 0

Então, voltando a expressão que achamos pra A :

A c o s δ = - m g k

A c o s 0 = - m g k

A = - m g k

Então, finalmente, a solução será:

x t = - m g k cos ⁡ k m t + L 0 + m g k

Resposta

a):

x ¨ + k m x - L 0 = g

b):

x ¨ + k m x - L 0 - L 1 = g

c):

x t = - m g k cos ⁡ k m t + L 0 + m g k

Exercício Resolvido #2

UNICAMP-Questão 1 - P2.2012 (Noturno)

No sistema bloco-massa da figura, o bloco possui uma massa de 2,0   k g e a mola possui massa desprezível. O sistema está sobre uma superfície sem atrito que faz um ângulo de 30 ° com a horizontal.

  1. Sabendo que quando o sistema está em equilíbrio estático a mola sofre uma elongação de 5   c m , calcule a constante k da mola.
  2. Em seguida, a mola é puxada mais 4   c m e depois solta em t = 0 . Encontre a frequência angular ω e o período T .
  3. Determine a equação de movimento, a velocidade e a aceleração.

Se necessário use g = 10   m / s 2 e π = 3 .

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Passo 1

a)

Quando o bloco está em equilíbrio, a força da mola equilibra o peso na direção do plano inclinado:

Então:

P s e n θ = k x

k = P s e n θ x = 2.10 s e n 30 5 x 10 - 2 = 10 5 x 10 - 2 = 200 N / m

Passo 2

b)

Ai vem um macete: A frequência angular só depende da constante da mola e da massa do bloco. Logo:

ω 0 = k m = 200 2 = 10 r a d / s

E o período:

ω 0 = 2 π T   → T = 2 π ω 0 = 2.3 10 = 0,6 s

Passo 3

c)

Vamos montar a EDO responsável pelo movimento. As forças que agem sobre o bloco são a força peso, no caso a sua componente na direção do plano, e a força elástica. Logo:

m a = - k x - m g s e n θ

O sinal do peso é negativo devido ao eixo que arbitrado na figura. Logo:

m x ¨ = - k x - m g s e n θ

m x ¨ + k x = - m g s e n θ

x ¨ + k m x = - g s e n θ

Bo resolver isso como a gente aprendeu a resolver uma EDO. Vamos resolver a equação homogênea primeiro:

x ¨ + k m x = 0

E equação relacionada será:

r 2 + k m = 0   → r = ∓ k m i

Como r é complexo, a solução da homogênea será:

x h = A c o s k m t + B s e n k m t

E a solução particular será:

x p = C

Onde C é uma constante. Logo:

C ¨ + C k m = - g s e n θ

C = - m g s e n θ k = - 2.10 . 1 2 200 = - 1 20

Logo:

x = x h + x p = A c o s k m t + B s e n k m t - 1 20

Agora vamos parra as condições de contorno. Vamos considerar como a nossa origem o ponto de equilíbrio do sistema. Então, o deslocamento inicial será x = - 4 . 10 - 2 . Então, para t = 0 :

x 0 = - 4 . 10 - 2 :

- 4 . 10 - 2 = A c o s 0 - 1 20   → A = - 0,04 + 1 20 = 0,01

E como o bloco parte do repouso, v 0 = 0 .   Derivando a expressão acima e substituindo os valores:

x ' = - k m A s e n k m t + k m B c o s ( k m t )

t = 0 :

0 = k m B c o s 0 → B = 0

Logo a solução é:

x = 0,01 cos ⁡ k m t - 1 20 = 0,01 cos ⁡ 10 t - 1 20

Então a velocidade será dada por x ˙ :

x ˙ t = - 0,1 s e n ( 10 t )

E a aceleração será dada por x ¨ :

a = x ¨ t = - cos ⁡ 10 t

Resposta

a)

200 N / m

b)

0,6 s

c)

x t = 0,01 cos ⁡ 10 t - 1 20

v t = x ˙ t = - 0,1 s e n 10 t

a t = x ¨ t = - cos ⁡ 10 t

Exercício Resolvido #3

UNICAMP-Questão 1 - P2.2012

Um bloco de massa m desliza sem atrito sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30 ° com a horizontal e tem uma mola fixa no final da rampa. O bloco é solto de uma posição inicial tal que a distância entre a ponta livre da mola e a face do bloco é L . Quando o bloco bate na mola, um dispositivo é acionado conectando o bloco na mola. O bloco comprime a mola até um valor máximo igual a L , quando a velocidade instantânea do bloco torna-se zero. Considere um eixo x ao longo do plano inclinado no sentido descendente e com sua origem na posição da ponta livre da mola quando ela não está deformada. Determine, em função dos parâmetros fornecidos e da aceleração da gravidade g no local:

  1. A frequência angular do movimento harmônico simples que o bloco executa após conectar-se à mola.
  2. A posição x 0 na qual a velocidade do bloco é máxima.
  3. A posição x m a x mais alta que o bloco alcança após conectar-se à mola.
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Passo 1

Vamos, primeiramente, escrever a equação diferencial associada ao bloco:

Bom, quais são as forças que atuam sobre o bloco?

As forças que atuam sobre o bloco são a força peso e a força elástica.

Então, pela segunda lei de Newton:

m a → = P → + F e l →  

No entanto, como estamos lidando com um plano inclinado, a força peso terá apenas uma componente (lembra disso em mecânica?(: ):

P → = P = m g s e n θ

E a força elástica é:

F e l → = - k x

Logo, agora se importando apenas com os módulos:

m a = - k x + m g s e n θ

Sendo a = x ¨ :

m x ¨ = - k x + m g s e n θ

m x ¨ + k x = m g s e n θ

x ¨ + k m x = g s e n θ

θ = 30 °

x ¨ + k m x = g 2

Passo 2

a)

Aqui a questão pede a frequência angular. A gente sabe que a frequência angular aparece, elevado ao quadrado, na nossa EDO como o termo que acompanha o x :

x ¨ + ω 0 2 x = 0

Logo:

ω 0 2 = k m → ω 0 = k m

Só que a gente não sabe quem é k ! Não foi dado no problema. HUUM, vamos ter que pensar um pouco aqui.

Bem, o enunciado diz que o bloco estava afastado por uma distância L da origem estabelecida na figura, e que, depois que ele toca na mola, o mesmo ainda se afasta L na direção negativa de x .

Por isso a gente pode montar a figura:

O valor do cateto do triangulo é esse graças ao valor de θ = 30 . Logo, sabemos que o o bloco saiu de uma H = L 2 + L 2 = L para uma altura zero. Então vamos aplicar a conservação da energia:

No início havia apenas energia potencial gravitacional, e no fim passou a ter apenas energia potencial elástica, ou seja:

m g L = k L 2 2

k = 2 m g L

Logo:

ω 0 = 2 g L

Passo 3

b)

Bem, após a conexão com a mola, o bloco vai passar a oscilar em torno do ponto 0 determinado pela figura da questão com uma amplitude A .

Quando o bloco atinge os seus extremos de oscilação, A   ou - A , a sua velocidade é zero, pelo que sabemos do estudo dos MHS, logo, nesses pontos, a energia é toda potencial elástica.

E quando ele passa pelo ponto 0 , como não há deslocamento x , a sua velocidade é máxima, pois nesse caso a energia é toda cinética.

Logo, o ponto para o qual a velocidade é máxima é o ponto x 0 = 0 .

Passo 4

c)

Aqui a gente pode fazer de uma forma muito simples, usando de novo a conservação da energia. Quando o bloco está na posição mais baixa, com a altura vertical 0 , a sua energia é toda elástica. Como a energia se conserva, quando ele estiver na altura máxima, a mesma valerá:

h m á x = L s e n 30 + x s e n 30 = L 2 + x 2

Onde x vai ser o valor da elongação. Logo, a energia no segundo instante será a soma da energia potencial gravitacional mais a energia potencial da mola. Por conservação da energia mecânica:

k L 2 2 = m g h + k x 2 2

k L 2 2 = m g 2 L + x + k x 2 2

k L 2 = m g L + m g x + k x 2

k x 2 + m g x + m g L - k L 2 = 0

x 2 + m g k x + L k m g - k L = 0

Resolvendo a equação em x e lembrando do valor de k :

x = L 4 - 1 + 10

Logo, a altura máxima é:

h m á x = L 1 2 + 1 2 . 1 4 - 1 + 10 = L 3 8 + 10 8

Resposta

a)

ω 0 = 2 g L

b)</