Regime Transitório, Permanente e Ressonância

Teoria Completa

Vamos ver agora o que acontece quando além da força externa oscilatória ainda temos atrito!

Observe o sistema abaixo:

Existe uma força F , externa, afetando o movimento, e um sistema que fornece atrito.

Então como ficaria a equação do movimento nesse caso?

Vamos, novamente, usar a segunda Lei de Newton. Antes disso, calculamos a força resultante:

F R = F - F e l - F a t

onde:

F e l = k x

F a t = c x ˙

F = F 0   c o s ⁡ ( Ω t )

Então:

F R = - k x - c x ˙ + F o   c o s ⁡ ( Ω t )

Segunda Lei de Newton:

F R = m a

⇒ - k x - c x ˙ + F 0   c o s ⁡ ( Ω t ) = m x ¨

Logo:

x ¨ + c m x ˙ + k m x = F 0 m   c o s ⁡ ( Ω t )

Fazendo as substituições de sempre, γ = c / m e ω 2 = k / m , temos:

x ¨ + γ x ˙ + ω 2 x = F 0 m c o s ⁡ ( Ω t )

Não confunda ω , a frequência natural da mola (de valor constante k / m ) com Ω , a frequência da força externa, que tem valor variável!!

Show? Até aí tudo bem. No entanto, solucionar essa EDO não é tão simples.

Mas a gente pode tirar uma conclusão rápida: A solução da equação homogênea é uma equação de um MHA (que pode ser crítico, supercrítico ou subcrítico).

Pra se obter a solução particular a gente tem que usar uns métodos bizarros envolvendo números complexos. Porém isso não importa muito, é importante que você saiba que ela será do tipo:

x p t = Ã Ω cos ⁡ Ω t + ϕ Ω

Com:

à 2 Ω = F 0 2 m 2 ω 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

Ã Ω = F 0 m ω 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

ϕ Ω = - a r c t g   γ Ω ω 2 - Ω 2

E como você pode ver, a amplitude oscilação depende da frequência externa.

Eita! E o que isso nos diz? Nos diz que a solução particular é uma função oscilatória que oscila de acordo com a frequência da força externa, porém com uma diferença de fase, ϕ ( Ω ) !

Então, a solução será:

x t = x h * ( t ) +   Ã Ω cos ⁡ Ω t + ϕ Ω

Sendo que x h * é a solução da equação homogênea, que é a solução de um MHA, ou seja, pode ser do tipo crítico, subcrítico ou supercrítico.

Regime Transiente e Regime Permanente

Mas o que será que acontece com esse sistema após um longo tempo de oscilação?

É o seguinte: Lembra que as equações dos MHA sempre tendiam ao zero, após um longo tempo? Ou seja, sistema com amortecimento tendem a parar uma hora. E na nossa solução geral nós temos que o termo x h * ( t ) é a solução de um MHA.

Você pode perceber isso notando que as soluções dos MHA sempre tinham um fator assim:

" e - γ t 2 "

E o limite disso tendendo a infinito dá quanto? Zero! Então, se tendermos a solução geral para um tempo suficientemente grande, um tempo τ que não precisa ser infinito, vamos perceber que:

lim t → τ ⁡ x t = lim t → τ ⁡ x h * ( t ) +   lim t → τ ⁡ Ã Ω cos ⁡ Ω t + ϕ Ω

lim t → τ ⁡ x h * t = 0

lim t → τ ⁡ x t = lim t → τ ⁡ Ã Ω cos ⁡ Ω t + ϕ Ω

x t = Ã Ω cos ⁡ Ω t + ϕ Ω

Pronto! Ou seja: Após um longo tempo, o sistema vai passar a oscilar apenas em função da força externa, de acordo com a equação acima.

Dizemos que o sistema está no regime transiente quando o tempo é menor que τ , e permanente quando for maior que τ . Mas geralmente se diz que o regime permanente acontece após “um longo tempo” ( t → ∞ ).

Olha aí um gráfico que representa bem isso:

Perceba que antes de t = 12 s o movimento era bem irregular. Isso acontece por causa da soma da equação homogênea com a particular. No entanto, após esse tempo, o sistema passa a oscilar com uma amplitude constante, como um MHS.

É importante saber:

  • No regime permanente, o sistema oscila com amplitude constante e dada por A Ω .
  • O regime permanente não depende das condições iniciais ( x 0 ,   x ˙ ( 0 ) ) pois a parte que dependia disso era a solução da equação homogênea, que já “morreu” nesse regime. Logo, tudo que ocorrer no regime permanente também não vai depender das condições iniciais.

Ressonância

Ressonância é quando um movimento harmônico forçado atinge o seu máximo de amplitude. Na ausência de amortecimento, a gente já viu que isso ocorre quando a da força externa oscila com a frequência natural do sistema.

Ω = ω

No MHA, a primeira coisa que você precisa saber é: ela ocorre no regime permanente.

Como vimos à ( Ω ) é dada por:

Ã Ω = F 0 m ω 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

A amplitude máxima pode ser calculada quando

d A ~ ( Ω ) d Ω = 0

Derivando e resolvendo isso aí, teremos que a amplitude máxima será em:

Ω m a x = ω ² - γ 2 2

CUIDADO!! Super comum eles dizerem nas provas que a amplitude máxima é sempre em Ω = ω . Isso não acontece quando a oscilação tem um amortecimento considerável.

Mas se o amortecimento é fraco ( γ ≪ ω ), então podemos aproximar a frequência de ressonância para Ω m a x ≈ ω .

Opa! Olha que interessante: Nesse caso, o limite não dá infinito. Isso quer dizer que quando há amortecimento, a ressonância gera uma amplitude máxima na oscilação, porém finita.

Fator de Qualidade ou de mérito

Um tema que costuma cair é o tal fator de qualidade ou fator de mérito. Ele pode ser definido por:

Q = 2 π E n e r g i a   a r m a z e n a d a   n o   o s c i l a d o r e n e r g i a   d i s s i p a d a   n o   c i c l o

E a relação acima mostra a representação física desse fator. O que podemos tirar disso? Que quanto maior for a dissipação da energia em um ciclo, menor será o fator Q .

É de se esperar, portanto, que Q seja inversamente proporcional ao γ . E é por isso que Q pode ser dado por:

Q = Ω m a x γ = Ω m a x ∆ Ω

E quem é ∆ Ω ? É a chamada largura de banda. Como calcular isso? Bom, quando temos um gráfico A 2   v s   Ω :

Pra calcular a largura de banda vamos ao eixo y em A m á x 2 2 e traçamos uma reta horizontal. A partir do cruzamento dessa reta com o gráfico, descobrimos, rebatendo no eixo x , dois valores de Ω . A diferença desses dois valores nos dá a largura de banda:

Sacou? No caso desse exemplo:

∆ Ω = 5,5 - 4,5 = 1   r a d / s

Observação: As fórmulas acima deduzidas só valem para o caso em que o amortecimento é fraco ( γ ≪ ω ) .

Resumindo

Juntando os conceitos importantes, temos que:

  • Se o sistema for amortecido, vai ter um regime transiente, que é o movimento nos primeiros instantes, e um regime permanente, que vai ser um MHS, tendo uma amplitude fixa e frequência Ω da força aplicada. O regime permanente acontece após um longo tempo;
  • O regime permanente não depende das condições iniciais, ou seja: x 0 e x ˙ 0 ;
  • Amplitude do movimento no regime permanente vai depender de Ω e ω ;
  • Apenas se for pedido, você resolve a EDO não homogênea, do mesmo modo que se faz em Cálculo.

Já sobre ressonância, fique ligado com:

  • Não depende das condições iniciais (pois acontece em regime permanente);
  • Quanto maior a constante de amortecimento c , menor a amplitude de ressonância;
  • Para pequenos amortecimentos ou nenhum amortecimento, a ressonância acontece para Ω ≈ ω ;
  • Para amortecimentos consideráveis, a ressonância acontece quando Ω R = ( ω ² - γ 2 2 )

Se liga então! Entendo que estes conceitos não são simples, mas com um pouco de prática eu tenho certeza que você vai ficar craque. VAMO QUE VAMO!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P2-2013.1-M05

Considere que um sistema massa-mola de frequência natural ω 0 e coeficiente de amortecimento γ esteja submetido a uma força externa periódica de frequência ω . Após um intervalo de tempo suficientemente longo, podemos afirmar que o sistema massa-mola:

  1. Está em repouso definitivo
  2. Oscila com a frequência natural ω 0
  3. Oscila com a frequência da força externa ω
  4. Oscila com uma frequência múltipla inteira de ω
  5. Oscila com uma frequência igual a ω 0 + ω
  6. Executa um movimento caótico
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Passo 1

Temos uma oscilação forçada. Como passou um longo tempo o movimento está no regime permanente. Como visto na teoria, quando ele está nesse regime ele oscila com a frequência da força externa.

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P2-2013.2-M08

Considere um sistema massa-mola sujeito a uma força externa senoidal, com amplitude, frequência e constante de fase fixa. Marque a alternativa que descreve um procedimento para minimizar os efeitos de ressonância.

  1. Aumentar a constante de amortecimento do oscilador
  2. Diminuir a amplitude inicial do oscilador
  3. Garantir que o oscilador esteja inicialmente defasado em relação a força externa
  4. Trocar a mola para que a frequência natural do sistema seja igual à da força externa
  5. Diminui a constante de amortecimento do oscilador
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Passo 1

Para diminuir a amplitude da ressonância devemos aumentar a constante de amortecimento. Minimizar os efeitos da ressonância significa diminuir a amplitude de ressonância que é o que gera problemas.

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #3

UFRJ-PF-2014.2-7

Três osciladores têm freqüências angulares ω 1 < ω 2 < ω 3 < ω , onde ω é a frequência de uma força externa harmônica F t = F 0 cos ⁡ ω t a eles aplicada. Sobre as respectivas amplitudes A 1 ,   A 2 e A 3 , das oscilações no regime estacionário, podemos afirmar que:

  1. A 3 < A 2 < A 1
  2. A 3 > A 2 > A 1
  3. A 1 = A 2 = A 3
  4. A 1 < A 2 e A 3 < A 2
  5. A 1 > A 2 e A 3 > A 2
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Passo 1

Bom, como não falaram nada sobre forças de amortecimento, vamos usar a equação que nos dá a amplitude de uma oscilação forçada sem amortecimento, essa aqui:

A = F m m ω 0 2 - ω 2

Passo 2

Beleza, o que vai rolar ai é o seguinte: Vamos substituir o valor de ω 0 pelos valores de ω n .

Assim:

A 1 = F m m ω 1 2 - ω 2

A 2 = F m m ω 2 2 - ω 2

A 3 = F m m ω 3 2 - ω 2

Agora precisamos nos perguntar qual deles é maior. Bem, como a diferença de quadrados no denominador dita isso, podemos analisar da seguinte forma: Quanto menor for o denominador, maior será o quociente e maior será a amplitude.

Faz sentido, não acha? Afinal de contas, quanto mais próxima a frequência da força externa estiver da frequência de oscilação natural do sistema, maior será a amplitude.

Né não? Afinal de contas, a amplitude máxima é a amplitude de ressonância e essa acontece quando:

ω = ω 0

Então:

b)

Resposta

b)

Exercício Resolvido #4

USP-P1-2013-Q3

Um sistema composto por um bloco de massa 2 k g que se encontra na horizontal, sobre uma mesa, e que está ligada à parede por uma mola, tem seu movimento representado por:

x ¨ + 6 x ˙ + 25 x = 0 ,

Onde as constantes estão em unidades SI. Despreze o atrito do bloco com a superfície da mesa.

  1. Identifique a constante de amortecimento γ e a frequência angular ω 0 na equação acima e determine o tipo de amortecimento sofrido pelo sistema.
  2. Dado que o bloco se encontra inicialmente na posição x = 1 m , onde a origem deste sistema corresponde à posição do bloco com a mola relaxada, e com velocidade inicial - 7 m / s , determine a equação horária x ( t ) do sistema em função de sua amplitude e fase inicial.
  3. Suponha agora que este sistema passe a oscilar sob a ação de uma força F = cos ⁡ Ω t . Ache a frequência angular Ω sob qual a amplitude das oscilações é máxima. Assuma que o tempo t é grande o suficiente para que a componente transiente do movimento já tenha sido totalmente suprimida. Encontre também esta amplitude máxima.
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Passo 1

  1. Bom galera, nesse item nós precisamos apenas saber identificar as constantes de uma equação de MHA:

    Uma equação de um MHA segue o padrão:

    x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

    Pronto! Basta a gente comparar com a equação que temos e vamos ver que:

    γ = 6 s - 1

    ω 0 2 = 25   → ω 0 = 5 r a d / s

    A gente sempre pode associar uma EDO a uma equação característica, do segundo grau em x:

    x 2 +   γ x +   ω 0 2 = 0

    Calculando o dessa equação, vamos poder classificar o regime em crítico, subcrítico ou supercrítico:

    ∆ = γ 2 - 4.1 . ω 0 2 = 36 - 4.1 . 25 = - 64

    Como o ∆ < 0 ,   o sistema é subcrítico!(:

    Passo 2

  2. Como o amortecimento é subcrítico, a função de variação do espaço é:
  3. x t = A e - γ t 2 c o s ⁡ ( ω t + ∅ )

    Onde ω = ω 0 - γ 2 4 = 4 r a d / s  

    Vamos calcular agora o x ˙ t ,   derivando a expressão acima e usando aquela regrinha da derivada do produto de cálculo 1:

    x ˙ t = - A . γ 2 e - γ t 2 cos ⁡ ω t + ∅ - A ω e - γ t 2 s i n ⁡ ( ω t + ∅ )

    Beleza! Agora vamos usar as condições iniciais pra achar o que ainda não sabemos.... a fase !

    Sabendo que x 0 = 1 m , e v 0 = - 7 m / s :

    x 0 = A e 0 cos ⁡ ∅ = 1   → cos ⁡ ∅ = 1 A

    x ˙ 0 = - A . γ 2 e 0 cos ⁡ ∅ - A ω e 0 sin ⁡ ∅ = - 7

    3 A c o s ∅ + 4 A s e n ∅ = 7

    Usando o valor A c o s ∅ = 1 :

    3 + 4 A s e n ∅ = 7 → s e n ∅ = 1 A  

    Como s e n ∅ = c o s ⁡ ( ∅ ) , fica claro que esse ângulo é π 4 ! Logo o valor de A é:

    A = 1 s e n ∅ = 2 2 = 2

    Show! Agora podemos unir todas as informações que temos pra calcular a nossa função:

    x t = A e - γ t 2 c o s ⁡ ( ω t + ∅ )

    x t = 2 e - 3 t c o s 4 t + π 4

    Passo 3

Galera, aqui vamos usar a fórmula:

A 2 Ω = F 0 2 m 2 ω 0 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

Essa é a amplitude uma oscilação forçada em função de frequência angular.

Ela será máxima quando Ω = ω 0 2 - γ 2 2 = 7 r a d / s

Substituindo na equação da amplitude:

A 2 4 = 1 2 2 4 2 - 7 2 + 6 2 7 ) = 1 2304   → A = 1 2304

Resposta

  1. γ = 6 s - 1
  2. ω 0 = 5 r a d / s

    Subcrítico

  3. x t = 2 e - 3 t c o s 4 t + π 4
  4. Ω = 7   r a d / s

A = 1 2304

Exercício Resolvido #5

USP-P2-2014-Q10

Um corpo de 1   k g oscila preso a uma mola que tem constante elástica igual a 400   N / m . A constante de amortecimento linear vale b = 10,00   k g / s . O sistema é excitado por uma força senoidal de valor máximo igual a 10   N e frequência angular de 10   r a d / s . Qual é a amplitude das oscilações?

  1. 10 / 10   m
  2. 1000 / 10   m
  3. 10 / 1000   m
  4. 10 / 100   m
  5. 10   m
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Passo 1

Aqui nos vamos novamente usar a expressão:

A 2 ω = F 0 2 m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

Mas precisamos identificar direitinho as variáveis que vamos usar.

Passo 2

Vamos calcular primeiro ω 0 :

ω 0 = k m = 400 1 = 20 r a d / s  

Agora vamos identificar como é a força externa:

Foi dito que o valor máximo é 10 N , logo, F 0 = 10 N . Foi dito também que a frequência de oscilação é 10 r a d / s e que a força é senoidal. Logo:

F = F 0 s e n ω t = 10 s e n ( 10 t )

O importante ali são os valores de F 0 e ω .

Agora falta descobrir o γ . Essa é a constante de amortecimento que aparece na equação diferencial do movimento:

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

O enunciado nos disse que:

b = 10   k g / s

Mas sabemos que:

γ = b m

Então:

γ = b m = 10 1 = 10   s - 1

Passo 3

Vamos agora simplesmente aplicar os valores na equação:

A 2 ω = F 0 2 m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

= 10 2 1 2 20 2 - 10 2 2 + 10 2 . 10 2 =

= 10 2 300 2 + 10 4 =

= 10 2 10 5 →

A 2 = 1 10 3

A = 10 100   m

Resposta

d)

Exercício Resolvido #6

USP-P2-2014-Q7

Considere o oscilador harmônico amortecido descrito pela equação diferencial

x ¨ +   γ x ˙ +   ω 0 2 x = F 0 m   c o s ⁡ ( ω t )

Qual a potência média P ( ω ) fornecida pela força externa em uma oscilação?

  1. – F 0 2 ω 2 2 m ω 2   -   ω 0 2 2 +   γ 2 ω 2
  2. γ F 0 2 ω 2 2 m ω 2   -   ω 0 2 2 +   γ 2 ω 2
  3. -   γ F 0 2 ω 2 2 m ω 2   +   ω 0 2 2 +   γ 2 ω 2
  4. -   γ F 0 2 ω 2 2 m ω 2   -   ω 0 2 2 +   γ 2 ω 2
  5. -   γ F 0 2 ω 2 2 m ω 2   +   ω 0 2 2   -   γ 2 ω 2
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Passo 1

Galera, aqui vamos aprender uma fórmula nova: A fórmula da potência média fornecida pela força externa.

Como vamos ver, a potência será influenciada pelo amortecimento do sistema.

Passo 2

A potência média pode ser calculada por:

P m ω = α F 0 2 ω 2 m ω 2   -   ω 0 2 2 + 4 α 2 ω 2

Ok, mas quem é α ?

Alpha é :

α = γ 2

Legal! Notou a semelhança dessa função com a função que fornece a variação da amplitude de acordo com ω ?

Outra coisa legal ali é perceber quando estivermos na ressonância( ω = ω 0 ), a potência será máxima. O que era de se esperar, não é mesmo?

Resposta

b)

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