Equações de Maxwell

Teoria Completa

As equações de Maxwell são as equações que juntam toda a eletricidade e o magnetismo em uma única teoria, o eletromagnetismo.

Apresentando: As equações!

Cada uma das equações tem duas formas. Uma chamamos de forma integral porque envolve, bem, integrais! A outra, chamamos de forma diferencial porque envolve derivadas.

As equações integrais da tabela acima estão em função da carga e da corrente. No SI as equações na forma integral são diferentes, dependendo de como o seu professor as apresenta você pode se sentir familiarizado com uma ou outra. As equações integrais no SI são:

Lei de Gauss:

∮ E → . d A → = 1 ε 0 ∫ V ρ d V

Lei de Gauss para o magnetismo mantém-se a mesma:

∮ B → . d A → = 0

Lei de Ampére-Maxwell:

∮ B → . d l → =   μ 0 ( ∫ A J → . d A → + ε 0 d d t ∫ A E . → d A → )

Lei de Faraday-Lenz:

∮ E → . d l → = - d d t ∫ A B → . d A →

Antes de se desesperar, vem comigo que eu te explico cada uma com calma.

A Lei de Gauss da Eletricidade e do Magnetismo

As duas primeiras leis de Maxwell são:

(Lei de Gauss)

∮ E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0  

(Lei de Gauss do Magnetismo)

∮ B → ∙ d A → = 0

Na lei de Gauss para o campo elétrico E → , estamos dizendo que o fluxo elétrico ( ϕ E ) em uma região qualquer depende da quantidade de cargas no seu interior.

Assim, o primeiro termo ∮ E → ∙ d A → calcula o Fluxo Elétrico ( ϕ E ) da região.

ϕ E = ∮ E → ∙ d A →

Q i n t é a quantidade de carga elétrica total da região escolhida e ϵ 0 é a permissividade no vácuo.

ϵ 0 ≅ 8,85 × 10 - 12   F / m

Se a nossa região não é só vácuo, o valor da permissividade muda, podendo ser dado de duas formas:

- Por ϵ , representando simplesmente a permissividade no meio.

- Por ϵ r (que é muito mais raro), representando a permissividade relativa, onde:

ϵ r = ϵ ϵ 0

Mas fica tranquilo que o problema vai te falar qual usar!

Já para o campo magnético, não existem “cargas magnéticas”. Todo ímã possui pólo norte e pólo sul, que funcionam como se fossem cargas positivas e negativas. Quando somarmos as duas, elas se cancelam!

Seguindo o mesmo pensamento que tivemos antes, o termo ∮ B → ∙ d A → calculará agora o Fluxo Magnético ( ϕ B ) através da região cuja área é A , que será sempre nulo!

Você pode enxergar o “fluxo” do campo elétrico e do campo magnético como as linhas que saem e entrar na nossa região!

Se pegarmos a nossa região e formos diminuindo ela até ficarmos com um voluminho muuuuuito pequeno, nós chegamos nas formas diferenciais das equações!

(Lei de Gauss - Forma diferencial)

∇ → ∙ E → = ρ ϵ 0

O lado esquerdo ∇ → ∙ E → é o divergente de E → , dado por ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z .

O termo ρ que aparece corresponde à densidade volumétrica de carga, definida como ρ = Q V o l (carga dentro da região dividida pelo volume).

Já para a lei de Gauss do magnetismo:

(Lei de Gauss para o magnetismo - Forma diferencial)

∇ → ∙ B → = 0

Basicamente estamos dizendo que o divergente de B → é sempre igual a zero.

O significado físico das equações continua o mesmo! Só mudamos a forma de escevê-las.

As Leis de Ampère-Maxwell e de Faraday-Lenz

Essas duas leis agora relacionam o campo magnético de um meio com o campo elétrico.

(Lei de Faraday-Lenz)

∮ E → ∙ d l → = - d ϕ B d t

A integral de linha ∮ E → ∙ d l → corresponde ao fluxo elétrico através de uma curva qualquer l .

(Lei de Ampère-Maxwell)

∮ B → ∙ d l → = μ 0 i c + ϵ 0 d ϕ E d t

A lei de Ampère nos diz que quando o fluxo elétrico ϕ E varia com o tempo d ϕ E d t um campo magnético é gerado. A parte correspondente a essa variação é chamada corrente de deslocamento μ 0 ϵ 0 d ϕ E d t em analogia à corrente i C que também gera campos magnéticos.

O termo μ 0 é a permeabilidade magnética no vácuo que vale:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   N / A 2

Mas assim como ϵ 0 , a permeabilidade magnética também varia em um meio que não o vácuo!

- Ela pode ser dado por μ , representando simplesmente a permeabilidade no meio.

- Ela também pode ser dada por μ r (que é mais raro), representando a permeabilidade relativa

μ r = μ μ 0

Já a integral de linha ∮ B → ∙ d l → nos dá o fluxo magnético através de uma curva l .

A lei de Faraday nos diz que quando o fluxo magnético ϕ B varia com o tempo d ϕ B d t um campo elétrico é gerado.

Ou seja, as duas leis dizem que campos elétricos e magnéticos que vão mudando com o tempo criam um ao outro! Assim como as leis de Gauss, essas também tem as suas formas diferenciais.

(Lei de Ampère - Forma diferencial)

∇ → × B → = μ 0 J → + μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t

∇ → × B → é o rotacional de B → , que tem uma fórmula meio complicada:

∇ → × B → = ∂ B z ∂ y - ∂ B y   ∂ z i ^ + ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x j ^ + ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y k ^

O termo J → que aparece é a densidade de corrente.

(Lei de Farady - Forma diferencial)

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Dessa vez ∇ → × E → é o rotacional de E → .

Entram em cena as Ondas Eletromagnéticas

Um campo elétrico E → que varie com o tempo induz um campo magnético e por sua vez, um campo magnético B → que varie no tempo induz um campo elétrico.

Com isso, eu posso ter um campo elétrico e um campo magnético variando juntos que nem um casal que sustenta um ao outro. Eles podem se propagar até no vácuo! (poder do amor)

O que acabamos de descrever foi uma Onda Eletromagnética.

As ondas eletromagnéticas são descritas pelas chamadas equações da onda, obtidas a partir das equações de Maxwell.

Quando a onda se propaga paralelamente a um eixo cartesiano qualquer (como na figura acima, que está paralelo ao eixo x ) ela é descrita pela equação da onda unidimensional ao longo daquele eixo:

∂ 2 E ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 E ∂ t 2

∂ 2 B ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 B ∂ t 2

A velocidade dessas ondas em um meio qualquer é dada por:

1 v 2 = μ ϵ

Usamos c para representar a velocidade de uma onda eletromagnética no vácuo. Calculando na fórmula acima, ela vale:

c ≅ 3 ∙ 10 8   m / s

Mas qual a importância disso?

Acontece que outra coisa que se propaga com essa exata velocidade é a luz, e por um motivo:

a luz é uma onda eletromagnética!

É só isso então? Calma jovem, eu tinha esquecido de comentar algo antes e agradeço muito a duas pessoas que avisaram para nós, permitindo que consertemos aqui!

A onda eletromagnética pode se propagar em uma direção qualquer. Essa direção vai ter componentes em todos os eixos, não sendo paralela a nenhum.

Nestes casos, o campo elétrico e magnético precisam ser derivados em relação a todos os eixos. Com isso, eles vão obedecer a equação de ondas tridimensional, que é:

∂ 2 E → ∂ x 2 + ∂ 2 E → ∂ y 2 + ∂ 2 E → ∂ z 2 = 1 v 2 ∂ 2 E → ∂ t 2

∂ 2 B → ∂ x 2 + ∂ 2 B → ∂ y 2 + ∂ 2 B → ∂ z 2 = 1 v 2 ∂ 2 B → ∂ t 2

O lado esquerdo é o que chamamos de Laplaciano, e podemos simplificar a notação usando o símbolo ∇ 2 :

∇ 2 E → = 1 v 2 ∂ 2 E → ∂ t 2

∇ 2 B → = 1 v 2 ∂ 2 B → ∂ t 2

Nestas equações colocamos E → e B → (vetores) e não escalares. Isso é porque antes, eles só tinham uma componente (ao longo de um eixo), e agora eles tem três componentes!

A derivada de um vetor é a mesma coisa que derivar cada componente daquele vetor:

∂ 2 u → ∂ x 2 = ∂ 2 u x ∂ x 2 , ∂ 2 u y ∂ x 2 , ∂ 2 u z ∂ x 2

O que significa que cada componente do campo elétrico e magnético vão seguir uma equação de ondas tridimensional! Por exemplo, pro campo elétrico teremos:

∇ 2 E x = 1 v 2 ∂ 2 E x ∂ t 2   ;   ∇ 2 E y = 1 v 2 ∂ 2 E y ∂ t 2   ;   ∇ 2 E z = 1 v 2 ∂ 2 E z ∂ t 2