Equações de Maxwel

Teoria Completa

Introdução

Vamos começar trazendo a seguinte equação do campo elétrico onda:

E → = E 0 cos ⁡ k x - ω t k ^

Como a gente pode encontrar, a partir desse campo elétrico o campo magnético por exemplo?A gente usa as equações de Maxwell, elas conseguem fazer a união da eletricidade com o magnetismo . Serão mostradas 4 equações, cada uma tem forma integral e diferencial e pra sair da forma integral pra diferencial não é só derivar nesse caso.

O importante aqui é a gente guardar especialmente as equações diferenciais que são bastante usadas e tentar compreender o processo de sair da forma integral pra diferencial.

Lei de Gauss

A forma integral da lei de gauss é:

∮ E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Onde:

Q i n t ϵ 0 = 1 ϵ 0 ∫ V ρ d V

A idéia aqui é que você não super precisa entender essa lei pra aplicar ela, compreender quem é quem já basta pra você fazer as alterações necessárias. A integral é o fluxo do campo elétrico numa superfície esférica.

Φ E = ∮ E → ∙ d A →

Q i n t é a quantidade de carga elétrica total da região escolhida e ϵ 0 é a permissividade no vácuo.

ϵ 0 ≅ 8,85 × 10 - 12   F / m

d A → é o diferencial da área A da esfera.

d V é o diferencial de volume da esfera.

ρ é a densidade volumétrica de carga.

Pra visualizar melhor o fluxo e toda essa galera a gente pode olhar a figura.

Beleza mas e como que eu saio dessa forma integral pra forma diferencial? Nessa equação a gente vai aplicar o teorema da divergência e vamos procurar deixar os dois lados com o mesmo integrante.

∮ E → ∙ d A → = ∫ V ∇ → ∙ E → d V

Onde ∇ → ∙ E → é o divergente de E → , dado por ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z .

E trazendo a equação do ínicio:

∫ V ∇ → ∙ E → d V = 1 ϵ 0 ∫ V ρ d V

Derivamos dos dois lados pra d V e aí encontramos.

(Lei de Gauss - Forma diferencial)

∇ → ∙ E → = ρ ϵ 0

Na maioria dos casos a gente vai trabalhar no vácuo e quando isso aí rolar teremos:

ρ = 0

Ou seja:

∇ → ∙ E → = 0     ( N o   v á c u o )

Lei de Gauss do magnetismo

A forma integral dessa lei é:

∮ B → ∙ d A → = 0

Seguindo o mesmo pensamento que tivemos antes, o termo ∮ B → ∙ d A → calculará agora o Fluxo Magnético ( ϕ B ) através da região cuja área é A , que será sempre nulo!

Você pode enxergar o “fluxo” do campo elétrico e do campo magnético como as linhas que saem e entrar na nossa região!

Do mesmo jeito a gente vai usar o teorema da divergência pra encontrar a forma diferencial:

∮ B → ∙ d A → = ∫ V ∇ → ∙ B → d V = 0

E a gente pode pegar essas duas partes aqui e derivar

∫ V ∇ → ∙ B → d V = 0

E enfim encontramos:

(Lei de Gauss para o magnetismo - Forma diferencial)

∇ → ∙ B → = 0

Basicamente estamos dizendo que o divergente de B → é sempre igual a zero.

As Leis de Ampère-Maxwell e de Faraday-Lenz

Essas duas leis agora relacionam o campo magnético de um meio com o campo elétrico.

(Lei de Faraday-Lenz)

∮ E → ∙ d l → = - d ϕ B d t

Onde:

- d ϕ B d t = - d d t ∫ A B → ∙ d A →

A integral de linha ∮ E → ∙ d l → corresponde ao campo elétrico tagente através de uma curva qualquer l .

Aqui de novo como as outras pra chegar na forma diferencial a gente precisa brincar com a matemática só que pra essa lei a gente vai usar o teorema de stokes, saca só:

∮ E → ∙ d l → = ∫ A ∇ → × E → d A →

Onde:

∇ → × E → é o rotacional do vetor, dado pelo determinante da seguinte matriz.

∇ → × E → = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z E x E y E z

Onde as componentes E x ,   E y   e E z são os módulos do campo elétrico sem a direção, no exemplo dado no ínicio a gente tem:

E Z = E 0 cos ⁡ k x - ω t

E igualando a derivada do fluxo a gente tem:

∫ A ∇ → × E → d A → = - d d t ∫ A B → ⋅ d A →

Derivando os dois lados a gente consegue igualar o que tá dentro da integral já que temos o mesmo integrante e encontramos mais uma:

(Lei de Farady - Forma diferencial)

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

E se liga aqui, com essa lei a gente consegue relacionar o campo elétrico com o magnético.

A notação da derivada muda mas o significado continua o mesmo.

(Lei de Ampère-Maxwell)

∮ B → ∙ d l → = μ 0 i c + ϵ 0 d ϕ E d t

A lei de Ampère nos diz que quando o fluxo elétrico ϕ E varia com o tempo d ϕ E d t um campo magnético é gerado. A parte correspondente a essa variação é chamada corrente de deslocamento μ 0 ϵ 0 d ϕ E d t em analogia à corrente i C que também gera campos magnéticos.

O termo μ 0 é a permeabilidade magnética no vácuo que vale:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   N / A 2

Já a integral de linha ∮ B → ∙ d l → nos dá o campo magnético tangente através de uma curva l .

Beleza, e pra chegar na forma diferencial dessa lei? A gente traz de novo o teorema de stokes.

∮ B → ∙ d l → = ∫ ∇ → × B → . d A →

E igualando na equação inicial teremos:

∫ A ∇ → × B → d A → = μ 0 i c + ϵ 0 d ϕ E d t

Mas e aí? Cadê o d A → do outro lado? Vamos por partes, a gente pode dizer que a corrente é dada por:

i c = ∮ J → ∙ d A →

d d t ∫ A E → ∙ d A →

O termo J → que aparece é a densidade de corrente.

E pra outra parte da equação a gente pode lembrar da definição de fluxo de campo elétrico

d ϕ E d t = d d t ∮ E → ∙ d A →

Rearrumando fica:

d ϕ E d t = ∮ ∂ E → ∂ t ∙ d A →

Substituindo na equação agora temos:

∫ A ∇ → × B → d A → = μ 0 ∮ J → ∙ d A → + ϵ 0 ∮ ∂ E → ∂ t ∙ d A →

Agora é só derivar nos dois lados e jaera:

(Lei de Ampère - Forma diferencial)

∇ → × B → = μ 0 J → + μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t

Geralmente no vácuo a gente tem:

J → = 0

Daí: ∇ → × B → = μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t ( N o   v á c u o )

Encontramos outro caminho pra relacionar campo magnético e elétrico.

Equações de Maxwell aplicação

Bom a gente já sabe como deduzir e não vamos sair daqui sem aplicar, lembra que eu dei pra você um campo elétrico de uma onda no inicío que era dado por:

E → = E 0 cos ⁡ k x - ω t k ^

E a pergunta era, como encontrar o campo magnético a partir do campo elétrico? Agora a gente já tem uma noção pra esse caso podemos usar a lei de faraday diferencial.

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

E o rotacional desse cara vai ficar:

i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z E x E y E z = - ∂ B → ∂ t

Aqui um bizu pra facilitar a vida é o seguinte, repare que o nosso campo tá na direção z , pois seu vetor unitário é k ^ , assim podemos zerar as componentes das outras direções do campo.

i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z 0 0 E z = - ∂ B → ∂ t

Resolvendo esse determinante a gente vai ter

i ^ d E Z d y - j ^ d E z d x = - ∂ B → ∂ t

E a nossa função do campo é só função de x sendo assim, só resta a derivada pra x .

- j ^ d E z d x = - ∂ B → ∂ t

Cortando o negativo e trazendo só o módulo do campo, sem considerar a direção a gente tem o seguinte:

d d x [ E 0 cos ⁡ k x - ω t ] j ^ = ∂ B → ∂ t

Derivando temos:

- k E 0 × s e n k x - ω t j ^ = ∂ B → ∂ t

E agora passando o integrante de tempo pra esquerda podemos integrar:

- k E 0 ∫ s e n k x - ω t d t j ^ = ∫ d B →

E o resultado da integral fica:

- k - ω E 0 cos ⁡ k x - ω t j ^ = B →

Eliminando os termos negativos temos enfim:

B → = k ω E 0 cos ⁡ k x - ω t j ^

Já encontramos o nosso campo mas pra ficar ainda melhor, vamos colocar em função da amplitude do campo magnético.

E a velocidade da luz c , pode ser escrita em função da frequência angular e da constante de fase.

c = ω k

E substituindo:

B → = E 0 c cos ⁡ k x - ω t j ^

E enfim a gente traz a relação entre o campo magnético e o elétrico da onda e encontra a amplitude do campo magnético, saca só:

E 0 c = B 0

Enfim:

B → = E 0 c cos ⁡ k x - ω t j ^

Achamos o campo magnético através do elétrico!

Resumo das equações

Bom pra resumir as equações de Maxwell eu trouxe essa tabelinha.

Lembrando que é mais importante a gente guardar as formas diferenciais e entender o processo de dedução!

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Encontre a foma integral das equacões abaixo: ∮ E → . d A → = q ε 0 ∮ B → . d l → = μ 0 I

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Passo 1

Um bom caminho para chegar a forma integral é lembrar que os dois lados da equação precisam ter integrais.

Se a gente lembrar que:

q = ∫ ρ d V

É só substituir e aí:

∮ E → . d A → = 1 ε 0 ∫ ρ d V

Passo 2

Para a outra equacão a gente vai seguir a mesma ideia.

Podemos usar essa equação da corrente:

I = ∫ J → . d A → + ε 0 d ∅ E d t

Aí é só substituir na equação principal e encontramos: ∮ B → . d l → =   μ 0 ( ∫ J → . d A → + ε 0 d ∅ E d t )

Mas se liga, não terminamos. Faltou UMA INTEGRAL no lado direito.

Calma aí que é só a gente lembrar que o fluxo do camplo elétrico é:

∅ E = ∫ E . → d A →

Então substituímos na equação que encontramos e aí temos:

∮ B → . d l → =   μ 0 ( ∫ J → . d A → + ε 0 d d t ∫ E . → d A → )

Resposta

∮ E → . d A → = 1 ε 0 ∫ ρ d V

∮ B → . d l → =   μ 0 ( ∫ J → . d A → + ε 0 d d t ∫ E . → d A → )

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Use os operadores diferenciais e os teoremas da divergência e de stokes para passar as equacões de Maxwell abaixo para a forma diferencial. ∮ B → . d A → = 0 ∮ E → . d l → = - d ϕ B d t  

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Passo 1

Precisamos chegar a forma diferencial. Um bom caminho é pensar que devemos chegar em uma derivada.

Para a primeira equação, a gente pode usar o teorema da divergência:

∮ B → . d A → = ∫ ∇ → . B →   d V

Lembrando que pode ser usado para qualquer vetor, mas aqui vamos usar para o campo magnético que é o que nos interessa.

Como:

∮ B → . d A → = 0

Temos que :

∫ ∇ → . B →   d V = 0

Derivando os dois lados teremos enfim:

∇ → . B → = 0

Passo 2

Para a outra equacão, a gente vai seguir uma idéia parecida, mas antes precisamos colocar a equação na forma integral. Então vamos lembrar que o fluxo magnético é:

ϕ B = ∫ B → . d A →

Assim, a gente substitui na equação e chegamos na forma integral:

∮ E → . d l → = - d d t ∫ B → . d A →  

Putz, e agora? De um lado temos o integrante   d l → e do outro o integrante   d A → . Como a gente deriva isso?

Fica tranquilo, podemos usar o teorema de STOKES para resolver essa parada.

Passo 3

O teorema de stokes diz que:

∮ E → . d l → = ∫ ∇ → × E → .   d A →

Lembrando que esse teorema serve para QUALQUER VETOR, mas no nosso caso interessa usarmos para o campo elétrico.

Se a gente substituir na equação da forma integral, encontraremos algo assim:

∫ ∇ → × E → .   d A → = - d d t ∫ B → . d A →  

Golaço! Conseguimos colocar os dois lados da equação com o mesmo integrante. Agora precisamos derivar, mas primeiro passaremos o d d t para dentro da integral.

∫ ∇ → × E → .   d A → = - ∫ ∂ B → ∂ t . d A →  

Derivando os dois lados da equação, teremos enfim:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Resposta

∇ → . B → = 0

∇ → × E → =   -   ∂ B → ∂ t

Exercício Resolvido #3

PUC, Física 4, P1 2017.1, 1

Use os operadores diferenciais e os teoremas de Gauss e Stokes para passar as leis de Maxwell abaixo para a forma diferencial. (Qint ≡ Qsaldo)

(a )   ∮ E → . d A → = Q i n t ε 0 onde Q i n t = ∫ ρ d V e ρ = d q d V

(b ) ∮ B → . d l → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

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Passo 1

Nessa questão vamos ter que gastar os nossos conhecimentos de cálculo para resolve-las.

Podemos relacionar as seguintes equações

∮ E → . d A → = Q i n t ε 0 , Q i n t = ∫ ρ d V

E chegaremos na seguinte fórmula

∮ E → . d A → = ∫ ρ ε 0 d V

Mas objetivo da questão é que cheguemos na forma diferencial das leis de Maxwell e para isso precisamos dos teoremas de Gauss e Stokes.

Nesse caso podemos usar o teorema de Gauss, que é dado pela fórmula

∮ E → . d A → = ∫ ( ∇ . E → ) d V

Relacionando as duas fórmulas que temos, encontramos que

∫ ( ∇ . E → ) d V = ∫ ρ ε 0 d V

Podemos perceber que os dois fatores são integrais do volume, podemos escrever isso da seguinte forma

∫ ( ∇ . E → ) d V - ∫ ρ ε 0 d V = 0

∫ ( ∇ . E → - ρ ε 0 ) d V = 0

Agora pensa comigo, como o nosso volume é continuo e conexo, o único fator que pode zerar essa integral é o valor dentro do parênteses, ou seja, quando

∇ . E → - ρ ε 0 = 0

Por fim

∇ . E → = ρ ε 0

Passo 2

Agora devemos passar a seguinte fórmula para a forma diferencial, e como já sabemos, vamos gastar nossos conhecimentos de cálculo para isso

∮ B → . d l → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

Nesse caso temos que lembrar que do teorema de Stokes temos a seguinte relação

∮ B → . d l → = ∫ ( ∇ x B → ) d A →

Relacionando o nosso teorema de Stokes com a fórmula de Maxwell teremos que

∫ ( ∇ x B → ) d A → = μ 0 ∫ j → . d A → + μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A →

Perceba que assim como na lei de Gauss todos os termos ficaram em função do volume, no teorema de Stokes todos ficaram em função da área, logo podemos isolar todos de um lado e junta-los da seguinte forma

∫ ( ∇ x B → ) d A → - μ 0 ∫ j → . d A → - μ 0 ε 0   ∫ ∂ E → ∂ t . d A → = 0

∫ ( ∇ x B → - μ 0 . j → - μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t ) d A → = 0

Agora pensa comigo, se d A → é uma superfície elementos simplesmente convexa e não nula, significa que apenas o tema dentro do parênteses pode ser capaz de zerar essa equação, ou seja,

∇ x B → - μ 0 . j → - μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t = 0

∇ x B → = μ 0 . j → + μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t

Resposta

a) ∇ . E → = ρ ε 0

b) ∇ x B → = μ 0 . j → + μ 0 ε 0 . ∂ E → ∂ t

Exercício Resolvido #4

PUC, Física 4, P1 2017.1, 1

A partir das equações de Maxwell no vácuo, encontre a equação diferencial de onda para o campo elétrico E → .

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Passo 1

Nessa questão de quer que usemos nossos conhecimentos de cálculo e Física3 e dessa forma determinarmos qual a fórmula diferencial de onda, nesse caso, para o campo E → , mas sabemos que ele também poderia pedir a do campo magnético, mas vamos focar no campo elétrico.

Sabemos que a lei de Faraday-lenz é dada pela formula

∇ × E → = - d B → d t

Vamos aplicar o operador Rotacional de ambos os lados da lei de Faraday-Lenz

∇ × ∇ × E → = ∇ × - d B → d t

Passo 2

Podemos escrever o seguinte termo, rotacional do rotacional

∇ × ∇ × E →

Em termos do gradiente, e a nova fórmula será

∇ × ∇ × E → = ∇ ∇ . E → - ∇ 2 E →

Dessa forma o nosso calculo ficou em termos do operador laplaciano

E para esse caso o nosso termo ∇ . E → será igual a zero

Dessa forma o nosso termo principal ficará assim

- ∇ 2 E → = ∇ × - d B → d t

∇ 2 E → = ∇ × d B → d t

Passo 3

Mas perceba que podemos fazer uma inversão entre a operação de derivada temporal d … d t com o operador rotacional , teremos então

∇ 2 E → = d d t ∇ × B →

Olha que interessante, você lembra qual a fórmula da equação de ampère-Maxwell para o vácuo?

∇   → ×   B → = μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t

Substituindo na equação anterior teremos

∇ 2 E →