Equações de Maxwell

Resumo Completo

As equações de Maxwell são as equações que juntam toda a eletricidade e o magnetismo em uma única teoria, o eletromagnetismo.

Apresentando: As equações!

Cada uma das equações tem duas formas. Uma chamamos de forma integral porque envolve, bem, integrais! A outra, chamamos de forma diferencial porque envolve derivadas.

Antes de se desesperar, vem comigo que eu te explico cada uma com calma.

A Lei de Gauss da Eletricidade e do Magnetismo

As duas primeiras leis de Maxwell são:

(Lei de Gauss)

E d A = Q i n t ϵ 0  

(Lei de Gauss do Magnetismo)

B d A = 0

Na lei de Gauss para o campo elétrico E , estamos dizendo que o fluxo elétrico ( ϕ E ) em uma região qualquer depende da quantidade de cargas no seu interior.

Assim, o primeiro termo E d A calcula o Fluxo Elétrico ( ϕ E ) da região.

ϕ E = E d A

Q i n t é a quantidade de carga elétrica total da região escolhida e ϵ 0 é a permissividade no vácuo.

ϵ 0 8,85 × 10 - 12   F / m

Se a nossa região não é só vácuo, o valor da permissividade muda, podendo ser dado de duas formas:

- Por ϵ , representando simplesmente a permissividade no meio.

- Por ϵ r (que é muito mais raro), representando a permissividade relativa, onde:

ϵ r = ϵ ϵ 0

Mas fica tranquilo que o problema vai te falar qual usar!

Já para o campo magnético, não existem “cargas magnéticas”. Todo ímã possui pólo norte e pólo sul, que funcionam como se fossem cargas positivas e negativas. Quando somarmos as duas, elas se cancelam!

Seguindo o mesmo pensamento que tivemos antes, o termo B d A calculará agora o Fluxo Magnético ( ϕ B ) através da região cuja área é A , que será sempre nulo!

Você pode enxergar o “fluxo” do campo elétrico e do campo magnético como as linhas que saem e entrar na nossa região!

Se pegarmos a nossa região e formos diminuindo ela até ficarmos com um voluminho muuuuuito pequeno, nós chegamos nas formas diferenciais das equações!

(Lei de Gauss - Forma diferencial)

E = ρ ϵ 0

O lado esquerdo E é o divergente de E , dado por E x x + E y y + E z z .

O termo ρ que aparece corresponde à densidade volumétrica de carga, definida como ρ = Q V o l (carga dentro da região dividida pelo volume).

Já para a lei de Gauss do magnetismo:

(Lei de Gauss para o magnetismo - Forma diferencial)

B = 0

Basicamente estamos dizendo que o divergente de B é sempre igual a zero.

O significado físico das equações continua o mesmo! Só mudamos a forma de escevê-las.

As Leis de Ampère-Maxwell e de Faraday-Lenz

Essas duas leis agora relacionam o campo magnético de um meio com o campo elétrico.

(Lei de Faraday-Lenz)

E d l = - d ϕ B d t

A integral de linha E d l corresponde ao fluxo elétrico através de uma curva qualquer l .

(Lei de Ampère-Maxwell)

B d l = μ 0 i c + ϵ 0 d ϕ E d t

A lei de Ampère nos diz que quando o fluxo elétrico ϕ E varia com o tempo d ϕ E d t um campo magnético é gerado. A parte correspondente a essa variação é chamada corrente de deslocamento μ 0 ϵ 0 d ϕ E d t em analogia à corrente i C que também gera campos magnéticos.

O termo μ 0 é a permeabilidade magnética no vácuo que vale:

μ 0 = 4 π × 10 - 7   N / A 2

Mas assim como ϵ 0 , a permeabilidade magnética também varia em um meio que não o vácuo!

- Ela pode ser dado por μ , representando simplesmente a permeabilidade no meio.

- Ela também pode ser dada por μ r (que é mais raro), representando a permeabilidade relativa

μ r = μ μ 0

Já a integral de linha B d l nos dá o fluxo magnético através de uma curva l .

A lei de Faraday nos diz que quando o fluxo magnético ϕ B varia com o tempo d ϕ B d t um campo elétrico é gerado.

Ou seja, as duas leis dizem que campos elétricos e magnéticos que vão mudando com o tempo criam um ao outro! Assim como as leis de Gauss, essas também tem as suas formas diferenciais.

(Lei de Ampère - Forma diferencial)

× B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 E t

× B é o rotacional de B , que tem uma fórmula meio complicada:

× B = B z y - B y   z i ^ + B x z - B z x j ^ + B y x - B x y k ^

O termo J que aparece é a densidade de corrente.

(Lei de Farady - Forma diferencial)

× E = - B t

Dessa vez × E é o rotacional de E .

Entram em cena as Ondas Eletromagnéticas

Um campo elétrico E que varie com o tempo induz um campo magnético e por sua vez, um campo magn��tico B que varie no tempo induz um campo elétrico.

Com isso, eu posso ter um campo elétrico e um campo magnético variando juntos que nem um casal que sustenta um ao outro. Eles podem se propagar até no vácuo! (poder do amor)

O que acabamos de descrever foi uma Onda Eletromagnética.

As ondas eletromagnéticas são descritas pelas chamadas equações da onda, obtidas a partir das equações de Maxwell.

Quando a onda se propaga paralelamente a um eixo cartesiano qualquer (como na figura acima, que está paralelo ao eixo x ) ela é descrita pela equação da onda unidimensional ao longo daquele eixo:

2 E x 2 = 1 v 2 2 E t 2

2 B x 2 = 1 v 2 2 B t 2

A velocidade dessas ondas em um meio qualquer é dada por:

1 v 2 = μ ϵ

Usamos c para representar a velocidade de uma onda eletromagnética no vácuo. Calculando na fórmula acima, ela vale:

c 3 10 8   m / s

Mas qual a importância disso?

Acontece que outra coisa que se propaga com essa exata velocidade é a luz, e por um motivo:

a luz é uma onda eletromagnética!

É só isso então? Calma jovem, eu tinha esquecido de comentar algo antes e agradeço muito a duas pessoas que avisaram para nós, permitindo que consertemos aqui!

A onda eletromagnética pode se propagar em uma direção qualquer. Essa direção vai ter componentes em todos os eixos, não sendo paralela a nenhum.

Nestes casos, o campo elétrico e magnético precisam ser derivados em relação a todos os eixos. Com isso, eles vão obedecer a equação de ondas tridimensional, que é:

2 E x 2 + 2 E y 2 + 2 E z 2 = 1 v 2 2 E t 2

2 B x 2 + 2 B y 2 + 2 B z 2 = 1 v 2 2 B t 2

O lado esquerdo é o que chamamos de Laplaciano, e podemos simplificar a notação usando o símbolo 2 :

2 E = 1 v 2 2 E t 2

2 B = 1 v 2 2 B t 2

Nestas equações colocamos E e B (vetores) e não escalares. Isso é porque antes, eles só tinham uma componente (ao longo de um eixo), e agora eles tem três componentes!

A derivada de um vetor é a mesma coisa que derivar cada componente daquele vetor:

2 u x 2 = 2 u x x 2 , 2 u y x 2 , 2 u z x 2

O que significa que cada componente do campo elétrico e magnético vão seguir uma equação de ondas tridimensional! Por exemplo, pro campo elétrico teremos:

2 E x = 1 v 2 2 E x t 2   ;   2 E y = 1 v 2 2 E y t 2   ;   2 E z = 1 v 2 2 E z t 2

Ok! Vamos fazer alguns exercícios pra fixar melhor o que acabamos de ver?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

USP, Prova 1, 2014.4, Questão E2

O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por E = E x i ^ + E y j ^ com

E x = - E 1 cos ω t - β x + y ,

E y = E 2 cos ω t - β x + y

Onde E 1 , E 2 β e ω são constante positivas. O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico E = E x 2 + E y 2 = E 0 .

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .
  2. Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω ;
  3. Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

  1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E 2 em termos de E 0 .
  2. A forma diferencial da Lei de Gauss é dada por:

    E = ρ ϵ 0

    E x x + E y y + E z z = ρ ϵ 0

    Porém temos duas considerações a fazer:

  • O campo elétrico não tem componente no eixo z . Logo, E z = 0 , e sua derivada se anula.
  • No vácuo, nós não temos cargas. Isso significa que a densidade de cargas é nula ρ = 0 .

E x x + E y y = 0

E 2 - E 1 β sen ω t - β x + y = 0

E 2 - E 1 = 0

E 1 = E 2

Usando o que o problema nos disse:

E x 2 + E y 2 = E 0

E 1 2 + E 2 2 = E 0

E 1 2 = E 0

E 1 = E 2 = E 0 2

Passo 2

  • Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω ;
  • Quando a onda eletromagnética se propaga paralelamente a um dos eixos, ela segue a equação de ondas unidimensionais:

    2 E x 2 = 1 v 2 2 E t 2

    Onde v = c é a velocidade da luz no vácuo (no caso dela se propagando no vácuo). Mas o enunciado nos diz que o campo satisfaz a equação de onda tridimensional!

    A equação de ondas tridimensional é a forma mais geral, que é quando a onda se propaga em uma direção qualquer e por isso derivamos o campo elétrico em relação a todos os eixos!

    2 E = 1 c 2 2 E t 2             2 E - 1 c 2 2 E t 2 = 0

    Onde 2 E é uma forma compacta (arquivo .zip) de escrever o seguinte:

    2 E = 2 E x 2 + 2 E y 2 + 2 E z 2

    Como o campo elétrico, agora, teria ele próprio três componentes (ele não é paralelo a nenhum eixo), colocamos a setinha nele e a nossa equação é um resumo das três equações:

    2 E x - 1 c 2 2 E x t 2 = 0 ;     2 E y - 1 c 2 2 E y t 2 = 0 ;     2 E z - 1 c 2 2 E z t 2 = 0

    Juntas em uma! São muitas compactações e resumo, né não? (Não, é preguiça de escrever mesmo, sou sincero)

    Como o campo elétrico só tem as componentes E x e E y , vamos ter só as duas equações:

    2 E x - 1 c 2 2 E x t 2 = 0 ;     2 E y - 1 c 2 2 E y t 2 = 0

    Vamos abrir a equação em E x .

    2 E x x 2 + 2 E x y 2 + 2 E x z 2 - 1 c 2 2 E x t 2 = 0

    Como E x não varia com z :

    2 E x z 2 = 0

    Além disso, a derivada segunda em relação a x , y e t vão ser:

    2 E x x 2 = x - β E 1 sen ω t - β x + y = β 2 E 1 cos ω t - β x + y 2 E x y 2 = β 2 E 1 cos ω t - β x + y 2 E x t 2 = t ω E 1 sen ω t - β x + y = ω 2 E 1 cos ω t - β x + y

    Agora vamos jogar TUDO isso na equação, e teremos:

    β 2 E 1 cos ω t - β x + y + β 2 E 1 cos ω t - β x + y - ω 2 c 2 E 1 cos ω t - β x + y = 0

    2 β 2 - ω 2 c 2 E 1 cos ω t - β x + y = 0

    2 β 2 - ω 2 c 2 = 0

    β = ω 2 c

    Poderíamos fazer a mesma coisa com a componente E y , mas eu já vou te adiantar, pra evitar a trabalheira, que embora a equação mude um pouco, o resultado vai ser o mesmo. (só muda um sinalzinho aqui e ali).

    Passo 3

  • Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0 , ω e da velocidade da luz no vácuo c .
  • A forma diferencial da Lei de Faraday é dada por:

    - B t = × E = i ^ j ^ k ^ x y z E x E y 0 = E y x - E x y k ^

    - B t = 2 E 0 β sen ω t - β x + y k ^

    B = - 2 E 0 β sen ω t - β x + y t   k ^

    Agora só temos que integrar os dois lados:

    B = 2 E 0 β ω cos ω t - β x + y k ^

    B = E 0 c cos ω t - x + y 2 c k ^

    Resposta

    a.

    E 1 = E 2 = E 0 2

    b.

    β = ω 2 c

    c.

    B = E 0 c cos ω t - x + y 2 c k ^

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