Propriedades Ondulatórias da Luz

Teoria Completa

O que é a Luz?

A luz é uma onda eletromagnética!

E é isso, acabou esse tópico. Tudo ok? Não? Tá, vamos explicar melhor.

Quando um campo elétrico E → varia com o tempo, oscilando, ele induz um campo magnético. Esse campo magnético B → também varia com o tempo, oscilando, e isso faz ele induzir o campo elétrico. Assim, eles se auto-sustentam!

Isso é uma onda eletromagnética.

Ondas eletromagnéticas estão por toda parte! São usadas para transmissões de TVs, rádios, usadas em fornos micro-ondas...

E como falamos antes, elas constituem a luz visível (luz do sol, lâmpadas, etc).

Propriedades Ondulatórias da Luz

A luz é uma onda, e como toda boa onda, ela possui propriedades ondulatórias como frequência, comprimento de onda e amplitude.

Ondas eletromagnéticas são ondas transversais, pois os campos elétrico e magnético oscilam perpendicular em relação a direção de propagação da onda. Além disso, como eles induzem um ao outro, eles estão sempre em fase entre si:

  • Quando E → tem o seu valor máximo, B → também tem o seu valor máximo. Quando E → é nulo, B → também é nulo.

Podemos descrever os campos elétrico e magnético das ondas eletromagnéticas por funções senoidais (função seno ou função coseno). Assim, temos:

E → x , t = E m á x cos ⁡ k x - ω t j ^

B → x , t = B m á x cos ⁡ k x - ω t k ^

Agora que estamos lidando com ondas, é muito importante lembrar quem é quem, e a relação entre eles.

O comprimento de onda λ é a distância entre duas cristas consecutivas. A amplitude da onda A é a amplitude máxima de oscilação. A frequência da onda f é o número de oscilações que a onda faz num determinado período de tempo.

Nas nossas funções, a amplitude do campo elétrico é E m á x , enquanto que a do campo magnético é B m á x .

A velocidade de uma onda é dada por v = λ f , onda para nós, v ≡ c .

λ = c f

A velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente c ≅ 3 ∙ 10 8   m / s .

c = 299   792   458   m / s

Na equação com seno, as propriedades que aparecem são o número de onda k e a frequência angular ω .

k = 2 π λ

ω = 2 π f

Também podemos obter a velocidade da luz com esses dois fatores.

ω k = c

Propriedades Específicas de Ondas Eletromagnéticas (Luz)

Vou te falar algumas propriedades que são muito importantes para termos uma ideia melhor de como essas ondas funcionam. Vamos lá!

  • O produto vetorial entre o campo elétrico e o campo magnético, E → × B → , sempre vai apontar na direção e no sentido de propagação da onda.
  • Isso acontece em parte porque os campos elétricos e magnéticos são perpendiculares entre si e em relação à direção de propagação da onda, e em outra parte pela regra da mão direita.

  • A relação entre o módulo campo elétrico E e o módulo campo magnético B de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo é sempre a mesma, em qualquer instante e em qualquer ponto do espaço! Essa relação é dada por:
  • E = c B

    Lembrando que c é a velocidade da luz no vácuo, que vale aproximadamente 3 × 10 8   m / s

  • Como E → e B → estão em fase, podemos cortar os cosenos da igualdade anterior e relacionar as amplitudes:
  • E m á x = c ∙ B m á x

  • A onda eletromagnética se desloca no vácuo com velocidade constante e igual à velocidade da luz.
  • Ondas eletromagnéticas não necessitam de meio material pra se propagar. Assim, os únicos valores que oscilam nela são o campo elétrico e o campo magnético.

Se liga!

A relação E = c B é válida quando a onda se propaga no vácuo!

Se ela se propaga em qualquer outro meio, então a relação passa a ser:

E = v B

Frentes de Onda

Vamos escolher um ponto da onda eletromagnética em um dado tempo, e tentar andar junto com ela. (Aviso: Não faça isso em casa. Você não vai conseguir andar na velocidade da luz!)

Podemos imaginar que nós andando junto com esse parceiro ponto da onda somos o plano da figura abaixo.

Como estamos juntos da onda, nós não vemos mais as oscilações do campo elétrico e do campo magnético. Só vemos E → e B → num valor constante.

Este plano que imaginamos, onde E → e B → são constantes é o que chamamos de frente de onda.

Usando lá as nossas funções senoidais, isso equivaleria a ter o cosseno constante e pra isso eu preciso que seu argumento seja constante. Logo, na frente de onda, temos:

k x - ω t = c o n s t a n t e

Espectro Eletromagnético

E afinal, qual a diferença entre ondas de rádio, microondas, infravermelho, ultravioleta, luz,... ?

Dependendo da sua frequência (ou do seu comprimento de onda, dá na mesma), as ondas eletromagnéticas têm diferentes usos e, por isso, ganham nomes específicos. Nós representamos isso pelo espectro eletromagnético.

Show! Agora que entendemos melhor as regras, podemos ir pro jogo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 27-1

Se o campo magnético de uma onda luminosa é paralelo ao e i x o   y e seu módulo é dado por B y = B m sen ⁡ ( k z - ω t ) , determine:

  1. A direção de propagação da onda
  2. A direção do campo elétrico associado à onda.
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Passo 1

Letra a)

Como a única variável espacial da qual o campo magnético depende é z , então a direção de propagação é o e i x o   z .

Passo 2

Letra b)

Sabemos que a direção de propagação, o campo magnético e o campo elétrico são todos perpendiculares entre si.

Assim, como B → é paralelo ao e i x o   y e a propagação é paralela ao e i x o   z , a reta perpendicular a eles é o e i x o   x . Com isso, o campo elétrico E → vai ser paralelo ao e i x o   x .

Por fim, para saber o sentido.

Sabemos que a propagação é no mesmo sentido que E → × B → . Porém, não sabemos qual sentido da propagação.

Vamos encontrar isso pelo valor dentro do seno. Para a nossa frente de onda ( k z - ω t = c t e ) se manter constante, quando o tempo passar, o valor de z tem de aumentar. Logo, a onda se propaga no sentido positivo do eixo z .

Usando a regra da mão direita para multiplicar E → e B → , para dar o sentido da propagação temos que ter E → no sentido positivo do e i x o   x .

x ^ × y ^ = z ^

Resposta

Letra a)

A onda se propaga ao longo do e i x o   z .

Letra b)

O campo elétrico oscila ao longo do sentido positivo do e i x o   x .

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 37-86

Uma onda eletromagnética está se propagando no sentido negativo do e i x o   y no vácuo, ou seja, a sua velocidade é c = 299   792   458     m / s .

Em um certo local e em um certo instante o campo elétrico aponta no sentido positivo do e i x o   z e tem um módulo de 100   V / m . Determine:

  1. O módulo do campo magnético correspondente.
  2. A direção do campo magnético correspondente.
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Passo 1

Letra a)

Uma das relações mais importantes para lembrarmos é:

E = c B

Assim, tendo o módulo do campo elétrico, temos o módulo do campo magnético.

B = E c

Substituindo os valores:

  • E = 100   V / m
  • c = 299   792   458   m / s

B = 100 299   792   458 ≅ 3,34 ∙ 10 - 7 V ∙ s m 2 = 3,34 ∙ 10 - 7 T

Passo 2

Letra b)

A onda eletromagnética se propaga numa direção paralela ao produto vetorial E → × B → e com o mesmo sentido.

Como a direção é o e i x o   y no sentido negativo, então esse produto vetorial vai ser na direção e sentido - j ^ .

E → está no sentido positivo do e i x o   z ( k ^ ), e usando a regra da mão direita sabemos que ao colocar a mão paralela a E → e “dar um tapa” em B → , o nosso dedão apontaria pra - j ^ .

Para isso, B → tem que estar no sentido negativo do e i x o   x . De fato:

z ^ × - x ^ = - y ^

Resposta

Letra a)

O módulo do campo magnético é B ≅ 3,34 ∙ 10 - 7 V ∙ s m 2 .

Letra b)

A direção e sentido do campo magnético é o sentido negativo do e i x o   x .

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 37-79, modificado

A componente elétrica de um feixe de luz é dada por

E y = 5,00 V m sen ⁡ 1,00 × 10 6 m - 1 z + ω t

  1. Escreva uma expressão para a componente magnética da onda, incluindo o valor de ω .
  2. Determine:

  3. O comprimento de onda da luz.
  4. O período da luz.
  5. O campo magnético oscila paralelamente a que eixo?
  6. Em que região do espectro eletromagnético está essa onda?
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Passo 1

Letra a)

Essa pergunta tem duas partes: a primeira é encontrar o valor de ω e a segunda é escrever a expressão do campo magnético que corresponde a esse campo elétrico.

Vamos começar achando ω .

A velocidade da onda é dada por:

ω k = c

A velocidade da luz é uma constante, c = 299   792   458 m s ≅ 300   000   000 m s . O número de onda é dado no enunciado, dentro do seno, k = 1,00 ∙ 10 6   m - 1 . Assim, podemos achar a frequência angular.

ω = k ∙ c ≅ 1,00 ∙ 10 6 ∙ 3,00 ∙ 10 8 = 3,00 ∙ 10 14 r a d s

Passo 2

O segundo passo é achar a expressão para o campo magnético. Tem uma relação que nos dá exatamente a amplitude do campo magnético a partir do campo elétrico.

E = c B

Assim, B = E c = 1 c 5,00 V m sen ⁡ 1,00 × 10 6 m - 1 z + ω t   .

Dividindo a amplitude pela velocidade da luz:

B m = 5,00 300   000   000 ≅ 1,67 ∙ 10 - 8 T

B = 1,67 ∙ 10 - 8 T sen ⁡ 1,00 × 10 6   m - 1 z + 3,00 × 10 14   r a d s t

Passo 3

Letra b)

Para achar o comprimento de onda, temos a relação entre ele e o número de onda.

k = 2 π λ

Como k = 1,00 × 10 6 m - 1 , temos:

λ = 2 π k = 2 π 10 6 ≅ 6,28 ∙ 10 - 6 m

Passo 4

Letra c)

Para achar o período, usamos a frequência angular.

ω = 2 π f = 2 π T

Como encontramos na letra a, ω = 3,00 ∙ 10 14 r a d s .

T = 2 π ω = 2 π 3 ∙ 10 14 ≅ 2,09 ∙ 10 - 14   s