Propagação das Ondas Eletromagnéticas

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Teoria

Em alguns exercícios de encontrar as propriedades ondulatórias da luz, pode ser que surjam, dentro da função cosseno, não só uma variável espacial x , mas duas variáveis x e y .

E = E m á x cos ⁡ 2 3 x + 1 3 y - ω t + ϕ

Nestes casos, como encontrar a direção de propagação e o comprimento de onda da luz?

Ondas Eletromagnéticas numa direção qualquer

Quando a onda se propaga paralela a um dos eixos cartesianos, o campo elétrico ou o campo magnético vão sempre depender apenas do tempo e da variável correspondente ao eixo. Por exemplo:

E = E m á x cos ⁡ k x - ω t

O campo elétrico depende apenas de x , logo a onda se propaga paralelamente ao eixo x .

Mas como ficaria minha equação caso a onda se propagasse numa direção qualquer?

A onda está se propagando na direção e sentido do vetor unitário k ^ . Uma forma de escrever esse vetor de propagação é:

k ^ = E → × B → E → × B →

Em geral, a gente não precisa dessa fórmula pra fazer exercícios. Mas eu quis deixar claro que a onda eletromagnética se propaga no sentido do produto vetorial de E → e B → ! E isso sim é importante.

Agora, vamos definir um vetor k → que tenha a mesma direção e sentido de k ^ , mas multiplicado pelo número de onda.

k → = 2 π λ k ^

O motivo de a gente falar desse vetor é que agora a função senoidal que descreve os campos elétrico e magnético vai sofrer uma pequena mudança.

E → = E m á x cos ⁡ ( k → ∙ r → - ω t + ϕ ) n ^

Nesta nova equação, k → é como se fosse o número de onda, nos dando também a direção e o sentido da onda. Usamos r → no lugar de x para o ponto do espaço onde estou olhando. O vetor unitário n ^ é a direção de vibração do campo elétrico, sendo perpendicular a k → .

A operação k → ∙ r → é o produto interno entre k → e r → .

Vamos deixar mais concreto. Digamos que a onda se propague no p l a n o   x y , fazendo um ângulo de 45 ° com o eixo x .

Essa direção é dada pelo vetor unitário 2 2 ,   2 2 , 0 . Digamos que o comprimento de onda da luz seja dado por 600   n m .

Assim:

k → = 2 π 600 ∙ 2 2 i ^ + 2 2 j ^

k → ∙ r → = 2 π 600 ∙ 2 2 i ^ + 2 2 j ^ ∙ x i ^ + y j ^ = π 2 600 x + π 2 600 y

E → = E m á x cos ⁡ π 2 600 x + π 2 600 y - ω t + ϕ

E aí está, desvendado o mistério da dependência com y !

Quando o campo elétrico ou o campo magnético depender de mais de uma coordenada, é porque a direção de propagação da onda não é paralela a nenhum eixo.

Notação complexa

Como a gente tem muitos senos e cossenos nessa matéria às vezes é conveniente usar notação diferente chamada de notação complexa. Nada mais é que pegar uma função exponencial de número complexo

e i θ

Essa exponencial complexa se relaciona com senos e cossenos por meio da fórmula de Euler

e i θ = cos ⁡ θ + i s e n θ

A ideia da notação complexa é simplificar a notação (perdão a piadinha hahaha)

Funciona assim:

Vamos supor que você tem o seguinte campo

E → = E 0 cos ⁡ k x - ω t n ^

A forma de escrever usando números complexos é

E → = E 0 e i ( k x - ω t ) n ^

Quando quiser recuperar o campo original é só pegar a parte real desse número, que será a parte com cosseno

R e { E → } = E 0 cos ⁡ k x - ω t n ^

Tá, saquei. Mas de que isso me adianta?

Tem duas vantagens! A primeira é que derivadas ficam mamão com açúcar de fazer por que é a derivada de uma exponencial!

Ex:

∂ E → ∂ t = ∂ ∂ t E 0 e i ( k x - ω t ) n ^ = - i ω E 0 e i ( k x - ω t ) n ^

A segunda é que fica mais compacto e fica mais fácil pra somar campos

Ex: Supondo que temos dois campos de mesma intensidade

E → = E 0 e i k x - ω t n ^

E → ' = E 0 e i ( k x - ω t + π ) n ^

Se quisermos somar os dois temos

E → + E → ' = E 0 e i k x - ω t + e i k x - ω t + π n ^

Botando o e i ( k x - ω t ) em evidência temos

E → + E → ' = E 0 e i k x - ω t 1 + e i π n ^

Pela definição da exponencial complexa

e i π = cos ⁡ π + i s e n π = - 1 + i 0 = - 1

Assim

E → + E → ' = E 0 e i k x - ω t 1 - 1 n ^

E → + E → ' = 0

E agora, vambora pros exercícios?

Notação complexa

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma onda eletromagnética senoidal plana se propagando no ar possui comprimento de onda igual a 3,00   cm e a amplitude do campo elétrico é igual a 9,00   V / m .

Dê as suas respostas em valores numéricos.

  1. Qual é a frequência desta onda?
  2. Sabendo que o vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ , escreva uma possível expressão para o vetor campo elétrico em função do tempo e do espaço.
  3. A partir da sua resposta do item b), escreva uma possível expressão para o vetor campo magnético em função do tempo e do espaço.

Passo 1

Letra a)

O problema nos dá o comprimento de onda λ , a amplitude do campo elétrico E máx e nos pede a frequência da onda f .

Para descobrir o valor de f podemos usar a seguinte relação:

c = λ f → f = c λ

Onde:

λ = 3,0   cm = 3 × 10 - 2   m ;

c = 3,0 × 10 8   m / s ;

Logo:

f = 3,0 × 10 8 3,0 × 10 - 2 = 10 10   Hz

Passo 2

Letra b)

O vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ .

Sabendo que o vetor de campo elétrico E → deve ser perpendicular à direção de propagação, podemos colocar o campo elétrico no sentido do vetor + y ^ .

Sabemos também que uma onda eletromagnética senoidal possui um campo elétrico do tipo:

E → = E máx cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t y ^

Nesse caso, aparece um k → pois a onda se desloca tanto no sentido + 4 x ^ quanto no sentido - 3 z ^ .

Em casos como esse, dizemos que

k → = k ⋅ ( 4 x ^ - 3 z ^ ) 4 x ^ - 3 z ^

Relaxa! Eu sei que isso é novo! Mas é importante você lembrar disso, porque questões como esta e a anterior costumam cair bastante!

Assim, o número de onda k é calculado por

ω = k c → 2 π f = k c

k = 2 π f c

Onde:

f = 10 10   Hz ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

k = 2 π × 10 10 3 × 10 8 = 200 π 3

k → = 200 π 3   ( 4 x ^ - 3 z ^ ) 4 x ^ - 3 z ^

Como:

4 x ^ - 3 z ^ = 4 2 + - 3 2 = 5

k → = 200 π 15 ( 4 x ^ - 3 z ^ )

Se a gente fizer o produto:

k → ⋅ r → = 200 π 15 4 x ^ - 3 z ^ ⋅ x x ^ + y y ^ + z z ^

k → ⋅ r → = 200 π 15 4 x - 3 z

Como dissemos anteriormente, podemos calcular o valor de ω através da seguinte relação:

ω = 2 π f

Onde:

f = 10 10   H z ;

Logo:

ω = 2 π × 10 10   rad / s

Como o problema nos diz que E m á x vale 9,00   V/m , agora podemos, finalmente, escrever o vetor campo elétrico E → , dado por:

E → = 9,00 ⋅ cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π ⋅ 10 10 t y ^         ( V/m)

Passo 3

Letra c)

O vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 x ^ - 3 z ^ .

Sabemos que o vetor de campo elétrico B → deve ser perpendicular à direção de propagação 4 x ^ - 3 z ^ , e perpendicular ao vetor campo elétrico E → ( + y ^ ) .

Daqui se supormos que o unitário do campo magnético seja B ^ = B x ,   B y ,   B z , então, usando o produto escalar, vamos ter

B ^ ⋅ E ^ = B x ,   B y ,   B z ⋅ 0,1 , 0 = B y

Como esse produto escalar tem que ser nulo, já achamos que

B y = 0

Para achar as outras duas componentes podemos usar tanto B ^ ⋅ k ^ = 0 quanto E ^ × B ^ = k ^

Usando E ^ × B ^ = k ^

E ^ × B ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 4 x ^ - 3 z ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 5

Portanto:

E ^ × B ^ = 0,1 , 0 × B x , 0 , B z = x ^ y ^ z ^ 0 1 0 B x 0 B z

B z x ^ - B x z ^ = 4 x ^ - 3 z ^ 5

B z = 4 5 ;   B x = 3 5

Ou usando B ^ ⋅ k ^ = 0

B ^ ⋅ k ^ = B x ,   0 ,   B z ⋅ 4 5 ,   0 ,   - 3 5 = 4 B x 5 - 3 B z 5 = 0 → B x = 3 4 B z

Como o vetor tem que ser unitário

B x 2 + B y 2 + B z 2 = 1 → 3 4 B z 2 + 0 2 + B z 2 = 1

9 B z 2 16 + B z 2 = 1

25 B z 2 16 = 1 → B z = 4 5 → B x = 3 4 4 5 = 3 5

B z = 4 5 ;   B x = 3 5

Assim finalmente o unitário do campo magnético será

B ^ = 3 5 x ^ + 4 5 z ^

Sabemos esta onda eletromagnética senoidal possuirá um campo magnético do tipo:

B → = B máx cos ⁡   k → ⋅ r → - ω t 3 x ^ + 4 z ^ 5  

Onde:

B máx = E máx c = 9 3 × 10 8 = 3,0 × 10 - 8   T ;

B → = 3,0 × 10 - 8 cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π 10 10 t 3 x ^ + 4 z ^ 5     ( T)

Resposta

Letra (a):

f = 10 10   Hz

Letra (b):

E → = 9,00 cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π 10 10 t y ^           ( V/m)

Letra (c):

B → = 3,0 × 10 - 8 cos ⁡ 200 π 15 4 x - 3 z - 2 π 10 10 t 3 x ^ + 4 z ^ 5           ( T)

Exercício Resolvido #2

É conhecido que um campo elétrico de uma onda plana eletromagnética propagando-se num meio dielétrico (onde μ = μ c = 4 π × 10 - 7   T . m / A ) é dado por

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

onde E 0 = 2 × 10 - 6   V / m , ω = 6 × 10 5   r a d / s e k → = 3 × 10 - 3   m - 1 .

Obs: As relações e as equações para uma onda eletromagnética num meio dielétrico são as mesmas que para uma onda eletromagnética no vácuo, substituindo apenas nas relações a velocidade c da onda eletromagnética no vácuo pela velocidade v da onda eletromagnética no meio dielétrico.

  1. Qual é o vetor unitário k ^ da direção propagação da onda?
  2. Calcule o vetor campo magnético B → da onda.

Passo 1

a ) Qual é o vetor unitário k ^ da direção propagação da onda?

No fundo, nós poderíamos reescrever o vetor campo elétrico da seguinte forma:

E → = E 0 cos ⁡ k → ⋅ r → - ω t z ^

O termo k → ∙ r → está associado à direção de propagação da onda, e r → = x ,   y ,   z .

Eu sei que essa não é uma notação que aparece sempre, mas acaba sendo válida principalmente nos casos que a onda não se propaga em uma direção paralela a um dos eixos coordenados.

Como todo o vetor, podemos reescrever o vetor k → da seguinte forma:

k ^ = k → k → → k → = k → k ^

Substituindo isso na expressão do campo elétrico, teremos:

E → = E 0 cos ⁡ k → k ^ ⋅ r → - ω t z ^

Agora vamos comparar com a expressão do campo elétrico dado pelo problema:

E → = E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

Comparando essas suas expressões, podemos dizer que:

k ^ ∙ r → = 2 2 x - 2 2 y

k ^ ∙ x ,   y ,   z = 2 2 x - 2 2 y

Logo:

k ^ = 2 2 ,   - 2 2 ,   0

Ou:

k ^ = 2 2 x ^ - 2 2 y ^

Passo 2

b ) Calcule o vetor campo magnético B → da onda.

Uma forma de calcular o campo magnético utilizando o vetor k ^ , é através da expressão:

B → = k ^ × E → v

Tem um detalhe importante que não dá pra esquecer, a onda está se propagando em um meio dielétrico, então ao invés de usarmos c , teremos que usar v para a velocidade da luz no meio, onde:

v = ω k →

v = 6 × 10 5 3 × 10 - 3

v = 2 × 10 8   m / s

Agora já podemos calcular o campo magnético.

B → = 1 v 2 2 x ^ - 2 2 y ^ × E 0 cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t z ^

Como os números são meio esquisitos, para não nos confundirmos, uma boa é ir substituindo aos poucos. Vamos começar organizando esse cara:

B → = E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t 2 2 x ^ - 2 2 y ^ × z ^

B → = E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t - 2 2 x ^ - 2 2 y ^

B → = - 2 2 E 0 v cos ⁡ k → 2 2 x - 2 2 y - ω t x ^ + y ^

Agora podemos substituir os valores de E 0 , v , k → e ω .

B → = - 2 2 2 × 10 - 6 2 × 10 8 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^ + y ^

Finalmente:

B → = - 2 2 × 10 - 14 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^ + y ^   T

Resposta

a )

k ^ = 2 2 x ^ - 2 2 y ^

b )

B → = - 2 2 × 10 - 14 cos ⁡ 3 × 10 - 3 2 2 x - 2 2 y - 6 × 10 5 t x ^   + y ^     T