Interferência de Ondas

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala Aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre Interferência de Ondas?!

Vamos começar esse papo lembrando da infância! Se você brincava de pular corda quando criança, você já deve ter “sacodido” a corda e criado ondas!

Mas se você sacode a corda de um lado e seu amiguinho sacode de outro, vão ser criado duas ondas que vão se encontrar e quando isso acontece temos uma interferência!

Acontece que interferência é um conceito super importante na física! E hoje a gente vai aprender sobre ele! 😁 Se liga só na imagem abaixo:

Interferência de Ondas: (a) Construtiva (b) Destrutiva
Interferência de Ondas: (a) Construtiva (b) Destrutiva

Como a gente pode ver na imagem acima, existem duas possibilidades! As ondas podem se somar, nesse caso a gente cria uma única onda grandona e chamamos esse fenômeno de interferência construtiva ou elas podem ter um efeito de aniquilação, nesse caso temos uma interferência destrutiva!

  • Clique aqui para relembrar conceitos importantes de ondas!

Interferência de Ondas: Fórmula

Uma onda pode ser descrita matematicamente usando a seguinte fórmula:

Onde é a amplitude da onda, é o número de onda, é sua frequência angular e a constante de fase.

Então podemos, por exemplo, vamos considerar duas ondas:

Então a onda resultante é dada por:

Logo:

Só somar mesmo! 😉

Interferência Construtiva

A interferência construtiva acontece quando as ondas estão em uma mesma fase

Nesse caso as amplitudes se somam! Na figura temos um exemplo de duas ondas que sofrem interferência construtiva:

Exemplo: Onda y1 e y2 - Interferência Construtiva
Exemplo: Onda y1 e y2 - Interferência Construtiva

Matematicamente elas são descritas por:

Somando:

Podemos representar sua soma graficamente:

Interferência Construtiva.
Interferência Construtiva.

Se medirmos a amplitude da onda vermelha e azul, ela vai dar exatamente a amplitude da onda verde!

Interferência Destrutiva

Se em uma interferência construtiva as amplitudes se somam, logo na interferência destrutiva as amplitudes se subtraem!

Na figura podemos entender melhor como isso funciona, temos um exemplo de duas ondas que sofrem interferência destrutiva:

Exemplo: Onda y1 e y2 - Interferência Destrutiva
Exemplo: Onda y1 e y2 - Interferência Destrutiva

Escrevemos suas equações:

Nesse caso em que há diferença de fase igual a º, para fazemos a soma precisamos de uma sacada da trigonometria:

Logo temos:

Somando:

Graficamente temos:

Interferência Destrutiva
Interferência Destrutiva

Acontece exatamente como prevíamos! Em uma interferência desstrutiva as amplitudes se subtraem!

Agora a gente já pode praticar com exercícios!

Interferência de Ondas: Fórmula

Interferência Construtiva

Interferência Destrutiva

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Duas ondas harmônicas viajam ao longo da mesma corda. As ondas têm mesmas velocidade e frequência, porém constante de fase e amplitude A 1   e   A 2 diferentes. Sabendo que A 1 > A 2 e usando o princípio da superposição, podemos concluir que a amplitude resultante A será tal que:

  1. A = A 1 + A 2
  2. A = A 1 - A 2
  3. A 2 ≤ A ≤ A 1
  4. A 1 - A 2 ≤ A ≤ A 1 + A 2
  5. A 1 ≤ A ≤ A 1 + A 2

Passo 1

Aqui temos uma interferência entre ondas mecânicas, onde as duas ondas tem constantes de fase diferentes. Não sabemos absolutamente nada dessas fases, então vamos olhar os extremos dessa situação. Qual o pior caso de interferência? A interferência destrutiva, a menor amplitude vai ser

A mín = A 1 - A 2

Isso porque A 1 > A 2

O melhor caso de interferência vai ser a interferência construtiva, a maior amplitude vai ser

A máx = A 1 + A 2

Como não sabemos nada das fases a amplitude resultante vai ficar entre um valor e outro

A 1 - A 2 ≤ A ≤ A 1 + A 2

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, estão defasadas de π / 2 rad. Qual é a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum Y m das duas ondas?

Passo 1

Como elas são iguais e só apresentam defasem de onda, podemos dizer que k , ω e A são iguais.

Nesse caso, a amplitude resultante é dada pela fórmula:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

onde Δ ϕ = ϕ 1 - ϕ 2 é a diferença de fase.

Resolvendo:

Δ ϕ = ϕ 1 - ϕ 2 = π / 2

A r e s = 2 A cos ⁡ π / 2 2

A r e s = 2 A cos ⁡ π 4

A r e s = 2 A × 0,705

Resposta

A r e s = 1,41   A

Exercício Resolvido #3

Qual a diferença de fase entre duas ondas progressivas (que de outra forma seriam idênticas) que se movem na mesma direção ao longo de uma corda esticada, que fará com que a onda resultante tenha amplitude 1,5 vezes a da amplitude comum às duas ?

Passo 1

A questão nos diz que as ondas são progressivas e que, se não estivéssemos na situação do problema, elas seriam idênticas.

Logo, podemos deduzir que elas são a mesma onda transladada, ou seja, possuem o mesmo A , ω   e k .

O que isso quer dizer? Quer dizer que podemos usar a equação:

y = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 ⏟ amplitude × sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 1 + ϕ 2 2

Mas como só estamos interessados na diferença de fase e vamos usar a amplitude resultante, para achá-la, podemos usar apenas:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

Onde Δ ϕ é a diferença de fase entre as ondas.

(:

Passo 2

Bom, o problema nos diz que a onda resultante tem amplitude 1,5 vezes maior que a onda original. Vamos escrever, então:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 = 1,5 A ↔ cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 4  

Passo 3

Temos quase o que precisamos! Agora basta apelarmos para a trigonometria. Usando a relação:

cos ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 1

Logo:

cos ⁡ Δ ϕ = 2 cos 2 ⁡ Δ ϕ - 1 = 2 ⋅ 9 16 - 1 = 9 8 - 1 = 1 8

Agora a gente tem que usar uma calculadora científica pra calcular o cos - 1 ⁡ 1 8 ! Calculando:

cos - 1 ⁡ ( 1 / 8 ) = Δ ϕ ≅ 1,42   rad

Resposta

Δ ϕ ≅ 1,45   rad

Exercício Resolvido #4

Duas ondas harmônicas de mesmas frequências e número de onda interferem. A potência media de cada uma delas é 10   W . Qual deve ser a diferença de fase entre elas para que a onda resultante tenha potência média igual a 30   W ?

  1. 0   r a d
  2. π / 6   r a d
  3. π / 4   r a d
  4. π / 3   r a d
  5. π / 2   r a d
  6. Não há resposta, pois a potencia média resultante não pode ser maior que a soma das potencias medias individuais.

Passo 1

Queremos saber a diferença de fase entre as ondas.

Sabemos que elas tem o mesmo k e o mesmo ω .

Então as equações das ondas são:

y 1 = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 1

y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

Não sabemos para onda elas se propagam mas isso não vai interferir.

Passo 2

O problema nos diz que as ondas tem o mesmo valor de potência média, separadamente.

Lembrando que potência média é dada por:

P = 2 μ v π A f 2

Para as duas ondas, temos os mesmos valores de f e v , pois as ondas tem comprimentos de onda iguais (mesmo valor de k ).

Além disso, μ também é igual, pois as ondas se propagam na mesma corda.

Igualando as potências das ondas, temos:

P 1 = P 2

2 μ v π A 1 f 2 = 2 μ v π A 2 f 2

⇒ A 1 = A 2

Logo, as amplitudes também são iguais:

A 1 = A 2 = A

Passo 3

Como temos valores iguais de k , ω e A , então a onda resultante é dada por:

y = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 sen ⁡ k x - ω t + ϕ 1 + ϕ 2 2

E a amplitude resultante é, portanto:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

Agora, podemos calcular a potência da onda resultante e comparar com a potência de cada onda sozinha, para descobrir o valor de Δ ϕ , que é o que queremos.

Passo 4

Calculando a potência da onda resultante:

P r e s = 2 μ v π A r e s f 2

Os valores de v e f são os mesmos que usamos para calcular a potência de cada onda sozinha, pois a onda resultante também tem número de onda k e frequência angular ω .

Além disso, μ também tem o mesmo valor, pois a corda é a mesma.

Então, só o valor da amplitude muda.

O problema nos diz que:

P 1 = P 2 = 10   W

P r e s = 30   W

Logo:

P r e s = 3 P 1

Passo 5

Substituindo fórmulas:

P r e s = 3 P 1

⇒ 2 μ v π A r e s f 2 = 3 × 2 μ v π A f 2

Simplificando:

π A r e s f 2 = 3 π A f 2

Tirando a raiz quadrada nos dois lados:

π A r e s f = 3 π A f

⇒ A r e s = 3 A

Passo 6

Substituindo A r e s :

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

⇒ 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 A

⇒ cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 2

O ângulo cujo cosseno é 3 / 2 é 30 ° (ou π / 6 ):

Δ ϕ 2 = π 6

⇒ Δ ϕ = π 3

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #5

Um pulso numa corda é descrito pela função y 1 = 5 2 x - t 2 + 2   e um segundo pulso, na mesma corda, é descrito por y 2 =   -   5 2 x + t - 8 2 + 2 onde x ,   y 1 e   y 2 são dados em c m e t em segundos.

a ) Em que direção cada pulso se propaga? Calcule a velocidade de cada pulso.

b ) Determine em que instante os dois pulsos se cancelam totalmente.

c ) Determine em que ponto os pulsos sempre se cancelam.

Passo 1

a )

Para determinar a velocidade e a direção em que o pulso se propaga, podemos manipular a função y ( x , t ) dos pulsos para achar x ( y , t ) e então derivamos em relação ao tempo!

Simbora!

Para o pulso 1 , temos:

y = 5 2 x - t 2 + 2

2 x - t 2 + 2 = 5 y

2 x = 5 y - 2 + t

x = 5 y - 2 2 + t 2

∂ x ∂ t = 1 2

v 1 = 0,5 c m s

Para o pulso 2 , temos:

y = -   5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 + 2 = - 5 y

2 x = - 5 y - 2 + 8 - t

x = - 5 y - 2 2 + 8 2 - t 2

∂ x ∂ t = - 1 2  

v 2 = - 0,5   c m / s

Portanto, temos que o pulso 1 se desloca para a direita, com velocidade 0,5   c m / s e o pulso 2 se desloca para a esquerda com velocidade 0,5   c m / s .

Passo 2

b )

Para que os pulsos se cancelem, temos que y 1 + y 2 = 0 , agora é só isolar o tempo para determinar o instante em que isso ocorre!

y 1 + y 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 + -   5 2 x + t - 8 2 + 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 = 5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 = 2 x - t 2

2 x + t - 8 = ± ( 2 x - t )

2 x + t - 8 = 2 x - t

2 t = 8

t = 4   s

Passo 3

c )

Para determinar os pontos em que os pulsos sempre se cancelam, precisamos novamente que y 1 + y 2 = 0 , mas nesse caso, precisamos determinar x . Vamos fazer o mesmo mimimi que fizemos no item anterior!

y 1 + y 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 + -   5 2 x + t - 8 2 + 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 =   5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 = 2 x - t 2

2 x + t - 8 = ± ( 2 x - t )

2 x + t - 8 = - 2 x + t

4 x = 8

x = 2   c m

Show!

Resposta

a ) v 1 = 0,5   c m / s , v 2 = - 0,5   c m / s

b ) t = 4   s

c ) x = 2   c m

Exercícios de Livros Relacionados

Uma onda senoidal de frequência angular 1200r a d / s e amplitude 3,00m m é produzida em uma corda de massa específica linear 2,00g / m e 1200N de tensão. (a) Qual é a taxa média com a qual a energia
Duas ondas são descritas por: y 1 = 0,30 s e n [ π ( 5 x - 200 t ) ] y 2 = 0,30 s e n [ π 5 x - 200 t + π 3 ] Onde y 1 , y 2 e x estão em metros e t está em segundos. Quando as duas ondas são combinad
Duas ondas se propagam na mesma corda: y 1 x , t = 4,60m m sen ⁡ ( 2 π x - 400 π t ) y 2 x , t = 5,60m m sen ⁡ ( 2 π x - 400 π t + 0,80 πr a d ) Qual é (a) a amplitude e (b) o ângulo de fase (em relaç
Dois diapasões são tocados e os sons dos dois chegam simultaneamente aos seus ouvidos. Um som tem uma frequência de 256 H z , enquanto o outro tem uma frequência de 258 H z . A frequência do zumbido q
Duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada. Para a onda 1 , y m = 3,0 m m e ϕ = 0 ; para a onda 2 , y m = 5,0 m m e ϕ = 70 ° . Qual é (a) a am