Interferência de Ondas

Teoria Completa

Já pensou no que acontece quando duas ondas se encontram? Dá ruim?

Não! Elas se superpõem. Pode acontecer delas se “somarem”(interferência construtiva):

Ou sofrerem uma “subtração”(interferência destrutiva):

Equação da interferência de ondas

Então, por exemplo, vamos considerar duas ondas:

y 1 = A 1 sen ⁡ k 1 x ± ω 1 t + ϕ 1

y 2 = A 2 sen ⁡ k 2 x ± ω 2 t + ϕ 2

Então a onda resultante é dada por:

y = y 1 + y 2

Logo:

y = A 1 sen ⁡ k 1 x ± ω 1 t + ϕ 1 + A 2 sen ⁡ k 2 x ± ω 2 t + ϕ 2

Só somar mesmo!

Casos comuns

1 )   k e ω são iguais amplitudes e fases podem ser diferentes

Vamos chamar de diferença de fase a diferença entre as fases:

Δ ϕ = ϕ 1 - ϕ 2

Agora, vamos analisar três casos:

  1. O caso em que não há diferença de fase:
  2. Δ ϕ = 0 ⟶ ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ

    Nesse caso, as equações das ondas vão ficar assim:

    y 1 = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ

    y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ

    Então a onda resultante fica assim:

    y = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ + A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ

    y = A 1 + A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ

    Graficamente, é o seguinte:

    Então essa é uma interferência construtiva.

  3. O caso em que há diferença de fase igual a 180 ° :
  4. Δ ϕ = ± 180 °

    ⇒ ϕ 1 - ϕ 2 = ± 180 °

    ⇒ ϕ 1 = ϕ 2 ± 180 °

    Nesse caso, as equações das ondas vão ficar assim:

    y 1 = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2 ± 180 °

    y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

    Dando um pulo na trigonometria, sabemos que:

    sen ⁡ x ± 180 ° = - sen ⁡ x

    Logo:

    sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2 ⏟ ± 180 ° = - sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2 ⏟

    Então:

    y 1 = - A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

    y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

    E agora é só somar:

    y = A 2 - A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

    Também é bem intuitivo: quando a diferença de fase é 180 ° , as ondas se subtraem:

    Essa é uma interferência destrutiva.

  5. O caso em que a diferença de fase é um valor intermediário:

Nesse caso, a onda resultante não vai ficar bonitinha como essas, vai ficar algo mais ou menos assim:

Mas tem uma coisa importante: A amplitude máxima da onda resultante é um valor entre a diferença e a soma das amplitudes das ondas:

A 1 - A 2 < A < A 1 + A 2

Nesse caso, podemos calcular a amplitude usando a fórmula:

A 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 c o s ⁡ ( ϕ 1 - ϕ 2 )

2 )   k , ω e A são iguais:

Nesse caso, a onda resultante é dada por:

y = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 ⏟ amplitude × sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 1 + ϕ 2 2

Ou seja: para qualquer Δ ϕ , podemos calcular a amplitude da onda resultante:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

Perceba que, para Δ ϕ = 0 :

A r e s = 2 A

Para Δ ϕ = ± 180 ° :

A r e s = 0

Intensidade da Onda Resultante

Já vimos que tem como calcular a amplitude resultante. Porém, o que acontece com a intensidade? Como a intensidade se relaciona com a amplitude pela fórmula:

I = 2 μ v π A f 2

Dá pra ver que ela vai mudar! Se isolarmos a amplitude na fórmula acima e substituirmos na fórmula da amplitude resultante vista logo antes, chegaremos na equação da intensidade da onda resultante:

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 c o s ϕ 1 - ϕ 2  

Interferência de Ondas Não Harmônicas

Já vimos que a interferência é o fenômeno que acontece quando duas ondas se encontram, podendo ser construtiva ou destrutiva.

Pelo princípio da superposição, sabemos que basta somar as equações das duas ondas para obter a equação da onda resultante.

y = y 1 + y 2

Nós estudamos a fundo o caso de interferência de ondas harmônicas, que são da forma:

y x , t = f x + v t + g ( x - v t )

Mas o princípio da superposição também é válido para outras funções, por mais maluca que ela seja, como por exemplo:

y ( x , t ) = 7 x - t 2 + 5

Um macete é saber que quando os pulsos se cancelam, a resultante da onda é 0 .

Tem algumas questões que perguntam o tempo ou o ponto em que duas ondas de funções estranhas se cancelam.

Normalmente, você vai trabalhar com as equações dessas funções.

Então, podemos montar:

y 1 + y 2 = 0

Pera! Não entendi!

Estamos somando as equações da onda e igualando é 0, pois é pedido o ponto em que os pulsos se cancelam.

Vamos para os exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 2, Prova2, 2013.2 – Questão 2

Duas ondas harmônicas viajam ao longo da mesma corda. As ondas têm mesmas velocidade e frequência, porém constante de fase e amplitude A 1   e   A 2 diferentes. Sabendo que A 1 > A 2 e usando o princípio da superposição, podemos concluir que a amplitude resultante A será tal que:

  1. A = A 1 + A 2
  2. A = A 1 - A 2
  3. A 2 ≤ A ≤ A 1
  4. A 1 - A 2 ≤ A ≤ A 1 + A 2
  5. A 1 ≤ A ≤ A 1 + A 2
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Passo 1

Aqui temos uma interferência entre ondas mecânicas, onde as duas ondas tem constantes de fase diferentes. Não sabemos absolutamente nada dessas fases, então vamos olhar os extremos dessa situação. Qual o pior caso de interferência? A interferência destrutiva, a menor amplitude vai ser

A mín = A 1 - A 2

Isso porque A 1 > A 2

O melhor caso de interferência vai ser a interferência construtiva, a maior amplitude vai ser

A máx = A 1 + A 2

Como não sabemos nada das fases a amplitude resultante vai ficar entre um valor e outro

A 1 - A 2 ≤ A ≤ A 1 + A 2

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-31

Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, estão defasadas de π / 2 rad. Qual é a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum Y m das duas ondas?

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Passo 1

Como elas são iguais e só apresentam defasem de onda, podemos dizer que k , ω e A são iguais.

Nesse caso, a amplitude resultante é dada pela fórmula:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

onde Δ ϕ = ϕ 1 - ϕ 2 é a diferença de fase.

Resolvendo:

Δ ϕ = ϕ 1 - ϕ 2 = π / 2

A r e s = 2 A cos ⁡ π / 2 2

A r e s = 2 A cos ⁡ π 4

A r e s = 2 A × 0,705

Resposta

A r e s = 1,41   A

Exercício Resolvido #3

UERJ, Física 2, Lista para P1, Lista de Ondas, Extra - 4

Qual a diferença de fase entre duas ondas progressivas (que de outra forma seriam idênticas) que se movem na mesma direção ao longo de uma corda esticada, que fará com que a onda resultante tenha amplitude 1,5 vezes a da amplitude comum às duas ?

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Passo 1

A questão nos diz que as ondas são progressivas e que, se não estivéssemos na situação do problema, elas seriam idênticas.

Logo, podemos deduzir que elas são a mesma onda transladada, ou seja, possuem o mesmo A , ω   e k .

O que isso quer dizer? Quer dizer que podemos usar a equação:

y = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 ⏟ amplitude × sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 1 + ϕ 2 2

Mas como só estamos interessados na diferença de fase e vamos usar a amplitude resultante, para achá-la, podemos usar apenas:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

Onde Δ ϕ é a diferença de fase entre as ondas.

(:

Passo 2

Bom, o problema nos diz que a onda resultante tem amplitude 1,5 vezes maior que a onda original. Vamos escrever, então:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 = 1,5 A ↔ cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 4  

Passo 3

Temos quase o que precisamos! Agora basta apelarmos para a trigonometria. Usando a relação:

cos ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 1

Logo:

cos ⁡ Δ ϕ = 2 cos 2 ⁡ Δ ϕ - 1 = 2 ⋅ 9 16 - 1 = 9 8 - 1 = 1 8

Agora a gente tem que usar uma calculadora científica pra calcular o cos - 1 ⁡ 1 8