Interferência de Ondas

Teoria Completa

Já pensou no que acontece quando duas ondas iguais em sentidos opostos se encontram? Dá ruim?

Não! Elas se superpõem. Pode acontecer delas se “somarem”(interferência construtiva):

Ou sofrerem uma “subtração”(interferência destrutiva):

Equação da interferência de ondas

Então, por exemplo, vamos considerar duas ondas:

y 1 = A 1 sen ⁡ k 1 x ± ω 1 t + ϕ 1

y 2 = A 2 sen ⁡ k 2 x ± ω 2 t + ϕ 2

Então a onda resultante é dada por:

y = y 1 + y 2

Logo:

y = A 1 sen ⁡ k 1 x ± ω 1 t + ϕ 1 + A 2 sen ⁡ k 2 x ± ω 2 t + ϕ 2

Só somar mesmo!

Casos comuns

1 )   k e ω são iguais amplitudes e fases podem ser diferentes

Vamos chamar de diferença de fase a diferença entre as fases:

Δ ϕ = ϕ 1 - ϕ 2

Agora, vamos analisar três casos:

  1. O caso em que não há diferença de fase:
  2. Δ ϕ = 0 ⟶ ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ

    Nesse caso, as equações das ondas vão ficar assim:

    y 1 = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ

    y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ

    E graficamente as duas ondas se comportam da mesma forma, a única mudança é a amplitude.

    Supondo A 2 > A 1 temos o seguinte comportamento das duas ondas.

    Então a onda resultante fica assim:

    y = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ + A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ

    y = A 1 + A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ

    Graficamente, é o seguinte:

    Então essa é uma interferência construtiva.

  3. O caso em que há diferença de fase igual a 180 ° :
  4. Δ ϕ = ± 180 °

    ⇒ ϕ 1 - ϕ 2 = ± 180 °

    ⇒ ϕ 1 = ϕ 2 ± 180 °

    Nesse caso, as equações das ondas vão ficar assim:

    y 1 = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2 ± 180 °

    y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

    Dando um pulo na trigonometria, sabemos que:

    sen ⁡ x ± 180 ° = - sen ⁡ x

    Logo:

    sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2 ⏟ ± 180 ° = - sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2 ⏟

    Então:

    y 1 = - A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

    y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

    Graficamente temos o seguinte comportamento pra cada onda no caso de A 2 > A 1

    E agora é só somar:

    y = A 2 - A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

    E o que acontece nessa soma é isso aqui:

    Rolou uma “Subtração” de ondas, elas se interferiram de forma destrutiva e resultou numa onda menor.

    Quando a diferença de fase é 180 ° , as ondas se subtraem:

    Essa é uma interferência destrutiva.

  5. O caso em que a diferença de fase é um valor intermediário:

Nesse caso foi considerada uma diferença de fase intermediária de ϕ = 45 ° , vamos ver como fica o gráfico, onde:

y 1 = A 1 s e n ( k x - ω t + ϕ )

y 2 = A 2 s e n k x - ω t

No nosso caso pro exemplo ficar mais real foi considerado A 1 = 1.5 u e A 2 = 1   u .

Onde u é uma unidade genérica que vai servir apenas pra gente entender os gráficos.

E a interferência delas vai dar uma onda resultante dessa forma aqui:

Mas tem uma coisa importante: A amplitude máxima da onda resultante é um valor entre a diferença e a soma das amplitudes das ondas:

A 1 - A 2 < A < A 1 + A 2

Se fizermos as contas com as amplitudes teremos:

1,5 - 1 < A < 1,5 + 1

0,5 < A < 2,5

A amplitude encontrada no gráfico estará nesse intervalo.

Caso a gente queira calcular a amplitude a equação abaixo calcula para qualquer caso:

A 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 c o s ⁡ ( ϕ 1 - ϕ 2 )

2 )   k , ω e A são iguais:

Aqui temos então que:

A 1 = A 2 = A

Nesse caso, a onda resultante é dada por:

A R 2 = A 2 + A 2 + 2 A 2 cos ⁡ ∆ ϕ

A R 2 = 2 A 2 ( 1 + cos ⁡ ∆ ϕ )

E aqui se você aplicar a seguinte identidade trigonométrica vai conseguir chegar numa relação melhor pra amplitude resultante:

1 + c o s ⁡ ( ∆ ϕ ) = 2 cos 2 ⁡ ∆ ϕ 2

Substituindo na equação e extraindo a raiz temos:

A R = 2 A c o s ∆ ϕ 2

E a equação da onda vai ficar com essa cara:

y = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 ⏟ amplitude × sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 1 + ϕ 2 2

Perceba que, para Δ ϕ = 0 temos interferência construtiva então:

A R = 2 A

Para Δ ϕ = ± 180 ° temos interferência destrutiva e sendo assim:

A R = 0

Intensidade da Onda Resultante

Já vimos que tem como calcular a amplitude resultante. Porém, o que acontece com a intensidade? A intensidade se relaciona com a amplitude pela fórmula:

I = 2 μ v π A f 2

Pra encontrar uma relação entre as intensidades das ondas basta pegarmos a equação acima, isolar e substituir na equação da amplitude resultante:

A 2 = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 c o s ⁡ ( ϕ 1 - ϕ 2 )

E chegaremos na equação da intensidade da onda resultante:

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 c o s ϕ 1 - ϕ 2  

Vamos calcular a intensidade resultante sabendo que I 1 = 9 W / m 2 e I 2 = 4 W / m 2 e a diferenças de fase são ϕ 1 = 45 ° e ϕ 2 = 30 ° .

Bem de boa, é só substituir na equação da intensidade cada termo:

I = 9 + 4 + 9 × 4 cos ⁡ 45 - 30

I = 18,8 W

Enfim é tranquilo o cálculo da intensidade resultante da onda, a dica aqui é guardar a equação, saber substituir os valores e analisar se algo não tá fazendo sentido.

Se o valor da intensidade for menor que a maior intensidade estamos num ponto de interferência destrutiva e isso pode acontecer, se tivéssemos ϕ 1 = 180 ° e ϕ 2 = 0 , por exemplo:

I = 9 + 4 + 9 × 4 cos ⁡ 180 - 0

I = 7 W / m 2

É isso o que precisamos saber pra cair dentro da prática, vamos fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 2, Prova2, 2013.2 – Questão 2

Duas ondas harmônicas viajam ao longo da mesma corda. As ondas têm mesmas velocidade e frequência, porém constante de fase e amplitude A 1   e   A 2 diferentes. Sabendo que A 1 > A 2 e usando o princípio da superposição, podemos concluir que a amplitude resultante A será tal que:

  1. A = A 1 + A 2
  2. A = A 1 - A 2
  3. A 2 ≤ A ≤ A 1
  4. A 1 - A 2 ≤ A ≤ A 1 + A 2
  5. A 1 ≤ A ≤ A 1 + A 2
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Passo 1

Aqui temos uma interferência entre ondas mecânicas, onde as duas ondas tem constantes de fase diferentes. Não sabemos absolutamente nada dessas fases, então vamos olhar os extremos dessa situação. Qual o pior caso de interferência? A interferência destrutiva, a menor amplitude vai ser

A mín = A 1 - A 2

Isso porque A 1 > A 2

O melhor caso de interferência vai ser a interferência construtiva, a maior amplitude vai ser

A máx = A 1 + A 2

Como não sabemos nada das fases a amplitude resultante vai ficar entre um valor e outro

A 1 - A 2 ≤ A ≤ A 1 + A 2

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-31

Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, estão defasadas de π / 2 rad. Qual é a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum Y m das duas ondas?

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Passo 1

Como elas são iguais e só apresentam defasem de onda, podemos dizer que k , ω e A são iguais.

Nesse caso, a amplitude resultante é dada pela fórmula:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

onde Δ ϕ = ϕ 1 - ϕ 2 é a diferença de fase.

Resolvendo:

Δ ϕ = ϕ 1 - ϕ 2 = π / 2

A r e s = 2 A cos ⁡ π / 2 2

A r e s = 2 A cos ⁡ π 4

A r e s = 2 A × 0,705

Resposta

A r e s = 1,41   A

Exercício Resolvido #3

UERJ, Física 2, Lista para P1, Lista de Ondas, Extra - 4

Qual a diferença de fase entre duas ondas progressivas (que de outra forma seriam idênticas) que se movem na mesma direção ao longo de uma corda esticada, que fará com que a onda resultante tenha amplitude 1,5 vezes a da amplitude comum às duas ?

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Passo 1

A questão nos diz que as ondas são progressivas e que, se não estivéssemos na situação do problema, elas seriam idênticas.

Logo, podemos deduzir que elas são a mesma onda transladada, ou seja, possuem o mesmo A , ω   e k .

O que isso quer dizer? Quer dizer que podemos usar a equação:

y = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 ⏟ amplitude × sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 1 + ϕ 2 2

Mas como só estamos interessados na diferença de fase e vamos usar a amplitude resultante, para achá-la, podemos usar apenas:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

Onde Δ ϕ é a diferença de fase entre as ondas.

(:

Passo 2

Bom, o problema nos diz que a onda resultante tem amplitude 1,5 vezes maior que a onda original. Vamos escrever, então:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 = 1,5 A ↔ cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 4  

Passo 3

Temos quase o que precisamos! Agora basta apelarmos para a trigonometria. Usando a relação:

cos ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 1

Logo:

cos ⁡ Δ ϕ = 2 cos 2 ⁡ Δ ϕ - 1 = 2 ⋅ 9 16 - 1 = 9 8 - 1 = 1 8

Agora a gente tem que usar uma calculadora científica pra calcular o cos - 1 ⁡ 1 8 ! Calculando:

cos - 1 ⁡ ( 1 / 8 ) = Δ ϕ ≅ 1,42   rad

Resposta

Δ ϕ ≅ 1,45   rad

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Física 2, Prova 2, 2014.1 – Questão 3

Duas ondas harmônicas de mesmas frequências e número de onda interferem. A potência media de cada uma delas é 10   W . Qual deve ser a diferença de fase entre elas para que a onda resultante tenha potência média igual a 30   W ?

  1. 0   r a d
  2. π / 6   r a d
  3. π / 4   r a d
  4. π / 3   r a d
  5. π / 2   r a d
  6. Não há resposta, pois a potencia média resultante não pode ser maior que a soma das potencias medias individuais.
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Passo 1

Queremos saber a diferença de fase entre as ondas.

Sabemos que elas tem o mesmo k e o mesmo ω .

Então as equações das ondas são:

y 1 = A 1 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 1

y 2 = A 2 sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 2

Não sabemos para onda elas se propagam mas isso não vai interferir.

Passo 2

O problema nos diz que as ondas tem o mesmo valor de potência média, separadamente.

Lembrando que potência média é dada por:

P = 2 μ v π A f 2

Para as duas ondas, temos os mesmos valores de f e v , pois as ondas tem comprimentos de onda iguais (mesmo valor de k ).

Além disso, μ também é igual, pois as ondas se propagam na mesma corda.

Igualando as potências das ondas, temos:

P 1 = P 2

2 μ v π A 1 f 2 = 2 μ v π A 2 f 2

⇒ A 1 = A 2

Logo, as amplitudes também são iguais:

A 1 = A 2 = A

Passo 3

Como temos valores iguais de k , ω e A , então a onda resultante é dada por:

y = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 sen ⁡ k x - ω t + ϕ 1 + ϕ 2 2

E a amplitude resultante é, portanto:

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

Agora, podemos calcular a potência da onda resultante e comparar com a potência de cada onda sozinha, para descobrir o valor de Δ ϕ , que é o que queremos.

Passo 4

Calculando a potência da onda resultante:

P r e s = 2 μ v π A r e s f 2

Os valores de v e f são os mesmos que usamos para calcular a potência de cada onda sozinha, pois a onda resultante também tem número de onda k e frequência angular ω .

Além disso, μ também tem o mesmo valor, pois a corda é a mesma.

Então, só o valor da amplitude muda.

O problema nos diz que:

P 1 = P 2 = 10   W

P r e s = 30   W

Logo:

P r e s = 3 P 1

Passo 5

Substituindo fórmulas:

P r e s = 3 P 1

⇒ 2 μ v π A r e s f 2 = 3 × 2 μ v π A f 2

Simplificando:

π A r e s f 2 = 3 π A f 2

Tirando a raiz quadrada nos dois lados:

π A r e s f = 3 π A f

⇒ A r e s = 3 A

Passo 6

Substituindo A r e s :

A r e s = 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2

⇒ 2 A cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 A

⇒ cos ⁡ Δ ϕ 2 = 3 2

O ângulo cujo cosseno é 3 / 2 é 30 ° (ou π / 6 ):

Δ ϕ 2 = π 6

⇒ Δ ϕ = π 3

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #5

PUCRIO, Física 2, Prova Final, 2012.2 – Questão 3A

Um pulso numa corda é descrito pela função y 1 = 5 2 x - t 2 + 2   e um segundo pulso, na mesma corda, é descrito por y 2 =   -   5 2 x + t - 8 2 + 2 onde x ,   y 1 e   y 2 são dados em c m e t em segundos.

a ) Em que direção cada pulso se propaga? Calcule a velocidade de cada pulso.

b ) Determine em que instante os dois pulsos se cancelam totalmente.

c ) Determine em que ponto os pulsos sempre se cancelam.

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Passo 1

a )

Para determinar a velocidade e a direção em que o pulso se propaga, podemos manipular a função y ( x , t ) dos pulsos para achar x ( y , t ) e então derivamos em relação ao tempo!

Simbora!

Para o pulso 1 , temos:

y = 5 2 x - t 2 + 2

2 x - t 2 + 2 = 5 y

2 x = 5 y - 2 + t

x = 5 y - 2 2 + t 2

∂ x ∂ t = 1 2

v 1 = 0,5 c m s

Para o pulso 2 , temos:

y = -   5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 + 2 = - 5 y

2 x = - 5 y - 2 + 8 - t

x = - 5 y - 2 2 + 8 2 - t 2

∂ x ∂ t = - 1 2  

v 2 = - 0,5   c m / s

Portanto, temos que o pulso 1 se desloca para a direita, com velocidade 0,5   c m / s e o pulso 2 se desloca para a esquerda com velocidade 0,5   c m / s .

Passo 2

b )

Para que os pulsos se cancelem, temos que y 1 + y 2 = 0 , agora é só isolar o tempo para determinar o instante em que isso ocorre!

y 1 + y 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 + -   5 2 x + t - 8 2 + 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 = -   5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 = 2 x - t 2

2 x + t - 8 = ± ( 2 x - t )

2 x + t - 8 = 2 x - t

2 t = 8

t = 4   s

Passo 3

c )

Para determinar os pontos em que os pulsos sempre se cancelam, precisamos novamente que y 1 + y 2 = 0 , mas nesse caso, precisamos determinar x . Vamos fazer o mesmo mimimi que fizemos no item anterior!

y 1 + y 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 + -   5 2 x + t - 8 2 + 2 = 0

5 2 x - t 2 + 2 =   5 2 x + t - 8 2 + 2

2 x + t - 8 2 = 2 x - t 2

2 x + t - 8 = ± ( 2 x - t )

2 x + t - 8 = - 2 x + t

4 x = 8

x = 2   c m

Show!

Resposta

a ) v 1 = 0,5   c m / s