Difração por Duas Fendas Simples

Teoria Completa

Introdução

Se você chegou até aqui já deve ter ouvido falar em interferência por duas fendas pontuais e difração por fenda simples.

Mas e agora, se eu tiver duas fendas maiores que as pontuais, digamos que elas tenham uma largura a da mesma ordem de grandeza de uma fenda simples de difração espaçadas numa distância d da mesma grandeza da distância das duas fendas pontuais. Ao apontarmos um laser pra essas fendas como será a figura gerada pelo fenômeno?

Desse jeito aqui!

Tá, mas como se formou essa figura diferente que a gente vê na parede?

A figura é a composição dos dois fenômenos já conhecidos só que juntos, esses são:

Interferência por 2 fendas pontuais

E Difração por fenda simples:

A união dos dois gera a figura de Difração por 2 fendas simples, e o esquema dela em desenho é mais ou menos assim:

Agora os dois fenômenos agem em conjunto pra criar uma figura nova na parede, essa figura possui o máximo central aumentado como na difração em fenda simples e os máximos secundários pouco espaçados como na interferência em duas fendas.

A figura também possui pontos mínimos de difração e nesses pontos não costuma ter incidência de luz.

Posição dos máximos e mínimos

Aqui não teremos muitas diferenças os parâmetros continuam os mesmos, se liga na figura:

Onde a é a largura da fenda, d é a distância entre as fendas e θ é o ângulo a partir do meio do ponto que a gente quer analisar.

Se precisarmos calcular o ângulo de um máximo de interferência faremos como antes:

d s e n θ = m λ

E de um mínimo de difração ainda é:

a s e n θ = m λ

Mas agora esses carinhas podem coincidir como na figura que a gente mostrou pro fenômeno da difração em duas fendas, se liga:

Vamos ver o que acontece? Vamos calcular a razão d / a   pra um caso de difração em duas fendas onde o primeiro mínimo de difração coincide com o quinto máximo de interferência e após isso vamos esboçar a figura mostrando quantos máximos de interferência estão compreendidos entre o primeiro e o segundo mínimo de difração.

Para o 1 0 mínimo de difração temos:

a s e n θ = 1 λ

E para o 5 0 máximo de interferência temos:

d s e n θ = 5 λ

E se liga, o comprimento de onda da luz não muda!

Sendo assim a razão é

d s e n θ a s e n θ = 5 λ 1 λ

Enfim:

d a = 5

Mas qual a importância dessa razão? A partir dela a gente sabe a cada quantos máximos vai aparecer um mínimo!

A gente sabe o seguinte, o primeiro mínimo tem um ângulo menor que o segundo pois quanto mais se afasta do centro maior é o ângulo e qualquer máximo compreendido ali terá um ângulo maior que o primeiro mínimo e menor que o maior mínimo se liga na imagem representando um máximo qualquer entre dois mínimos.

Daí a gente tira que:

θ 1 < θ < θ 2

E como o seno é aumenta com o ângulo, temos:

s e n θ 1 < s e n θ < s e n θ 2

E usando a equação da posição dos mínimos de difração temos:

s e n θ 1 = 1 λ a

s e n θ 2 = 2 λ a  

E dos máximos de interferência:

s e n θ = m λ d

E a relação vai ficar:

λ a < m λ d < 2 λ a

Multiplicando tudo por d λ :

d λ λ a < m λ d < 2 λ a

E enfim:

d a < m < 2 d a

Mas a gente já encontrou o valor de d / a   antes certo? Vamos substituir ele?

5 < m < 10

Ou seja, entre o primeiro e o segundo mínimo de difração temos:

m = 6,7 , 8,9

4 máximos de interferência.

E a figura vai ficar:

E olha o seguinte o máximo central é o marco 0, ele não conta como máximo nos múltiplos de m .

Outra coisa interessante é a simetria da figura, ela é idêntica para os dois lados, beleza?

Geralmente os problemas vão te pedir pra encontrar a quantidade de máximos contidos num mínimo e esboçar um gráfico, portanto focamos nisso aqui.

Outra coisa que podem te pedir é a intensidade, vamos ver como é?

Intensidade

Vamos começar olhando graficamente o que acontece, vimos algo parecido na introdução.

O gráfico I × θ pra interferência por duas fendas era:

E da figura de difração era desse jeitinho aqui.

Interferência e difração juntos a gente tem o seguinte gráfico.

E esse camarada é definido pela equação da intensidade dada por:

I = I 0 cos 2 ⁡ β s e n α α 2

Onde cada termo faz predominar um fenômeno, ou seja, cada um é responsável por um fenômeno.

Uma coisa importante, como a equação é um produto de senos e cossenos ao quadrado a intensidade nunca será maior que I 0 . Isso rola porquê essas funções são limitadas entre -1 e 1, e você pode ver também pelo gráfico.

E quem são os coeficientes que apareceram? Bom o β dado em radianos se relaciona com a distância entre as fendas d .

β = π d λ s e n θ

Um outro jeito de ver esse cara é o seguinte, como:

d s e n θ λ = m

β = m π

Lembrando que o m é um múltiplo do máximo de interferência aqui!

E o α em radianos com a largura da fenda a .

α = π a λ s e n θ

Podemos ver esse carinha de outro jeito também:

a s e n θ λ = m

α = m π

Lembrando que o m é um múltiplo do mínimo de difração aqui!

Pra fixar isso vamos calcular a intensidade de uma luz com λ = 650 n m , para a posição angular de 2 ° . Se a largura das fendas a = 0,03 m m   e a distância entre elas é d = 0,05 m m ,sabendo que I 0 = 10 k W / m 2 .

Vamos olhar pra nossa equação da intensidade:

I = I 0 cos 2 ⁡ β s e n α α 2

Precisamos de α e β .

α = π a λ s e n θ = π 0,03 × 10 - 3 650 × 10 - 9 × s e n 3 ° = 2,41 π r a d

β = π d s e n θ λ = π × 0,05 × 10 - 3 650 × 10 - 9 s e n 3 ° = 4,01 π r a d

Substituindo na equação em radianos temos:

I = I 0 cos 2 ⁡ 4,01 π s e n 2,41 π 2,41 π 2 = 0,016 I 0

Substituindo I 0 :

I = 10 × 0,016 = 0,16 W / m 2

Então se tivermos um gráfico de I × θ não tem mistério só se ligar onde usar as equações em radianos, a dica é deixar os resultados em função de π pra ajudar a te lembrar disso.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2012.1, ME1

Considere a interferência da luz de comprimento de onda λ numa fenda dupla, onde a distância entre o centro das duas fendas é d , cada fenda tem uma largura a e a figura de interferência encontra-se numa tela a uma distância D , tal que D ≫ a - d .

Sabendo que θ é o ângulo que define um ponto no anteparo, o primeiro mínimo da difração é dado por sen ⁡ θ igual a:

  1. a / λ
  2. d / λ
  3. λ / a
  4. λ / d  
  5. a / d
  6. d / a
  7. Nenhuma das anteriores
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Passo 1

Sabemos que os ângulos para os quais encontramos os mínimos de difração são dados por:

sen ⁡ θ = m λ a

Onde:

m = ± 1 , ± 2 ,   ± 3 , …

Passo 2

O problema quer saber o valor do sen ⁡ θ para o primeiro mínimo da difração, isso corresponde ao valor de m = 1 , logo:

sen ⁡ θ = λ / a

Resposta

Letra (c): λ / a

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 141-38

Duas fendas de largura a , separadas por uma distância d , são iluminadas por um feixe de luz coerente de comprimento de onda λ .

Qual é a distância entre as franjas claras de interferência observadas em uma tela situada a uma distância D ?

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Passo 1

O ângulo entre uma dada franja clara e o máximo central é:

d sen ⁡ θ = m   λ

Podemos também encontrar a distância entre essa franja e o máximo central:

y D = tan ⁡ θ

Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos, podemos igualar

tan ⁡ θ ≅ sen ⁡ θ

E obter:

y D = m λ d

y = D m λ d

Passo 2

A partir da fórmula anterior, a distância entre duas franjas claras de ordens m 2 e m 1 seria:

Δ y = D m 2 - m 1 λ d

Que para duas franjas consecutivas fica:

Δ y = D λ d

Resposta

Δ y = D λ d

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 141-36

Um feixe luminoso monocromático incide perpendicularmente em um sistema de dupla fenda como o da Fig. 35-10. As fendas têm 46   μ m de largura e a distância entre as fendas é 0,30   m m .

Quantas franjas claras completas aparecem entre os dois mínimos de primeira ordem da figura de difração?

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Passo 1

Vamos fazer esse exercício de duas formas, para treinarmos: A primeira é passo a passo, e a segunda é usando uma dica que diminui muito todo o trabalho (pois ele está todo dentro da dica).

Primeiro nós precisamos saber a distância desses dois mínimos até o centro da figura de difração. Usamos então a condição de mínimos de difração:

sen ⁡ ( θ d i f ) = m λ a

Onde a = 46   μ m = 46 ∙ 10 - 6   m é a largura das fendas e λ é o comprimento de onda da luz. Sendo os dois primeiros mínimos de difração, m = ± 1 . Então, o ângulo de cada um é dado por:

sen ⁡ θ d i f = ± λ 46 ∙ 10 - 6

Passo 2

Agora, precisamos achar o máximo de interferência com a maior distância do máximo central tal que ela ainda seja menor que a distância dos primeiros mínimos.

Condição de máximos de interferência:

sen ⁡ θ i n t = m λ d

Onde d = 0,3   m m = 0,0003   m é a distância entre as fendas e λ é o comprimento de onda da luz. Vamos dizer que o máximo que procuramos é de ordem m n . Então, seu ângulo é dado por:

sen ⁡ θ i n t = m n λ 0,0003

Passo 3

Como comentamos antes, o ângulo do máximo de ordem m n tem que ser menor que o do primeiro mínimo de difração (estamos olhando apenas para o mínimo onde m = 1 por enquanto)

sen ⁡ θ i n t < sen ⁡ ( θ d i f )

m n λ 0,0003 < λ 46 ∙ 10 - 6

m n < 0,0003 46 ∙ 10 - 6 ≅ 6,52

Logo:

m n = 6

E temos 6 máximos de interferência de um dos lados do máximo central. Se fizermos o mesmo para o outro lado, obteríamos a mesma coisa, porém com m n = - 6 . Isso é porque a figura é simétrica.

Logo, temos 12 máximos do lado do máximo central, somando 13 máximos no total (seis de cada lado mais o central).

Passo 4

A forma mais rápida de fazer é pular as etapas de forma consciente.

Todas as etapas que fizemos é o mesmo que procuramos o maior m n tal que:

m n < d a

Onde d é a distância entre as fendas e a é a largura das fendas. Substituindo, teríamos de forma direta:

m n < 0,0003 46 ∙ 10 - 6 ≅ 6,52

m n = 6

Porém, temos que lembrar que essa desigualdade é para apenas um dos dois lados do máximo central. Então, o número de máximos entre os dois primeiros mínimos de difração seria duas vezes esse valor acrescido de um, representando o próprio máximo central.

N = 2 m n + 1  

N = 13

Resposta

Entre os dois mínimos de primeira ordem da figura de difração aparecem 13 franjas claras.

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 140-35

Em um experimento de dupla fenda a distância entre as fendas, d , é 2,00 vezes maior que a largura w das fendas.

Quantas franjas claras existem na envoltória central de difração?

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Passo 1

Para resolver esse problema, temos que trabalhar sempre de forma literal (sem substituir valores, afinal, nós não temos nenhum!).

O maior mínimo que aparece em um dos dois lados do máximo central, dentro da envoltória central de difração é dado por:

m n < d w

Mas o enunciado nos diz que d = 2   w . Substituindo:

m n < 2 w w = 2

Como m n é um número inteiro, o maior valor possível é:

m n = 1

Passo 2

O número de franjas claras dentro da envoltória central vai ser os máximos de um dos dois lados ( que são m n máximos) mais os do outro lado (que também são m n máximos) mais um (o máximo central):

N = 2 m n + 1  

N = 3

Resposta

Existem 3 franjas claras na envoltória central.

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 141-40
  1. Em um experimento de dupla fenda, qual deve ser a razão entre d e a para que a quarta franja lateral clara seja eliminada?
  2. Que outras franjas claras também são eliminadas?
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Passo 1

Letra a)

Para a quarta franja lateral clara ser eliminada ela precisa coincidir com um mínimo de difração.

A distância angular da quarta franja em relação ao centro da figura é:

sen ⁡ ( θ i n t ) = m i n t λ d = 4 λ d

A distância angular dos mínimos de difração é:

sen ⁡ ( θ d i f ) = m d i f λ a

Se estivermos considerando o primeiro mínimo:

sen ⁡ ( θ d i f ) = λ a

Igualando as distâncias:

4 λ d = λ a

d a = 4

Passo 2

Letra b)

As franjas eliminadas serão aquelas que coincidirem com mínimos de difração. Assim:

m i n t λ d = m d i f λ a

Substituindo o resultado que encontramos no item anterior d a = 4

m i n t = 4 m d i f

Como m d i f = 1 ,   2 ,   3 ,   … . , a cada 3 franjas de interferência teremos uma quarta sendo eliminada.

Isso significa as de ordem m i n t = 4 ,   8 ,   12 ,   16 , …

Resposta

Letra (a)

d a = 4

Letra (b)

As franjas claras cuja ordem é múltipla de 4 , m i n t = 4 ,   8 ,   12 ,   …

Exercício Resolvido #6

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 136-36.23

Uma figura de interferência é produzida por uma luz de comprimento de onda igual a 580   n m proveniente de uma fonte distante incidindo sobre duas fendas idênticas paralelas separadas por uma distância (entre seus centros) igual a 0,530   m m .

  1. Se as fendas forem muito estreitas, qual deverá ser a posição do máximo de primeira ordem e do máximo de segunda ordem na experiência de fenda dupla?
  2. Suponha que a largura de cada fenda seja igual a 0,320   m m . Em termos da intensidade I 0 no centro do máximo central, qual é a intensidade em cada uma das posições angulares indicadas no item (a)?
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Passo 1

O problema nos dá o comprimento de onda λ e a distância entre as fendas d .

Letra (a)

Ok, tem uma informação muito importante “escondida” no enunciado da letra (a).

Quando o problema diz que para considerarmos as fendas muito estreitas, nós passamos a considerá-lo com um problema de interferência.

Logo, a posição dos máximos é dada por

d sen ⁡ θ = m λ

sen ⁡ θ = m λ d

Onde:

λ = 580   n m = 5,8 × 10 - 7   m ;

d = 0,530   m m = 5,3 × 10 - 4   m ;

Para m = ± 1 :

sen ⁡ θ = ± 5,8 × 10 - 7 5,3 × 10 - 4  

sen ⁡ θ = ± 1,09 × 10 - 3

θ = ± 0,063 °

Para m = ± 2 :

sen ⁡ θ = ± 2 × 5,8 × 10 - 7 5,3 × 10 - 4  

sen ⁡ θ = ± 2,18 × 10 - 3

θ = 0,125 °

Passo 2

Letra (b)

A intensidade é dada por:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

γ = 2 π λ d sen ⁡ θ

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

Onde:

sen ⁡ θ = m λ d

Logo:

γ = 2 π m

β = 2 π m a d

Como na nossa fórmula pra intensidade tem esses caras divididos por 2 , então fica mais fácil calcular

γ 2 = π m

β 2 = π m a d

Para m = ± 1 :

a = 0,320   m m = 3,2 × 10 - 4   m ;

d = 0,530   m m = 5,3 × 10 - 4   m ;

γ 2 = ± π

β 2 = ± π 1 × 3,2 × 10 - 4 5 , 3 × 10 - 4 = ± 0,6 04 π

Para m = ± 2 :

a = 0,320   m m = 3,2 × 10 - 4   m ;

d = 0,530   m m = 5,3 × 10 - 4   m ;

γ 2 = ± 2 π

β 2 = ± π 2 × 3,2 × 10 - 4 5 , 3 × 10 - 4 = ± 1 , 2 07 π

Passo 3

Para m = ± 1 :

I = I 0 sen ⁡ 0,6 04 π 0,6 04 π 2 cos 2 ⁡ π = I 0 sen ⁡ 0,604 π 0,604 π 2

I ≅ 0,249   I 0

Para m = ± 2 :

I = I 0 sen ⁡ 1,2 07 π 1,2 07 π 2 cos 2 ⁡ 2 π = I 0 sen ⁡ 1,207 π 1,207 π 2

I ≅ 0,025 I 0

Resposta

Letra (a):

Para m = ± 1 : θ = ± 0,063 °

Para m = ± 2 :

  θ = 0,125 °

Letra (b):

Para m = ± 1 : I ≅ 0,249   I 0

Para m = ± 2 :

I ≅ 0,025 I 0

Exercício Resolvido #7

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 141-39
  1. Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros mínimos da envoltória de difração à direita e à esquerda do máximo central em uma figura de difração de dupla fenda se λ = 550   n m , d = 0,150   m m e a = 30,0   μ m ?
  2. Qual é a razão entre as intensidades da terceira franja clara e da franja central?
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Passo 1

Letra a)

A distância entre as fendas é d = 0,150   m m = 0,15 ∙ 10 - 3 m e a largura de cada uma é a = 30,0   μ m = 30 ∙ 10 - 6   m

A franja clara de maior ordem dentro da envoltória central de difração é dada por:

m n < d a = 0,150 ∙ 10 - 3 30,0 ∙ 10 - 6 = 5

m n = 4

A quantidade de franjas claras que aparecem na envoltória central será:

N = 2 m n + 1

N = 9

Passo 2

Letra b)

A razão entre a intensidade de um ponto qualquer e da franja central é:

I I c e n = sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

Para uma franja clara de interferência:

d sen ⁡ ( θ ) = m λ

sen ⁡ ( θ ) = m λ d

m = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Nesse caso, sendo a terceira franja:

sen ⁡ ( θ ) = 3 λ d

γ 2 = π   d sen ⁡ θ λ = π ∙ d λ ∙ 3 λ d = 3 π

Substituindo:

cos 2 ⁡ 3 π = 1