Difração por Duas Fendas Simples

Teoria Completa

Figura de interferência e difração em duas fendas

Na vida real, é muito difícil ter uma fenda tão pequena, mas tão pequena, que possamos considerar pontual. Em geral, nós temos os efeitos de interferência por fenda dupla e de difração por uma fenda acontecendo juntos. Uma figura mais realista do experimento seria:

(Eu tirei essa foto do experimento no laboratório hehe)

Tem um monte de sujeira em volta (que é apenas sujeira e umas ranhuras das fendas mesmo) e uma linha de franjas de interferências claras e escuras no meio.

Essa figura de interferência é a mesma do que para duas fendas pontuais, mas com a diferença de ter a figura de difração em uma fenda simples “em volta” dela. Vamos ver o experimento:

Figura de difração para uma fenda simples de largura a :

Figura de interferência para duas fendas separadas por uma distância d :

Gráfico da intensidade para duas fendas de largura a , separadas por uma distância d :

Assim, a posição dos máximos e mínimos são as mesmas que para a interferência por duas fendas estreitas, mas com uma diferença: Alguns máximos de interferência não vão aparecer, pois eles podem coincidir com os mínimos da envoltória!

Assim, eles vão virar mínimos de difração!

Agora vamos relembrar os critérios:

Máximos de interferência:

d sen ⁡ θ = m i λ

m i = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Mínimos de interferência:

d sen ⁡ θ = m i + 1 2 λ

m i = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Mínimos de difração (envoltória):

sen ⁡ θ = m d λ a

m d = ± 1 , ± 2 ,   ± 3 , …

Lembrando que, se um mínimo de difração acabar ficando na mesma posição de um máximo de interferência, esse máximo é apagado da face da Terr... digo, da figura!

Além disso, ainda podemos usar a aproximação de pequenos ângulos, aquele lindo presente divino que diz que, para pequenos ângulos:

sen ⁡ θ ≅ θ

tan ⁡ θ ≅ sen ⁡ θ

Para obter a distância das franjas de interferência até a franja central.

Máximos de interferência:

y m á x = R m i λ d

m i = 0 , ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 , …

Mínimos de interferência:

y m í n = R m i + 1 2 λ d

m i = 0 , ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 , …

Mínimos de difração (envoltória):

y m = R m d λ a

m d = ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 , …

Número de Franjas

Uma forma mais realista do experimento de dupla fenda é dada pelos efeitos de interferência e difração juntos. Assim, nós temos franjas claras e escuras intercaladas com uma “envoltória” dada pela figura de difração em fenda simples.

Nesse caso, podemos contar 11 franjas claras no meio da figura. Porém, tem como controlar o número de franjas dentro de cada envoltória. De fato, às vezes alguns problemas podem te pedir pra calcular quantas franjas teriam no meio da figura. Vamos ver como resolver com um exemplo

Ex:

Digamos que a distância entre as fendas seja d = 0,6 m m e a largura de cada fenda seja a = 0,2 m m , e que a nossa luz tenha um comprimento de onda de λ = 670 n m .

Para sabermos quantas franjas vão ter na envoltória central, primeiro precisamos saber a largura dessa envoltória. O que limita o tamanho da envoltória central são as posições dos mínimos correspondentes a m d = 1 e m d = - 1 .

O primeiro mínimo de difração, que corresponde a m d = 1 . Assim:

sen ⁡ θ d i f r a ç ã o = 1 λ a = 670 n m 0,2 m m = 3350 ∙ 10 - 6

Agora, para saber quantas franjas cabem nessa largura, nós precisamos da distância entre as franjas! A distância de uma franja clara até a franja clara central é dada por:

sen ⁡ θ = m i λ d

m i = ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Vamos olhar só os valores positivos, que correspondem a parte acima do meio da figura.

Digamos que a última franja que ainda cabe nessa envoltória corresponde a m i ' . Nesse caso, m i ' seria o número de franjas que cabem em metade da envoltória (tirando a franja central). Ela vai ser dada por:

sen ⁡ θ f r a n j a = m i ' λ d = m i ' ∙ 670 n m 0,6 m m = m i ' ∙ 3350 3 ∙ 10 - 6 n m

Assim, o ângulo dessa franja tem de ser menor que o ângulo do mínimo de difração, ou seja:

sen ⁡ θ f r a n j a < sen ⁡ θ d i f r a ç ã o

m i ' ∙ 3350 3 < 3350

m i ' < 3

O maior valor de m i para o qual isso vale é m i ' = 2 . Assim, a segunda franja ainda está no centro, enquanto a terceira franja coincide exatamente com o mínimo de difração, e por isso ela desaparece da figura! É por isso que colocamos “menor que” e não “menor ou igual que”.

Com isso, temos 2 franjas de cada lado do máximo central além da franja central. Logo, temos 2 + 2 + 1 = 5 franjas no meio da figura.

Assim, de forma geral, a resolução do problema se resume a nossa desigualdade:

sen ⁡ θ f r a n j a < sen ⁡ θ d i f r a ç ã o

m i ' ∙ λ d < λ a

Que, rearranjando, fica:

m i ' < d a

Logo, para achar o número de franjas no meio da figura, nós dividimos a distância entre as fendas d pela largura das fendas a , e procuramos o maior número inteiro que seja menor que essa razão m i ' .

Quando acharmos esse número, temos que lembrar que ele representa o máximo de maior ordem de um dos dois lados da envoltória central. Assim, temos que levar em conta o outro lado e o máximo central. O número de franjas vai ser:

N = 2 m i ' + 1

Quando a largura a das fendas diminui, o número de franjas no máximo aumenta. Assim, nossa figura de interferência com fendas pontuais é como se eu tivesse uma difração com uma envoltória MUITO larga! Tão larga, de fato, que pega o anteparo todo.

Intensidade das Franjas

A figura de interferência para a difração em duas fendas não pontuais é uma mistura da figura de interferência de duas fendas com a figura de difração por uma fenda.

Figura de difração para uma fenda simples de largura a :

I I 0 = sen ⁡ β / 2 β / 2 2

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ

Figura de interferência para duas fendas separadas por uma distância d :

I I 0 = 4 cos 2 ⁡ γ 2

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

A razão entre a intensidade de um ponto e a intensidade máxima da figura agora vai ser:

I I c e n = sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a   s e n ( θ ) λ

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

Nesse caso, a razão das intensidades é como se fosse o produto das fórmulas anteriores! Mas para onde foi o fator 4 ?

Assim como para duas fendas pontuais, a intensidade máxima é dada no máximo central por I c e n = I m á x = 4 I 0 , onde I 0 é a intensidade da luz incidente.

Quando θ vai a zero, β e γ também vão a zero. Assim, o lado direito da equação vai a 1 , pois lim α → 0 ⁡ sen ⁡ α α = 1 , que é um limite chamado “fundamental” no cálculo. Isso é o máximo central!

Obs:

Porque é “como se fosse produto”, e não “é o produto”?

Porque o produto de verdade daria um fator I 0 2 , e NÃO tem isso na fórmula final!

Então, de certa forma, falar que é como se fosse o produto nos ajuda a lembrar da fórmula, mas o nosso produto é um pouco diferente.

Vamos pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2012.1, ME1

Considere a interferência da luz de comprimento de onda λ numa fenda dupla, onde a distância entre o centro das duas fendas é d , cada fenda tem uma largura a e a figura de interferência encontra-se numa tela a uma distância D , tal que D ≫ a - d .

Sabendo que θ é o ângulo que define um ponto no anteparo, o primeiro mínimo da difração é dado por sen ⁡ θ igual a:

  1. a / λ
  2. d / λ
  3. λ / a
  4. λ / d  
  5. a / d
  6. d / a
  7. Nenhuma das anteriores
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Passo 1

Sabemos que os ângulos para os quais encontramos os mínimos de difração são dados por:

sen ⁡ θ = m λ a

Onde:

m = ± 1 , ± 2 ,   ± 3 , …

Passo 2

O problema quer saber o valor do sen ⁡ θ para o primeiro mínimo da difração, isso corresponde ao valor de m = 1 , logo:

sen ⁡ θ = λ / a

Resposta

Letra (c): λ / a

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 141-38

Duas fendas de largura a , separadas por uma distância d , são iluminadas por um feixe de luz coerente de comprimento de onda λ .

Qual é a distância entre as franjas claras de interferência observadas em uma tela situada a uma distância D ?

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Passo 1

O ângulo entre uma dada franja clara e o máximo central é:

d sen ⁡ θ = m   λ

Podemos também encontrar a distância entre essa franja e o máximo central:

y D = tan ⁡ θ

Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos, podemos igualar

tan ⁡ θ ≅ sen ⁡ θ

E obter:

y D = m λ d

y = D m λ d