Interferência com Múltiplas Fendas Pontuais

Teoria Completa

O que muda para um sistema de muitas fendas?

Ok, hora de pegar pesado. Vamos apontar nosso laser não para duas fendas, mas sim para um CD.

O CD é composto de vários sulcos que codificam a informação que tem nele. Esses sulcos são equivalentes a N fendas estreitas, todas separadas por uma mesma distância d entre elas.

Como ficaria o nosso experimento nesse caso? ( Sabe essas cores no CD? Assim como as das bolhas de sabão, elas são resultado do fenômeno de interferência )

Primeiramente, a diferença de fase entre as ondas de duas fendas consecutivas será sempre:

ϕ = 2 π d sen ⁡ θ λ

Logo, a diferença entre a 1ª onda e a 3ª onda será 2 ϕ , entre a 1ª e a 4ª será 3 ϕ , e assim por diante. A intensidade resultante dessa interferência com N fontes luminosas vai ser:

I ⁡ ( θ ) = I 0 sen ⁡ N ϕ 2   sen ⁡ ϕ 2 2

Onde I 0 é a intensidade da luz incidente.

É muito mais jogo você entender os gráficos de intensidade do que simplesmente decorar essa fórmula. Então aqui vão algumas dicas que vão ajudar bastante, ok?

Eu coloquei 3 gráficos aqui embaixo, onde N é o número de fendas ao qual o gráfico corresponde.

Os máximos maiores para qualquer número de fendas estão localizados nas mesmas posições do caso de fenda dupla.

d sen ⁡ ( θ ) = m λ

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 , …

Chamamos esses máximos maiores de máximos principais e aos máximos menores, localizados entre dois máximos principais, damos o nome de máximos secundários.

Observando os gráficos, podemos ver que (dá uma olhadinha ali em cima):

Cada um desses mínimos ocorre quando:

ϕ m = m 2 π N

m = 1,2 , 3 , … , N - 1

Ou seja, quando a diferença de fase ϕ entre duas fontes de ondas adjacentes for igual a um múltiplo inteiro de 2 π / N , desde que ϕ m não seja múltiplo de 2 π (que corresponde a um máximo principal).

Tem outras duas informações muito importantes que podemos tirar dos gráficos:

E por hoje é só! Não esqueça de conferir os exercícios na saída!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2009.1

Em uma demonstração de interferência com ondas sonoras, cinco alto-falantes emitem ondas de frequência igual a 680   Hz e intensidade I 0 .

Os alto-falantes estão em fase e separados entre si por uma distância de 1,5   m . A disposição geométrica dos alto-falantes é mostrada na figura abaixo.

As medidas da intensidade do som são feitas por um experimentador que se posiciona sobre a reta A B , a 50   m do plano que contém os alto-falantes. A velocidade do som no ar nas CNTP é de 340   m / s .

Considere os alto-falantes como fontes puntiformes, e despreze efeitos de reflexão nas paredes do laboratório.

  1. Calcule o valor máximo da razão I ( θ ) / I 0 , onde I 0 é a intensidade de um alto-falante.
  2. Calcule a distância linear sobre a reta de observação entre o máximo central e um máximo principal de primeira ordem.
  3. Quantos zeros há entre dois máximos principais consecutivos?
  4. Faça o diagrama de fasores correspondente ao primeiro mínimo.
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Passo 1

a) Calcule o valor máximo da razão I ( θ ) / I 0 , onde I 0 é a intensidade de um alto-falante.

Para múltiplas fendas, a interferência I θ é dada por:

I θ = I 0 sen ⁡ N ϕ 2 sen ⁡ ϕ 2 2

Onde N é o número de fendas que no nosso caso é o número de alto-falantes.

Uma das informações importantes que podemos tirar dos gráficos é que a altura de cada máximo principal é proporcional a N 2 .

Como temos 5 fendas, o gráfico da interferência é algo desse tipo:

Assim, o maior valor possível da fração I ( θ ) / I 0 será referente ao maior valor possível de I ( θ ) , que, no caso de 5 fendas, será:

I θ máx = N 2 I 0 = 25 I 0

Logo:

I θ I 0 máx = 25 I 0 I 0 = 25

Passo 2

b) Calcule a distância linear sobre a reta de observação entre o máximo central e um máximo principal de primeira ordem.

O problema nos pede a distância linear sobre a reta de observação y m .

Os máximos maiores estão localizados nas mesmas posições do caso de fenda dupla.

Logo, a posição dos máximos, medida a partir do máximo central é dada por:

y m = D m λ d

Onde:

D = 50   m ;

d = 1,5   m ;

Como o problema está falando do máximo principal de primeira ordem, m = 1 .

Nos falta apenas descobrir o valor de λ .

Passo 3

Como o problema nos dá a frequência e a velocidade da onda, para descobrir o valor do comprimento de onda λ , podemos usar a seguinte relação:

v = λ f →   λ = v f

Onde:

v = 340   m / s ;

f = 680   Hz ;

Logo:

λ = 340 680 = 0,5   m

Passo 4

y m = D m λ d

y 1 = 50 × 1 × 0,5 1,5 = 16,7   m

Passo 5

c) Quantos zeros há entre dois máximos principais consecutivos?

Para N fendas, outra informação muito importante que podemos tirar dos gráficos é que entre dois máximos principais existem ( N - 2 ) máximos secundários e ( N - 1 ) mínimos, respondendo a nossa pergunta.

Assim, existem 5 - 1 = 4 zeros entre dois máximos principais.

Passo 6

d) Faça o diagrama de fasores correspondente ao primeiro mínimo.

Cada um dos mínimos ocorre quando a diferença de fase entre duas ondas consecutivas é dada por:

ϕ m = m 2 π N

Como estamos falando do primeiro mínimo, a diferença de fase é dada por:

ϕ 1 = 1 × 2 π 5 = 2 π 5

Passo 7

Como se tratam de 5 fendas, o diagrama de fasores será desta forma.

Lembrando que, ao somar a diferença de fase 2 π 5 cinco vezes resulta 2 π , um círculo completo. Por isso, terminamos onde começamos.

Resposta

a)

I θ I 0 máx = 25

b)

y 1 = 16,7   m

c)

Existem 4 zeros entre dois máximos principais.

d)

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