Interferência por Duas Fendas Pontuais

Teoria Completa

O experimento de Young

O experimento de Young é o seguinte: você coloca um laser atrás de uma fenda, passando depois por dois buraquinhos bem pequenos, que vamos chamar de S 1 e S 2 e atingindo sua parede.

A imagem que você vai ver são franjas coloridas e escuras alternadas, algo parecido com isso:

Onde eu escolhi luz vermelha porque fica muito mais irado (prevejo flamenguistas curtindo... pior que sou vascaíno haha).

Onde vão estar as franjas brilhantes?

As fendas S 1 e S 2 agem como duas fontes luminosas cujas distâncias a diversos pontos do anteparo são diferentes, causando diferença de fase.

Olhe para a figura abaixo, onde a distância entre as fendas e a parede R é muito maior que a distância entre as duas fendas d .

Como d ≪ R , podemos dizer que r 1 e r 2 são aproximadamente paralelas.

As duas ondas vão percorrer uma distância diferente, chegando na parede fora de fase. De acordo com a figura acima, essa diferença de caminho ótico vai ser dada por:

r 2 - r 1 = d   s e n ⁡ ( θ )

Os pontos de interferência construtiva e destrutiva são dados por

A figura na sua parede é formada pela alternância destes pontos de interferência construtiva e destrutiva. Chamamos essa imagem de Franjas de Interferência, representada abaixo.

Existe um limite para o tamanho da nossa figura? Sim!

A medida que θ se aproxima de 90 ° , a luz vai incidindo cada vez mais longe do centro, até que pra θ = 90 ° a luz não atingiria mais o anteparo! Então a última franja que aparece corresponde à θ ≈ 90 ° .

Distância angular entre máximos e mínimos

E se vier uma questão na prova querendo a distância entre duas franjas de interferência?

Primeiro, vamos ficar calmos. O ângulo das franjas em relação à franja central é dado pelas condições de interferência construtiva e destrutiva (quadradinho amarelo lá em cima!)

Mas e o ângulo entre duas franjas quaisquer? Acontece que, para ângulos bem pequenos, podemos aproximar as funções trigonométricas.

sen ⁡ ( θ ) ≅ θ ; cos ⁡ θ ≅ 1

Assim, para franjas claras e franjas escuras, temos:

θ c l a r a ≅ m i λ d

θ e s c u r a ≅ m i + 1 2 λ d

E o ângulo entre duas franjas escuras ou duas franjas claras vai ser dado por:

Δ θ ≅ m 2 - m 1 λ d

Para máximos ou mínimos adjacentes, m 2 = m 1 + 1 , e ambas as fórmulas se reduzem a:

Δ θ ≅ λ d

“Que verdadeiro presente dos deuses! Quando poderei usufruir de tal presente?”

Bem, aí as vezes o exercício/prova/professor vai te dizer. Outras vezes, ninguém vai te dizer. Na dúvida, use sem medo, pois muitas vezes o exercício já considera que você vai usar.

Distância entre máximos e mínimos

Ok, a prova pode não pedir exatamente ângulos, e sim a diferença das alturas no anteparo. Vamos ver como podemos calcular ela.

A distância y de uma franja para o centro pode ser encontrada usando a tangente do ângulo.

Como a gente considera d ≪ R os raios r 1 e r 2 são considerados paralelos. Se traçarmos uma linha reta paralela a r 1 e r 2 partindo do ponto médio de S 1 S 2 ¯ , teremos o triângulo azul acima.

Dele, podemos tirar que:

tan ⁡ θ = y R

Porém, novamente nosso presente divino irá nos ajudar! Pois, para pequenos ângulos:

tan ⁡ ( θ ) = sen ⁡ θ cos ⁡ θ ≅ sen ⁡ θ

Substituindo nas condições de máximo, temos que:

y m á x = R m λ d

Substituindo nas de mínimo, chegamos a:

y m í n = R m + 1 2 λ d

Com isso, podemos calcular a distância entre 2 máximos ou 2 mínimos quaisquer subtraindo suas distâncias até o centro da figura.

Para máximos ou mínimos adjacentes, a fórmula vai ficar da seguinte forma:

Δ y = R λ d

Ou seja, a distância entre as franjas brilhantes e a distância entre as franjas escuras é aproximadamente constante.

O quão brilhante são as luzes que vejo lá ao longe?

Esse brilho que a gente vê em cada ponto da figura de interferência não é nada mais que o reflexo da intensidade do seu campo elétrico!

No meio de cada franja brilhante, sabemos que a interferência é construtiva. No meio de cada franja escura, sabemos que a interferência é destrutiva.

Mas de uma franja clara pra uma franja escura o brilho forma um degradê: ele vai variando aos poucos do claro pro escuro. Como saber o quão brilhante vai ser um ponto qualquer na minha parede?

Como já falamos, esse brilho é a intensidade da luz. Ela varia continuamente ao longo da figura de interferência, formando um gráfico assim:

Em um ponto qualquer do anteparo, essa intensidade vai seguir a seguinte fórmula:

I p = 4 I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2

Onde:

  • I 0 é a intensidade da luz incidente no sistema de dupla fenda.
  • ϕ é a diferença de fase resultante da diferença de caminho ótico das duas ondas luminosas, dada por:

ϕ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

Note que nos pontos onde a intensidade é a maior possível (que são as nossas franjas brilhantes), ela é quatro vezes maior que a da luz incidente ( 4 I 0 ).

Esses pontos correspondem a nossa condição de que d sen ⁡ ( θ ) = m λ .

Nesse caso, a diferença de fase ϕ vai ser um múltiplo inteiro de 2 π , fazendo o cosseno valer 1 na nossa expressão (que é o maior valor possível).

ϕ = m ∙ 2 π = 2 π   d sen ⁡ θ λ

cos 2 ⁡ ϕ 2 = cos 2 ⁡ m π = 1

m   λ = d sen ⁡ θ

Além disso, os pontos para a intensidade zero são aqueles nos quais ϕ é um múltiplo inteiro ímpar de π , fazendo o coseno valer zero.

ϕ = 2 m + 1 ∙ π = 2 π   d sen ⁡ θ λ

cos 2 ⁡ ϕ 2 = cos 2 ⁡ m + 1 2 π = 0

m + 1 2   λ = d sen ⁡ θ

Para ângulos pequenos, sen ⁡ ( θ ) ≅ θ e tan ⁡ ( θ ) ≅ sen ⁡ ( θ ) . Podemos reproduzir a discussão acima usando a distância dos pontos da figura em relação ao centro, ao invés do ângulo.

tan ⁡ ( θ ) = y R ≅ sen ⁡ ( θ )

Onde R é a distância das fendas ao anteparo. Substituindo na diferença de fase:

ϕ = 2 π . d . y R . λ

E isso é tudo, amigos!

Ah, só mais uma coisa!

Em alguns lugares, você pode encontrar a fórmula escrita dessa forma:

I P = I cos 2 ⁡ ϕ 2

Neste caso, I é a intensidade da franja brilhante central da figura de interferência!

A intensidade nesse ponto é I = 4 I 0 , e aí as duas fórmulas são iguais.

O que acontece se colocarmos nosso brinquedo na água?

As suas provas ou listas de exercício podem querer apimentar um pouco a relação, e colocar todo o experimento de Young dentro da água (ou qualquer outro meio, tipo óleo, refrigerante, sei lá). Nesse caso, o que vai mudar?

Quando a luz se propaga em diferentes meios, ela assume velocidades diferentes. Ela é dada por:

λ f = v

Contudo ela permanece com a mesma frequência e por isso o comprimento de onda tem que variar com a velocidade.

O que mede o quanto a velocidade varia é o índice de refração do meio, que é dado pela razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz naquele meio.

n m e i o = c v

Vamos juntar as duas equações e ver como o comprimento de onda muda:

n m e i o = c v = λ 0 f 0 λ f 0 = λ 0 λ

λ = λ 0 n m e i o

Isso significa que sempre que usarmos as condições de interferência, usaremos esse comprimento de onda λ , ao invés de λ 0 como fazíamos antes.

E aí? Bastante coisa né? Por isso mesmo que tem um montão de exercício aqui pra você! Simbora o/

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 101-14, modificado.

Uma luz verde monocromática com um comprimento de onda de 550 n m é usada para iluminar duas fendas estreitas paralelas separadas por uma distância de 7,7 μ m .

Calcule o desvio angular (ângulo θ ) da franja clara de terceira ordem ( m = 3 ) em graus.

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Passo 1

Primeiro, vamos lembrar qual a condição para que a franja de interferência seja clara (ou seja, a interferência seja construtiva):

d sen ⁡ ( θ ) = m λ ⁡

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Porém, como queremos a de terceira ordem ( m = 3 ), temos:

d sen ⁡ ( θ ) = 3 λ

Passo 2

Agora, para achar θ , nós invertemos a equação:

sen ⁡ θ = 3 λ d

Substituindo os valores dados pelo problema ( d = 7,7 μ m e λ = 550 n m = 0,55 μ m ), temos que:

sen ⁡ ( θ ) = 3.0,55 7,7 ≅ 0,214

Agora, nós fazemos a inversa do seno:

θ = sen - 1 ⁡ ( 0,214 ) ≅ 0,216   r a d

Passo 3

Por fim, passando para graus com uma regrinha de 3, ficamos com:

θ = 180.0,216 π ≅ 12,38 °

Resposta

O desvio angular da franja clara de terceira ordem é de 12,38 ° .

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 102-17, modificado

Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio ( λ = 589 n m ) com uma separação angular de 3,5 ∙ 10 - 3 r a d . Para que comprimento de onda a separação angular é 10% maior?

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Passo 1

Primeiro, vamos lembrar das condições de máximo para o sistema de dupla fenda.

d sen ⁡ ( θ ) = m λ

m = 0 , ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Porém, como a separação angular é pequena, vamos usar a aproximação :

sen ⁡ ( θ ) ≅ θ

Com isso, a separação angular entre dois máximos adjacentes é dada por:

Δ θ ≅ λ d

Passo 2

Seja λ ' o comprimento de onda que faz com que a separação angular seja 10% maior. Neste caso:

λ ' d = Δ θ ' = 1,1 Δ θ = 1,1 λ d

Cortando d dos dois lados, ficamos com:

λ ' = 1,1 λ = 1,1.589 = 647,9 n m

Resposta

O comprimento de onda que aumenta em 10% a separação angular nesse sistema de dupla fenda é λ ' = 647,9 n m .

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 102-20, modificado.

No experimento de dupla fenda da Fig.35-10, o ângulo θ é 20 ° , a distância entre as fendas é 4,24   μ m e o comprimento de onda é λ = 500 n m .

  1. Que múltiplo de λ corresponde à diferença de fase entre as ondas associadas aos raios r 1 e r 2 ao chegarem ao ponto P da tela distante?
  2. Qual é a diferença de fase em radianos?
  3. Determine a posição do ponto P, indicando o máximo ou mínimo em que se encontra ou o máximo e o mínimo entre os quais se encontra.

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Passo 1

a)

Primeiro, lembremos que a diferença de fase entre as duas ondas se dá pela diferença de caminho. Assim, em múltiplos de λ , temos uma diferença de fase de:

Δ ϕ m u l t i p l o s = r 2 - r 1 λ

Passo 2

Para o experimento de dupla fenda, sabemos que:

r 2 - r 1 = d sen ⁡ ( θ )

Logo, a diferença de fase vai ser:

Δ ϕ m u l t i p l o s = d sen ⁡ θ λ

Lembrando que θ = 20 ° , λ = 500 n m = 0,5 μ m e que d = 4,24   μ m , a diferença de fase vai ser, em múltiplos de λ :

Δ ϕ m u l t i p l o s = 4,24 . sen ⁡ 20 ° 0,5 = 2,9

Passo 3

b)

Para acharmos a diferença de fase em radianos, vamos fazer o seguinte raciocínio.

Quando a diferença de fase de duas ondas é λ , isso equivale a uma diferença de fases de 2 π   r a d .

Logo, a diferença de fase em radianos vai ser a diferença de fases em múltiplos de λ multiplicado por 2 π   r a d

Δ ϕ = Δ ϕ m u l t i p l o s . 2 π = 2,9.2 π

Δ ϕ = 18,2   r a d

Passo 4

c)

Para achar a posição do ponto P , temos que nos lembrar do seguinte:

Interferência construtiva se dá quando a diferença de fase é um múltiplo inteiro do comprimento de onda.

Ou seja, os máximos mais próximos do ponto P correspondem a diferenças de fase de 2 λ e 3 λ .

Interferência destrutiva se dá quando a diferença de fase é um múltiplo fracionário do comprimento de onda. Ou seja, os mínimos mais próximos do ponto P correspondem a diferenças de fase de 2,5 λ ( 2 + 1 2 λ = 5 2 λ ) e 3,5 λ ( 3 + 1 2 λ = 7 2 λ ).

Assim, o nosso ponto se encontra entre o 3º mínimo ( 5 2 λ ) e o 4º máximo ( 3 λ ) de interferência (lembre que os primeiros correspondem a m = 0 ).

Resposta

a)

A diferença de fases corresponde a 2,9 λ .

b)

A diferença de fases é igual a 18,2   r a d .

c)

O ponto P se encontra entre o 3º mínimo ( diferença de fase de 5 2 λ ) e o 4º máximo (diferença de fase de 3 λ ) de interferência.

Exercício Resolvido #4

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 104-35.23, modificado.

Duas fendas distantes 0,260   m m uma da outra, colocadas a uma distância de 0,700   m de uma tela são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 660   n m .

Qual é a distância sobre a tela entre o centro da franja brilhante central e a primeira franja escura?

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Passo 1

O problema nos dá a distância entre as fendas d , a distância das fendas para a tela R e o comprimento de onda λ .

Ele nos pede para calcular a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo.

Sabemos que os mínimos de interferência são referentes às franjas escuras, onde há interferência destrutiva. Esses pontos são dados por:

y m = R λ d   m + 1 2

Passo 2

y m = R λ d   m + 1 2

Onde:

λ = 660   n m = 6,6 × 10 - 7   m ;

d = 0,26   m m = 2,6 × 10 - 4   m ;

R = 0,7   m ;

Como o problema nos pede a posição referente ao primeiro mínimo, isso significa que m = 0 . Assim:

m = 0 → m + 1 2 = 1 2

Logo:

y 0 = 0,7 × 6,6 × 10 - 7 × 1 2 2,6 × 10 - 4

y 0 = 0,00088 m = 0,88   m m

Resposta

y = 0,88   m m

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 109-112.

A segunda franja escura em uma figura de interferência de dupla fenda está a 1,2   c m do máximo central. A distância entre as fendas é igual a 800 comprimentos de onda da luz monocromática que incide (perpendicularmente) nas fendas.

Qual é a distância entre o plano das fendas e a tela de observação?

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Passo 1

Primeiro, vamos lembrar que franjas escuras correspondem a interferência destrutiva.

Sabemos que nesse caso, para pequenos ângulos, vale a seguinte aproximação:

y m í n = R m + 1 2 λ d

E o enunciado nos algumas informações.

A distância entre as fendas d = 800 λ ;

A distância da franja ao máximo central, y m í n = 1,2 c m ;

A franja é a segunda franja escura, m = 1 (a primeira é m = 0 ).

Ele nos pede pra calcular R . Vamos lá!

Passo 2

Substituindo na fórmula, temos:

1,2 = R 1 + 1 2 λ 800 λ = R 3 2.800 = 3 R 1600

Invertendo a fórmula, temos:

R = 1600.1,2 3 = 640 c m = 6,4 m

Resposta

A distância entre o plano das fendas e a tela de observação é de 6,4 m .

Exercício Resolvido #6

PUC-RIO, Física 4, Prova 1, 2013.2, modificado.

Coloque F de falso ou V de verdadeiro na afirmação abaixo e justifique a opção.

( ) Se colocarmos o dispositivo de Young (originalmente na água) imerso no ar, as franjas brilhantes se tornarão mais próximas.

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Passo 1

A afirmação é FALSA, pois as franjas brilhantes se tornarão mais distantes.

De acordo com o experimento de Young no ar, temos as relações que seguem.

Para franjas claras:

d . sen ⁡ θ = m . λ → θ = m . λ d  

Onde d é a distância entre as fendas. Lembre-se que para ângulos pequenos, sin ⁡ θ ≈ θ .

A distância angular entre duas franjas adjacentes é dada por:

Δ θ = θ 2 - θ 1 ≅ sen ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 1

Δ θ = m 2 λ 0 d - m 1 λ 0 d = m 1 + 1 λ 0 d - m 1 λ 0 d = λ 0 d

Passo 2

Agora, vamos passar esse sistema pra outro meio.

Lembrando que o comprimento de onda depende do meio, pela relação:

λ n = λ n

Onde λ é o comprimento da luz no vácuo e λ n é o comprimento de onda da luz em um meio cujo índice de refração é n .

Logo, a distância angular em outro meio é dada por:

Δ θ ' = Δ θ n m e i o

Como n á g u a > n a r ≅ 1 , temos Δ θ ' < Δ θ .

Desse modo, temos que as franjas ficarão mais distantes se o experimento for feito no ar!

Resposta

( F a l s a )

Exercício Resolvido #7

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 102-18.

Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio ( λ = 589   n m ) separadas por 0,20 ° .

Qual é a separação das franjas quando o sistema é imerso em água ( n = 1,33 )?

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Passo 1

Vimos que quando a luz passa de um meio para outro, sua frequência continua a mesma embora sua velocidade e seu comprimento de onda variem.

Essa variação é dada pelo índice de refração do meio:

n m e i o = c v = λ 0 λ

λ = λ 0 n m e i o

Imergir o sistema em água vai alterar o comprimento de onda da luz, alterando a separação das franjas.

Passo 2

As franjas de interferência para duas fendas pontuais são dadas por:

d sen ⁡ θ = m λ

Para duas franjas consecutivas: m 2 = m 1 + 1 . No ar, teremos:

sen ⁡ θ 1 = m 1 λ 0 d

sen ⁡ θ 2 = m 2 λ 0 d = m 1 λ 0 d + λ 0 d

sen ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 1 = λ 0 d

Fazendo a aproximação para pequenos ângulos:

θ ≅ sen ⁡ θ

E a separação das franjas fica dada por:

θ 2 - θ 1 = Δ θ ≅ λ 0 d

Passo 3

Por fim, como vimos antes, a imersão em água afeta o comprimento de onda, e a nova separação vai ser dada por:

Δ θ ' ≅ λ d = λ 0 d ∙ n m e i o = Δ θ n m e i o

Sabemos que a separação angular original é dada por Δ θ ≅ 0,20 ° .

Sendo n m e i o = 1,33 , a nova separação angular vai ser:

Δ θ ' = 0,20 ° 1,33 ≅ 0,15 °

Resposta

Δ θ ' ≅ 0,15 °

Exercício Resolvido #8

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 104-35.19.

Em uma figura de interferência com fenda dupla, a intensidade no pico da interferência máxima central é I 0 .

  1. Qual é a intensidade em um ponto da figura de interferência em que a diferença de fase entre as ondas é 60 ° ?
  2. Qual a diferença entre os caminhos de uma luz de comprimento de onda igual a 480   nm proveniente das duas fendas em um ponto em que o ângulo de fase é 60 ° ?
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Passo 1

a )

O problema nos dá a diferença de fase ϕ e nos pede para calcular a intensidade no ponto da figura de interferência correspondente.

Sabemos que a relação entre ϕ e a intensidade na interferência de duas fontes é dada por

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2

Onde ϕ é a diferença de fase. Neste caso, ϕ = 60 ° , logo:

I = I 0 cos 2 ⁡ 60 ° 2

I = I 0 3 2 2

I = 3 4 I 0

Passo 2

b )

A diferença de fase ϕ e a diferença de caminho r 2 - r 1 são relacionados por:

ϕ = 2 π λ r 2 - r 1

Onde:

λ = 480   nm = 4,8 × 10 - 7   m ;

ϕ = 60 ° = π 3   rad ;

Logo:

r 2 - r 1 = ϕ λ 2 π

∆ r = π 3 × 4,8 × 10 - 7 2 π

∆ r = 80   nm

Resposta

a )

I = 3 4 I 0

b )

∆ r = 80   nm

Exercício Resolvido #9

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 104-35.23, modificado

Duas fendas distantes 0,260   m m uma da outra, colocadas a uma distância de 0,700   m de uma tela são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 660   n m .

A intensidade no centro do máximo central θ = 0 ° é igual a I 0 .

Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o ponto no qual a intensidade se reduz a I 0 / 2 ?

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Passo 1

Agora o problema nos pede para encontrar o valor de y m para o qual I = I o / 2 .

Sabemos que a intensidade pode ser escrita da seguinte forma:

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2 = I 0 cos 2 ⁡ π y d λ R

Isso já nos permite resolver o problema, pois temos os valores de d ,   λ   e   R .

Passo 2

Temos que:

I = I 0 2 = I 0 cos 2 ⁡ π y d λ R