Interferência por Duas Fendas Pontuais

Teoria Completa

O experimento de Young

O experimento de Young é o seguinte: você coloca um laser atrás de uma fenda, passando depois por dois buraquinhos bem pequenos, que vamos chamar de S 1 e S 2 e atingindo sua parede.

A imagem que você vai ver são franjas coloridas e escuras alternadas, algo parecido com isso:

Onde eu escolhi luz vermelha porque fica muito mais irado (prevejo flamenguistas curtindo... pior que sou vascaíno haha).

Onde vão estar as franjas brilhantes?

As fendas S 1 e S 2 agem como duas fontes luminosas cujas distâncias a diversos pontos do anteparo são diferentes, causando diferença de fase.

Olhe para a figura abaixo, onde a distância entre as fendas e a parede R é muito maior que a distância entre as duas fendas d .

Como d ≪ R , podemos dizer que r 1 e r 2 são aproximadamente paralelas.

As duas ondas vão percorrer uma distância diferente, chegando na parede fora de fase. De acordo com a figura acima, essa diferença de caminho ótico vai ser dada por:

r 2 - r 1 = d   s e n ⁡ ( θ )

Os pontos de interferência construtiva e destrutiva são dados por

A figura na sua parede é formada pela alternância destes pontos de interferência construtiva e destrutiva. Chamamos essa imagem de Franjas de Interferência, representada abaixo.

Existe um limite para o tamanho da nossa figura? Sim!

A medida que θ se aproxima de 90 ° , a luz vai incidindo cada vez mais longe do centro, até que pra θ = 90 ° a luz não atingiria mais o anteparo! Então a última franja que aparece corresponde à θ ≈ 90 ° .

Distância angular entre máximos e mínimos

E se vier uma questão na prova querendo a distância entre duas franjas de interferência?

Primeiro, vamos ficar calmos. O ângulo das franjas em relação à franja central é dado pelas condições de interferência construtiva e destrutiva (quadradinho amarelo lá em cima!)

Mas e o ângulo entre duas franjas quaisquer? Acontece que, para ângulos bem pequenos, podemos aproximar as funções trigonométricas.

sen ⁡ ( θ ) ≅ θ ; cos ⁡ θ ≅ 1

Assim, para franjas claras e franjas escuras, temos:

θ c l a r a ≅ m i λ d

θ e s c u r a ≅ m i + 1 2 λ d

E o ângulo entre duas franjas escuras ou duas franjas claras vai ser dado por:

Δ θ ≅ m 2 - m 1 λ d

Para máximos ou mínimos adjacentes, m 2 = m 1 + 1 , e ambas as fórmulas se reduzem a:

Δ θ ≅ λ d

“Que verdadeiro presente dos deuses! Quando poderei usufruir de tal presente?”

Bem, aí as vezes o exercício/prova/professor vai te dizer. Outras vezes, ninguém vai te dizer. Na dúvida, use sem medo, pois muitas vezes o exercício já considera que você vai usar.

Distância entre máximos e mínimos

Ok, a prova pode não pedir exatamente ângulos, e sim a diferença das alturas no anteparo. Vamos ver como podemos calcular ela.

A distância y de uma franja para o centro pode ser encontrada usando a tangente do ângulo.

Como a gente considera d ≪ R os raios r 1 e r 2 são considerados paralelos. Se traçarmos uma linha reta paralela a r 1 e r 2 partindo do ponto médio de S 1 S 2 ¯ , teremos o triângulo azul acima.

Dele, podemos tirar que:

tan ⁡ θ = y R

Porém, novamente nosso presente divino irá nos ajudar! Pois, para pequenos ângulos:

tan ⁡ ( θ ) = sen ⁡ θ cos ⁡ θ ≅ sen ⁡ θ

Substituindo nas condições de máximo, temos que:

y m á x = R m λ d

Substituindo nas de mínimo, chegamos a:

y m í n = R m + 1 2 λ d

Com isso, podemos calcular a distância entre 2 máximos ou 2 mínimos quaisquer subtraindo suas distâncias até o centro da figura.

Para máximos ou mínimos adjacentes, a fórmula vai ficar da seguinte forma:

Δ y = R λ d

Ou seja, a distância entre as franjas brilhantes e a distância entre as franjas escuras é aproximadamente constante.

O quão brilhante são as luzes que vejo lá ao longe?

Esse brilho que a gente vê em cada ponto da figura de interferência não é nada mais que o reflexo da intensidade do seu campo elétrico!

No meio de cada franja brilhante, sabemos que a interferência é construtiva. No meio de cada franja escura, sabemos que a interferência é destrutiva.

Mas de uma franja clara pra uma franja escura o brilho forma um degradê: ele vai variando aos poucos do claro pro escuro. Como saber o quão brilhante vai ser um ponto qualquer na minha parede?

Como já falamos, esse brilho é a intensidade da luz. Ela varia continuamente ao longo da figura de interferência, formando um gráfico assim:

Em um ponto qualquer do anteparo, essa intensidade vai seguir a seguinte fórmula:

I p = 4 I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2

Onde:

  • I 0 é a intensidade da luz incidente no sistema de dupla fenda.
  • ϕ é a diferença de fase resultante da diferença de caminho ótico das duas ondas luminosas, dada por:

ϕ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

Note que nos pontos onde a intensidade é a maior possível (que são as nossas franjas brilhantes), ela é quatro vezes maior que a da luz incidente ( 4 I 0 ).

Esses pontos correspondem a nossa condição de que d sen ⁡ ( θ ) = m λ .

Nesse caso, a diferença de fase ϕ vai ser um múltiplo inteiro de 2 π , fazendo o cosseno valer 1 na nossa expressão (que é o maior valor possível).

ϕ = m ∙ 2 π = 2 π   d sen ⁡ θ λ

cos 2 ⁡ ϕ 2 = cos 2 ⁡ m π = 1

m   λ = d sen ⁡ θ

Além disso, os pontos para a intensidade zero são aqueles nos quais ϕ é um múltiplo inteiro ímpar de π , fazendo o coseno valer zero.

ϕ = 2 m + 1 ∙ π = 2 π   d sen ⁡ θ λ

cos 2 ⁡ ϕ 2 = cos 2 ⁡ m + 1 2 π = 0

m + 1 2   λ = d sen ⁡ θ

Para ângulos pequenos, sen ⁡ ( θ ) ≅ θ e tan ⁡ ( θ ) ≅ sen ⁡ ( θ ) . Podemos reproduzir a discussão acima usando a distância dos pontos da figura em relação ao centro, ao invés do ângulo.

tan ⁡ ( θ ) = y R ≅ sen ⁡ ( θ )

Onde R é a distância das fendas ao anteparo. Substituindo na diferença de fase:

ϕ = 2 π . d . y R . λ

E isso é tudo, amigos!

Ah, só mais uma coisa!

Em alguns lugares, você pode encontrar a fórmula escrita dessa forma:

I P = I cos 2 ⁡ ϕ 2

Neste caso, I é a intensidade da franja brilhante central da figura de interferência!

A intensidade nesse ponto é I = 4 I 0 , e aí as duas fórmulas são iguais.

O que acontece se colocarmos nosso brinquedo na água?

As suas provas ou listas de exercício podem querer apimentar um pouco a relação, e colocar todo o experimento de Young dentro da água (ou qualquer outro meio, tipo óleo, refrigerante, sei lá). Nesse caso, o que vai mudar?

Quando a luz se propaga em diferentes meios, ela assume velocidades diferentes. Ela é dada por:

λ f = v

Contudo ela permanece com a mesma frequência e por isso o comprimento de onda tem que variar com a velocidade.

O que mede o quanto a velocidade varia é o índice de refração do meio, que é dado pela razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz naquele meio.

n m e i o = c v

Vamos juntar as duas equações e ver como o comprimento de onda muda:

n m e i o = c v = λ 0 f 0 λ f 0 = λ 0 λ

λ = λ 0 n m e i o

Isso significa que sempre que usarmos as condições de interferência, usaremos esse comprimento de onda λ , ao invés de λ 0 como fazíamos antes.

E aí? Bastante coisa né? Por isso mesmo que tem um montão de exercício aqui pra você! Simbora o/

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 101-14, modificado.

Uma luz verde monocromática com um comprimento de onda de 550 n m é usada para iluminar duas fendas estreitas paralelas separadas por uma distância de 7,7 μ m .

Calcule o desvio angular (ângulo θ ) da franja clara de terceira ordem ( m = 3 ) em graus.

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Passo 1

Primeiro, vamos lembrar qual a condição para que a franja de interferência seja clara (ou seja, a interferência seja construtiva):

d sen ⁡ ( θ ) = m λ ⁡

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Porém, como queremos a de terceira ordem ( m = 3 ), temos:

d sen ⁡ ( θ ) = 3 λ

Passo 2

Agora, para achar θ , nós invertemos a equação:

sen ⁡ θ = 3 λ d

Substituindo os valores dados pelo problema ( d = 7,7 μ m e λ = 550 n m = 0,55 μ m ), temos que:

sen ⁡ ( θ ) = 3.0,55 7,7 ≅ 0,214

Agora, nós fazemos a inversa do seno:

θ = sen - 1 ⁡ ( 0,214 ) ≅ 0,216   r a d

Passo 3

Por fim, passando para graus com uma regrinha de 3, ficamos com:

θ = 180.0,216 π ≅ 12,38 °

Resposta

O desvio angular da franja clara de terceira ordem é de 12,38 ° .

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 102-17, modificado

Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio ( λ = 589 n m ) com uma separação angular de 3,5 ∙ 10 - 3 r a d . Para que comprimento de onda a separação angular é 10% maior?

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Passo 1

Primeiro, vamos lembrar das condições de máximo para o sistema de dupla fenda.

d sen ⁡ ( θ ) = m λ

m = 0 , ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   …

Porém, como a separação angular é pequena, vamos usar a aproximação :

sen ⁡ ( θ ) ≅ θ

Com isso, a separação angular entre dois máximos adjacentes é dada por:

Δ θ ≅ λ d

Passo 2

Seja λ ' o comprimento de onda que faz com que a separação angular seja 10% maior. Neste caso:

λ ' d = Δ θ ' = 1,1 Δ θ = 1,1 λ d