Princípios da Interferência

Resumo Completo

O que é Interferência?

Sabe quando você sopra uma bolinha de sabão, e enxerga várias cores brilhando na superfície dela? Isso é o resultado de um fenômeno que chamamos de interferência.

Princípio da Superposição de Ondas

O fenômeno da interferência é causado pelo Princípio da Superposição de Ondas. Ele diz o seguinte:

“Quando duas ou mais ondas se superpõem, o deslocamento resultante em qualquer ponto em um dado instante pode ser determinado somando-se os deslocamentos instantâneos de cada onda como se ela estivesse sozinha.”

Oi? Calma, que vamos entender melhor.

Vamos supor que duas ondas y 1 ( x , t ) e y 2 ( x ,   t ) se superpõem.

A onda resultante y r x , t em uma posição x = x 0 e instante t = t 0 é dada por

y r x 0 , t 0 = y 1 x 0 , t 0 + y 2 x 0 , t 0

Sacou?

Interferência para Dois Caminhos Diferentes

Agora imagina duas antenas de rádio, S 1 e S 2 que por algum motivo emitem ondas em fase (máximos e mínimos sincronizados) uma com a outra. Se as duas emitirem para uma mesma casa (ponto P ), essa casa vai conseguir receber o sinal de rádio?

A resposta é menos trivial do que parece! Vamos ver.

Se as ondas emitidas pelas duas antenas percorrem distâncias diferentes, então elas podem sair de fase. Assim, ao se combinarem no ponto P , elas vão ter uma diferença de fase, não estando “juntas”.

Existem dois casos principais de interferência, nesse caso.

Interferência Construtiva e Destrutiva

Na interferência construtiva, as ondas chegam em fase, com os seus máximos e mínimos sincronizados, e a amplitude resultante vai ser a soma das duas amplitudes.

Quando isso vai ocorrer?

Seja r 1 a distância entre o ponto P e uma fonte de onda S 1 e r 2 a distância entre o ponto P e a fonte de onda S 2 . Teremos interferência construtiva quando:

r 2 - r 1 = m λ

para m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3

Ou seja, ocorre interferência construtiva quando a diferença entre r 1 e r 2 é igual a um múltiplo inteiro m de comprimento de onda λ .

Quando as ondas de rádio chegarem na casa com uma diferença de fase de meio ciclo (máximos de uma onda sincronizados com mínimos da outra), temos a interferência destrutiva.

Nesse caso, a amplitude resultante será a diferença das amplitudes de cada onda (se forem iguais, então a amplitude resultante é zero!).

Esse caso ocorre quando a diferença entre r 1 e r 2 é um múltiplo inteiro m do comprimento de onda λ mais meio comprimento de onda λ / 2 (corresponde a meio ciclo!)

r 2 - r 1 = m + 1 2 λ

m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3

Quando isso acontecer, a pobre casa não vai receber sinal de rádio!!! (Dado que as amplitudes sejam iguais)

Como podemos encontrar a diferença de fase Δ ϕ ?

Quando r 2 - r 1 é igual a λ , as ondas estão em fase. Isso significa que a diferença de fase entre elas é de 2 π (uma onda passou pela outra, mas elas se sincronizaram depois). Então, pela regra de três, temos que a relação entre Δ ϕ e r 2 - r 1 é dada por

Δ ϕ 2 π = r 2 - r 1 λ

Mas como isso é igual aos casos anteriores???

Bem, quando as duas ondas estão com uma diferença de fase múltipla de 2 π (ciclo completo), a interferência é construtiva!

Δ ϕ = 2 m π

Substituindo esse resultado na equação anterior, teremos:

m = r 2 - r 1 λ

Onde m é um inteiro qualquer.

Quando a diferença é um múltiplo ímpar de π (meio ciclo), a interferência vai ser destrutiva!

Δ ϕ = 2 m + 1 π

Substituindo novamente na equação inicial, teremos:

m + 1 2 = r 2 - r 1 λ

Onde m é um inteiro qualquer.

Viu? Os meus resultados que obtivemos antes!

Bora dar uma olhada nos exercícios agora?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 103-35.5, modificado.

Dois alto-falantes emitindo ondas sonoras idênticas de comprimento de onda igual a 2,0   m em fase uma com a outra e um observador estão posicionados conforme a figura abaixo.

  1. No local onde está o observador, qual é a diferença entre os caminhos das ondas provenientes dos dois alto-falantes?
  2. As ondas sonoras irão interferir construtivamente ou destrutivamente no local onde está o observador?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

A distância r A do alto-falante A ao observador pode ser achada imaginando-se um triângulo retângulo onde r A é a hipotenusa. Assim:

r A = 6,0 2 + 8,0 2

r A = 10,0   m

A distância r B do alto-falante B ao observador é dada a partir da imagem, de modo que:

r B = 8,0 m

Logo:

r A - r B = 2,0   m

Passo 2

b)

Dizemos que há interferência construtiva quando:

r A - r B = m λ

m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3

Da mesma maneira, dizemos que há interferência destrutiva quando:

r A - r B = m + 1 2 λ

m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3

O problema nos diz que λ = 2,0   m . Logo, os pontos de interferência construtiva serão quando a diferença entre os caminhos for igual a:

r A - r B = 0 ,   ± 2 , ±   4 ,   ± 6 ,

Da mesma forma, os pontos de interferência destrutiva serão quando a diferença entre os caminhos for igual a:

r A - r B = 0 ,   ± 1 , ±   3 ,   ± 5 ,

Na letra a), vimos que r A - r B = 2,0   m . Logo, o ponto onde o observador está é um ponto de interferência construtiva.

Resposta

a)

r A - r B = 2,0   m

b)

O ponto onde o observador está é um ponto de interferência construtiva.

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 103-35.2

Duas antenas de rádio A e B irradiam em fase. A antena B está a 120   m à direita da antena A .

Considere um ponto Q ao longo da extensão da linha reta que une as duas antenas, situado a uma distância de 40   m à direita da antena B .

A frequência e, portanto, o comprimento de onda das ondas emitidas pode variar.

  1. Qual é o maior comprimento de onda para o qual pode existir interferência destrutiva no ponto Q ?
  2. Qual é o maior comprimento de onda para o qual pode haver interferência construtiva no ponto Q ?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Primeiro, devemos encontrar a diferença entre as distâncias das duas fontes até o ponto Q.

Vamos fazer uma figurinha pra ajudar a visualizar:

Para a fonte B, temos:

r B = 40 m

Para a fonte A, temos:

r A = 120 + r B = 120 + 40 = 160 m

Logo,

r A - r B = 120 m

Passo 2

Para que a interferência seja destrutiva, é necessário que:

r A - r B = m + 1 2 λ

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,

Porém, invertendo a equação, temos:

r A - r B m + 1 2 = λ  

Ou seja, λ é o maior possível para o menor m possível, que é zero. Aplicando na equação, ficamos com:

λ = 120 1 2 = 240 m

Passo 3

Para que a interferência seja construtiva, é necessário que:

r A - r B = m λ

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,  

Quando temos m 0 , podemos inverter a equação e obter

r A - r B m = λ

Novamente, vemos que λ é o maior possível quando m é o menor possível. Para m = 0 , as duas fontes estariam no mesmo ponto, o que sabemos que não é verdade.

Assim, o menor m possível é 1, que aplicando na nossa equação fica:

λ = 120 m

Resposta

a)

Para interferência destrutiva, temos que:

λ m á x =   240 m

b)

Para interferência construtiva, temos que:

λ m á x = 120 m

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp-102-23

Na Fig. 35-40, duas fontes pontuais isotrópicas, S 1 e S 2 , estão sobre o eixo y, separadas por uma distância de 2,70 μ m , e emitem em fase com um comprimento de onda de 900 n m .

Um detector de luz é colocado no ponto P, situado sobre o eixo x, a uma distância x P da origem.

Qual é o maior valor de x P para o qual a luz detectada é mínima devido a uma interferência destrutiva?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar aos poucos, com o que sabemos.

Seja r 1 a distância entre S 1 e P e r 2 a distância entre S 2 e P . Para que a interferência em P seja destrutiva, é necessário que:

r 2 - r 1 = m + 1 2 λ

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,  

Assim, a primeira coisa a fazer é encontrar r 2 - r 1 .

Passo 2

Para S 1 , vemos que ele está no eixo x, assim como P . Logo,

r 1 = x P

Para S 2 , podemos imaginar um triângulo retângulo formado por S 2 , S 1 e P . Isso nos dá, pelo teorema de Pitágoras:

r 2 2 = 2,7 2 + x P 2

r 2 = 2,7 2 + x P 2

Agora sim, estamos em condição de escrever uma expressão para a diferença dos caminhos de S 1 e S 2 para P .

r 2 - r 1 = 2,7 2 + x P 2 - x P

Passo 3

Com a expressão para a diferença das distâncias, o resto da questão é manipular as expressões pra chegarmos no nosso objetivo. Sabemos que

2,7 2 + x P 2 - x P = m + 1 2 λ

Vamos passar x P para o lado direito, e elevar os dois lados ao quadrado.

2,7 2 + x P 2 = m + 1 2 λ + x P 2

Vamos expandir a expressão à direita, e dar 3 passos, para chegar numa expressão melhor para nós.

2,7 2 + x P 2 = m + 1 2 2 λ 2 + 2 m + 1 2 λ x P + x P 2

2,7 2 - m + 1 2 2 λ 2 = 2 m + 1 2 λ x P

2,7 2 - m + 1 2 2 λ 2 2 m + 1 2 λ = x P

Essa expressão ainda está um pouco feia, mas vai nos ajudar num pequeno raciocínio.

Note que quando m aumenta, o numerador diminui, diminuindo x P . Além disso, o denominador aumenta, também diminuindo x P . Isso significa que, a medida que m aumentar, x P vai diminuir!

Então, para acharmos o maior x P tal que a interferência em P é destrutiva, precisamos usar o menor m possível, que é zero.

Passo 4

Com o que discutimos, vamos então substituir m = 0 na nossa expressão.

2,7 2 - 1 2 2 λ 2 2 1 2 λ = 2,7 2 - λ 2 4 λ = x P

Por fim, uma última mudança, pra equação ficar a melhor possível pra gente.

2,7 2 λ - λ 4 = x P

Mas o problema nos disse que λ = 900 n m = 0,9 μ m . Com isso, finalmente, atingimos nossa resposta:

2,7 2 0,9 - 0,9 4 = x P

x P = 8,1 - 0,225 = 7,875 μ m

Resposta

O maior valor de x P possível para que a interferência seja destrutiva é x P = 7,875 μ m .

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