Espelhos Esféricos

Teoria Completa

Como o nome sugere, os espelhos esféricos têm a forma de uma pequena seção da superfície de uma esfera.

Tipos de espelhos esféricos

Existem dois tipos de espelhos esféricos: os côncavos e os convexos. Para entender um pouco melhor cada tipo de espelho, vamos fazer uma comparação com o espelho plano.

Vamos considerar que tudo o que está na frente do espelho se encontra à esquerda, do mesmo lado que está o objeto. E tudo o que está atrás do espelho se encontra à direita, lado oposto ao do objeto.

Nas imagens abaixo C é o centro de curvatura, c é o centro do espelho, O é o objeto, p é a distância do objeto ao centro c do espelho, I é a imagem e i é a distância da imagem ao centro c do espelho.

Côncavo: centro de curvatura C na frente do espelho, campo de visão diminui.

Em um espelho côncavo, os raios que incidem paralelamente ao eixo central convergem para um mesmo ponto, chamado ponto focal F , ou foco. Da mesma forma, os raios que incidem sobre o foco, refletem paralelamente ao eixo central.

Como o foco está no mesmo lado do objeto, nós o chamamos de foco real.

Convexo: centro de curvatura C atrás do espelho, campo de visão aumenta.

Em um espelho convexo, os raios paralelos divergem a partir do foco virtual (que se encontra no lado oposto ao do objeto). Se liga:

Imagens formadas por espelhos esféricos

Existem algumas relações bastante importantes que precisamos saber e que serão necessárias pra resolvermos boa parte dos problemas.

A distância entre o foco F e o centro do espelho c é chamada distância focal f . E a distância entre o centro de curvatura C e o centro do espelho c é chamada de raio de curvatura r .

A distância focal e o raio de curvatura estão diretamente relacionados por:

f = 1 2 r

Além disso, existe uma importante relação direta entre a distância focal f , a distância p entre o objeto e o centro do espelho e a distância i entre a imagem e o centro do espelho:

1 f = 1 p + 1 i

e s p e l h o   e s f é r i c o

Seja h a altura de um objeto e seja h ' a altura da imagem correspondente, a ampliação lateral m é definida por:

m = h ' h

O valor m é positivo quando a imagem possui a mesma orientação do objeto, e é negativo quando a imagem possui orientação oposta ao do objeto.

A ampliação lateral também pode ser calculada a partir da equação:

m = - i p

Um último detalhe importante sobre as imagens formadas por espelhos esféricos: imagens reais se formam do mesmo lado do espelho em que se encontra o objeto e imagens virtuais do lado oposto.

Análise Gráfica de Espelhos Esféricos

Muitos problemas de espelhos esféricos acabam envolvendo a análise de gráficos. Assim, vamos mostrar dois dos casos mais comuns e como resolvê-los.

Gráfico p × i

A situação aqui é a seguinte: começamos a deslocar o objeto a partir do centro de um espelho esférico até uma distância p ' do espelho. Durante o movimento, a distância i entre a imagem e o centro do espelho é medida.

O gráfico abaixo mostra o valor de i em função da distância p do objeto até uma distância p s , onde p s < p ' .

A pergunta é: qual é a distância da imagem quando o objeto está a uma distância p ' do espelho?

Como p s < p ' , não podemos simplesmente tirar o valor de i ' do gráfico porque ele não estará lá (parece um bom motivo, né?).

Como o gráfico mostra, se mudarmos a distância p , mudaremos a distância i . Então vamos precisar de um parâmetro que seja constante.

Esse parâmetro é a distância focal f . Assim, nesse tipo de problema, um bom primeiro passo costuma ser calcular o valor de f .

Para isso, precisamos buscar no gráfico um ponto da curva e usar os respectivos valores de p e i para calcular f .

Na hora de escolher esse ponto, procure prestar atenção para escolher um ponto em que os valores sejam fáceis de pegar, como o exemplo abaixo:

Escolhidos os valores de p e i , basta calcular a distância focal f através da expressão:

1 f = 1 p + 1 i

Agora que finalmente calculamos f , basta usar o valor de p ' dado pelo problema e calcular o valor de i ' através da expressão:

1 f = 1 p ' + 1 i '

1 i ' = 1 f - 1 p '

Gráfico p × m

A situação agora é muito parecida com a anterior. Assim como antes, começamos a deslocar o objeto a partir do centro de um espelho esférico até uma distância p ' do espelho.

Durante o movimento, a ampliação lateral m é medida. O gráfico abaixo mostra o valor de m em função da distância p do objeto até uma distância p s , onde p s < p ' .

A pergunta é: qual é a ampliação lateral m ' do objeto quando este se encontra a uma distância p ' do espelho?

Assim, precisamos encontrar o valor de i ' para calcular o valor de m ' . Para isso, um bom começo é calcular a distância focal f do espelho, dada por:

1 f = 1 p + 1 i

Devemos escolher um ponto no gráfico, e a distância i será dada por:

i = - m . p

Agora que temos os valores de p e i correspondentes, podemos calcular a distância focal f .

Depois, através do valor de p ' e   f , calcular o valor de i ' correspondente:

1 i ' = 1 f - 1 p '

Finalmente, agora com todos os dados necessários, o valor da ampliação lateral m ' correspondente à distância p ' será dada por:

m ' = - i ' p '

Obs.: O importante aqui não é decorar o passo-a-passo, mas entender a lógica para resolver esse tipo de problema.

Identificando o Espelho Esférico

E se tiver uma questão pedindo pra você dizer se um espelho é côncavo ou convexo através de gráficos e informações? Calma, vamos ver aqui o que podemos diferenciar...

Espelho Côncavo

Como vimos antes, o espelho côncavo possui as seguintes características:

  • Centro de curvatura C na frente do espelho;
  • Campo de visão diminui;
  • A distância i e tamanho da imagem aumentam em relação ao espelho plano.

O gráfico de i em função de p tem mais ou menos essa cara:

Vemos que o gráfico possui uma descontinuidade, para entender melhor o que acontece, vamos explicando cada trecho separadamente:

  • 0 < p < f : Quando o objeto está entre o centro do espelho e o foco, a imagem formada é virtual (ou seja, é formada no lado do espelho oposto ao do objeto);
  • p = f : Quando o objeto está sobre o foco, não é formada nenhuma imagem pelo espelho. Isso explica o porquê da descontinuidade;
  • p > f : A partir dessa distância, a imagem formada pelo espelho é real, e o valor de i diminui gradativamente, como mostra o gráfico.

Assim, a descontinuidade aparece no momento em que a imagem muda de plano, deixando de se formar no plano virtual, para se formar no plano real.

Espelho Convexo

O espelho convexo possui as seguintes características:

  • Centro de curvatura C atrás do espelho;
  • Campo de visão aumenta;
  • A distância i e tamanho da imagem diminuem em relação ao espelho plano.

O gráfico abaixo relaciona i em função de p :

Nesse gráfico não temos nenhuma descontinuidade, como no caso do espelho côncavo. Isso ocorre porque todas as imagens formadas pelo espelho convexo são virtuais.

Assim, já conseguimos diferenciar os espelhos =)

Vamos praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 2, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 735

Um objeto encontra-se 3 0   c m à frente de um espelho convexo cuja distância focal é - 2 0   c m . A imagem é direita ou invertida? Real ou virtual? Menor ou maior?

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Passo 1

Temos S e f , vamos direto para a equação do foco:

1 f = 1 S + 1 S '

1 - 20 = 1 30 + 1 S '

S ' = - 12   c m

Sabemos, agora, que se trata de uma imagem virtual, logo direita.

Passo 2

Agora vamos para o aumento linear verificar se é menor ou maior: m = - S ' S

m = - 0,40

Com isso, definimos que é uma imagem menor.

A imagem é virtual, direita e menor. Mas pensa no espelho convexo! Toda imagem formada por um espelho convexo é virtual, direita e menor.

Resposta

A imagem é virtual, direita e menor.

Exercício Resolvido #2

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 2, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 735

Um objeto encontra-se 12   c m à frente de um espelho côncavo cuja distância focal é 2 0   c m . Use o traçado de raio para localizar a imagem. A imagem é direita ou invertida?

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Passo 1

Partiu fazer rascunho porque ninguém aqui vai decorar cada imagem proveniente de cada posição, certo?

Então vamos lá:

Temos, então, uma imagem virtual, direita e maior.

Mas e a sua posição?!

Passo 2

1 f = 1 S + 1 S '

1 20 = 1 12 + 1 S '

S ' = - 30   c m

Resposta

A imagem é virtual, direita e maior, localizada 30   c m atrás do espelho.

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 65

Um objeto é colocado no centro de um espelho esférico e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 70   c m do espelho.

Durante o movimento a distância i entre o espelho e a imagem do objeto é medida. A figura abaixo mostra o valor de i em função da distância p do objeto até uma distância p s = 40   c m .

Qual é a distância da imagem quando o objeto está a 70   c m do espelho?

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Passo 1

A singularidade no gráfico é típica de espelho côncavos, ela ocorre quando a imagem deixa de ser real para se tornar virtual. Isso ocorre quando:

p = f

Assim, do próprio gráfico já podemos concluir que, sendo p s = 40   c m :

f = 2 0   c m

Passo 2

Para descobrir a distância da imagem, basta usar a equação:

1 f = 1 p + 1 i

1 i = 1 f - 1 p

i = p . f p - f

Substituindo os valores, teremos:

i = 70 × 2 0 7 0 - 2 0 = + 28   c m

Resposta

i = + 28   c m

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 71

Um objeto é colocado no centro de um espelho esférico e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 70   c m do espelho.

Durante o movimento a distância i entre o espelho e a imagem do objeto é medida. A figura abaixo mostra o valor de i em função da distância p do objeto até uma distância p s = 40   c m .

Qual é a distância da imagem quando o objeto está a 70   c m do espelho?

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Passo 1

Vamos começar calculando a distância focal da lente, para isso vamos escolher no gráfico um ponto do qual possamos retirar facilmente os dados necessários.

No gráfico, podemos usar o ponto em que p = 15   c m e i = - 10   c m .

Logo:

1 f = 1 p + 1 i

f = p . i p + i

Substituindo os valores, teremos:

f = 15 × - 10 15 + - 10 = - 30   c m

Passo 2

Agora podemos calcular a distância i do problema.

1 f = 1 p + 1 i

1 i = 1 f - 1 p