Lentes Delgadas

Teoria Completa

Uma lente é um corpo transparente limitado por duas superfícies refratoras com um eixo central em comum.

Quando a lente está imersa no ar, a luz é refratada ao penetrar na lente, atravessa a lente, é refratada uma segunda vez e volta a se propagar no ar.

As duas refrações podem mudar a direção dos raios.

Vamos trabalhar com dois tipos de lentes:

  • Lente Convergente: raios incidem paralelos ao eixo central se aproximam do eixo.
  • Lente Divergente: raios se afastam do eixo central.

A imagem abaixo exemplifica como os raios se comportam para cada tipo de lente:

Um detalhe muito importante relacionado à distância focal f é o seguinte:

  • Se a lente for convergente, então o valor de f será positivo;
  • Se a lente for divergente, então o valor de f será negativo;

Para os nossos problemas, vamos considerar apenas lentes delgadas: lentes nas quais a distância do objeto p , a distância da imagem i e os raios de curvatura r 1 e r 2 das superfícies da lente são muito maiores que a sua espessura.

Para uma lente delgada com índice de refração n imersa no ar, a distância focal f é dada por:

1 f = n - 1 1 r 1 - 1 r 2

Além disso, uma relação que usamos muito em espelhos esféricos e que continua sendo válida para lentes é dada por:

1 f = 1 p + 1 i

Imagens formadas por lentes delgadas

Agora que já sabemos como cada lente se comporta, precisamos entender como as imagens são produzidas.

Para isso, temos que ter em mente apenas três regras:

  • Um raio que incide paralelo ao eixo central, após ser refratado, passa pelo ponto focal F 2 ;
  • Um raio que incide sobre o ponto focal F 1 , após ser refratado, se torna paralelo ao eixo central;
  • Um raio que passa pelo centro da lente emerge da lente sem sofrer mudanças na sua direção;

O ponto de encontro de dois ou mais raios é o ponto onde a imagem é formada, vamos aplicar as nossas regras nos dois tipos de lentes:

As lentes convergentes formam imagens da seguinte forma:

  • p > f : Imagem real e com a orientação invertida em relação ao objeto;
  • p = f : A lente não forma imagens;
  • p < f : Imagem virtual e com a mesma orientação do objeto;

Já as lentes divergentes formam imagens virtuais e com a mesma orientação que o objeto.

Análise Gráfica de Lentes Delgadas

O que vamos fazer agora é mostrar dois dos casos mais comuns de análise de gráficos de lentes delgadas e como resolvê-los.

A primeira situação é a seguinte. Imagine que você desloca um objeto até uma distância p ' da lente. Você vai ter o seguinte gráfico:

Qual é a distância da imagem quando o objeto está a uma distância p ' > p s da lente?

Como p s > p ' , não podemos simplesmente tirar o valor de i ' do gráfico porque ele não estará lá. Vamos precisar de um parâmetro que seja constante: a distância focal f .

Assim, nesse tipo de problema, um bom primeiro passo costuma ser calcular o valor de f . Precisamos buscar no gráfico um ponto da curva e usar os valores de p e i para calculá-la.

Depois que finalmente calculamos f , basta usar o valor de p ' dado pelo problema e calcular o valor de i ' através da expressão:

1 f = 1 p ' + 1 i '

ATENÇÃO! Assim como o espelho côncavo, a lente convergente não forma imagem quando o objeto se encontra sobre o foco F 1 . Assim, o gráfico p × i desse tipo de lente tem essa cara:

O gráfico pode parecer um pouco estranho, mas ele já nos ajuda bastante. Ele apresenta uma descontinuidade, e o ponto em que essa descontinuidade ocorre é justamente a distância focal f , já que quando o objeto está sobre ele a imagem não é formada. Nesse caso, podemos tirar do próprio gráfico a distância focal f , e economizamos os cálculos.

Agora vamos analisar o gráfico que mostra a variação da amplitude lateral em função da distancia p do objeto.

Qual é a ampliação lateral m ' > m s do objeto quando este se encontra a uma distância p ' da lente?

A ideia aqui é bem parecida: precisamos encontrar o valor de i ' para calcular o valor de m ' . Para isso, um bom começo é calcular a distância focal f da lente. Escolhe-se dois pontos do gráfico, m   e   p , e a distância i será dada por:

i = - m . p

Agora que temos os valores de p e i correspondentes, podemos calcular a distância focal f . O próximo passo é utilizar a mesma expressão e, através do valor de p ' , calcular o valor de i ' correspondente:

1 i ' = 1 f - 1 p '

Finalmente, agora com todos os dados necessários, pode-se calcular o valor da ampliação lateral m ' .

Identificando a Lente

Já sabemos as principais características de cada lente... mas e se ele te dá o gráfico de i em função de p e pede pra você dizer qual lente é? Calma, vamos ver direitinho.

Para a lente convergente, esse gráfico tem essa cara:

Vemos que o gráfico possui uma descontinuidade, para entender melhor o que acontece, vamos explicando cada trecho separadamente:

  • 0 < p < f : Quando o objeto está entre o centro da lente e o foco, a imagem formada é virtual (ou seja, é formada no mesmo lado da lente que objeto);
  • p = f : Quando o objeto está sobre o foco, não é formada nenhuma imagem pela lente. Isso explica o porquê da descontinuidade;
  • p > f : A partir dessa distância, a imagem formada pela lente é real, e o valor de i diminui gradativamente, como mostra o gráfico.

Assim, a descontinuidade aparece no momento em que a imagem muda de plano, deixando de se formar no plano virtual, para se formar no plano real.

Já para a lente divergente, ele tem essa cara aqui ó:

Nesse gráfico não temos nenhuma descontinuidade, como no caso da lente convergente, isso ocorre porque todas as imagens formadas pela lente divergente são virtuais.

Show? Agora já sabemos como diferenciar as lentes através do gráfico de i em função de p .

Combinação de Lentes

Agora vamos complicar um pouco mais as coisas... e se tivermos um objeto O diante de um conjunto de duas ou mais lentes cujos eixos centrais se coincidem e queremos localizar a imagem final do sistema?

Obs.: As posições, tamanho e orientações do objeto O e das imagens I 1 e I 2 são completamente arbitrárias. Além disso, as lentes foram representadas por retângulos porque há diversas combinações possíveis.

A estratégia que temos que usar pra resolver esse problema é a seguinte:

Vamos chamar de p 1 a distância entre o objeto O e a lente 1. A partir daí, calculamos a distância i 1 entre a imagem I 1 e a lente traçando os raios, ou usando a seguinte equação:

1 f 1 = 1 p 1 + 1 i 1

Depois vamos ignorar a presença da lente 1 e vamos passar a considerar a imagem I 1 como o objeto da lente 2.

Importante! Se o novo objeto (imagem I 1 ) estiver à direita da lente 2, a distância p 2 será considerada negativa. Agora, se o novo objeto (imagem I 1 ) estiver à esquerda da lente 2, a distância p 2 será considerada positiva.

Finalmente, basta calcular a distância i 2 traçando os raios, ou utilizando a seguinte equação:

1 f 2 = 1 p 2 + 1 i 2

Esse método pode ser aplicado a um sistema com n lentes! :O

Ah, só mais uma coisa! A ampliação lateral total M em um sistema formado por n lentes delgadas é dada por:

M = m 1 × m 2 × … × m n

Onde m i é ampliação lateral da lente i .

Show? Ufa! Vamos pros exercícios agora =)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 2, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 735

Um objeto encontra-se 20   c m à frente de uma lente convergente cuja distância focal é 10   c m . Use o método de traçado de raios para determinar a localização da imagem. Ela é direita ou invertida?

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Passo 1

Vamos pegar régua, papel e lápis e vamos rascunhar!

Mas para sermos mais rápidos, basta perceber que a posição do objeto equivale a duas vezes o valor de seu foco, o que indica que está no antiprincipal da lente. E o que sabemos? Se o objeto está no antiprincipal A 1 , a imagem é do mesmo tamanho e está no antiprincipal A 2 .

Resposta

Invertida, localizada a 20   c m do espelho, para a direita.

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um objeto encontra-se 15   c m à frente de uma lente divergente cuja distância focal é - 10   c m . Determine a localização da imagem, caracterize esta imagem e defina o aumento linear da mesma.

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Passo 1

Vamos lá, mole para nós!

Temos o foco f e a distância S , logo, podemos achar a distância S ' .

1 f = 1 S + 1 S '

- 1 10 = 1 15 + 1 S '

S ' = - 150 25 = - 6   c m

Passo 2

Opa, temos S ' negativo, então nossa imagem é virtual e direita. Baste sabermos se é maior ou menor. Vamos para o aumento linear.

A = - S ' S

A = 6 15 = 0,4

Logo, virtual, direita e menor.

Resposta

S ' = - 6   c m

A = 0,4

Imagem virtual, direita e menor.

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 64

A figura abaixo mostra quatro lentes delgadas, todas feitas do mesmo material, com lados que são planos ou têm um raio de curvatura de 10   c m em módulo.

Sem fazer nenhum cálculo, coloque as lentes na ordem do módulo da distância focal, começando pela maior.

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Passo 1

Nas lentes a e b , somente as superfícies esféricas “contribuem” para a distância focal. Assim, as duas possuem distâncias focais iguais, mas com sinais contrários. Mas como estamos analisando o módulo da distância focal, teremos:

f a = f b

Passo 2

Na lente c , como o raio de curvatura de cada superfície está para um lado, a distância focal resultante será menor que das lentes a e b , logo:

f a = f b > f c

Passo 3

Na lente d , como os raios das superfícies esféricas estão para o mesmo lado, o valor da distância focal dessa lente será maior que as anteriores, logo:

f d > f a = f b > f c

Resposta

f d > f a = f b > f c

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 67

Um objeto é colocado no centro de uma lente delgada e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 40   c m da lente. Durante o movimento a distância i entre a lente e a imagem do objeto é medida. A figura abaixo mostra o resultado em função da distância p do objeto até p s = 60   c m .

Determine a distância da imagem para p = 100 c m .

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Passo 1

A singularidade no gráfico é típica de lentes convergentes, ela ocorre quando a imagem deixa de ser real para se tornar virtual. Isso ocorre quando:

p = f

Assim, do próprio gráfico já podemos concluir que:

f = 30   c m

Passo 2

Para descobrir a distância da imagem, basta usar a equação:

1 f = 1 p + 1 i

1 i = 1 f - 1 p

i = p . f p - f

Substituindo os valores, teremos:

i = 100 × 30 100 - 30 ≅ + 4 3   c m

Resposta

i ≅ + 4 3   c m

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 67-68

Um objeto é colocado no centro de uma lente delgada e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 70   c m da lente. Durante o movimento a distância i entre a lente e a imagem do objeto é medida. A figura abaixo mostra o resultado em função da distância p do objeto até p s = 40   c m .

Determine a distância da imagem para p = 70 c m .

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Passo 1

Vamos começar calculando a distância focal da lente, para isso vamos escolher no gráfico um ponto do qual possamos retirar facilmente os dados necessários.

No gráfico, podemos usar o ponto em que p = 20   c m e i = - 10   c m .

Logo:

1 f = 1 p + 1 i

f = p . i p + i

Substituindo os valores, teremos:

f = 20 × - 10 20 + - 10 = - 20   c m

Passo 2

Agora podemos calcular a distância i do problema.

1 f = 1 p + 1 i

1 i = 1 f - 1 p

i = p . f p - f