Partícula na Caixa – 2D e 3D

Teoria Completa

A caixa 2D e 3D

Podemos prender o elétron também em um plano ou literalmente numa caixa retangular.

Às vezes você pode ver a armadilha bidimensional ser chamada de “Curral quântico”.

Nestes casos, a função de onda não vai depender apenas de x , mas também de y e z .

A equação de Schrödinger independente do tempo bidimensional e tridimensional dentro da armadilha será:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ x , y ∂ x 2 + ∂ 2 ψ x , y ∂ y 2 = E   ψ x , y

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ x , y , z ∂ x 2 + ∂ 2 ψ x , y , z ∂ y 2 + ∂ 2 ψ x , y , z ∂ z 2 = E   ψ x , y ,   z

Vamos considerar soluções onde dá pra separar cada dependência.

ψ x , y , z = X x Y y Z ( z )

Isso vai fazer com que tenhamos um problema equivalente ao da caixa unidimensional em cada eixo.

As funções de onda serão:

X x = 2 L x sen ⁡ n x π x L x ;     Y y = 2 L y sen ⁡ n y π y L y ;     Z z = 2 L z sen ⁡ n z π z L z

2 D →     ψ x , y = 2 L x ∙ 2 L y sen ⁡ n x π x L x sen ⁡ n y π y L y

3 D →     ψ x , y , z = 2 L x ∙ 2 L y ∙ 2 L z sen ⁡ n x π x L x sen ⁡ n y π y L y sen ⁡ n z π z L z

As energias serão:

E x = n x 2 ∙ h 2 8 m L x 2 ;     E y = n y 2 ∙ h 2 8 m L y 2 ;     E z = n z 2 ∙ h 2 8 m L z 2

2 D →     E x , y = E x + E y = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2

3 D →     E x , y , z = E x + E y + E z = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2 + n z 2 L z 2

E em ambos os casos:

n x = 1 ,   2 ,   …

n y = 1 ,   2 ,   …

n z = 1,2 ,   …

Para esse problema aparece um fenômeno novo chamado “degenerescência”.

Imagine que a caixa tridimensional seja um cubo: L x = L y = L z = L . A energia será:

E = h 2 8 m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Os estados n x , n y , n z = 1,1 , 2 ; 1,2 , 1 ; 2,1 , 1 vão ter todos a mesma energia!

Isso é a degenerescência: Quando estados diferentes possuem a mesma energia.

Isso pode ocorrer de diferentes maneiras e em diferentes casos. Não é necessário que as dimensões do curral ou da caixa sejam iguais. Então sempre que você for ver transições entre estados energéticos, tome cuidado com isso!

Duas transições completamente diferentes podem ter a mesma diferença de energia.

Por isso é sempre importante tomar cuidado na hora que você for resolver problemas em mais de uma dimensão: Cada energia pode corresponder a várias combinações dos números quânticos envolvidos.

Outra forma de ampliar esse problema seria pensando em várias partículas numa caixa tridimensional. Neste caso, nós recobramos a lei dos gases ideais.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 242-22

Um elétron é confinado no curral retangular da Fig.39-13, cujas larguras são L x = 800   p m e L y = 1600   p m .

Qual é a energia do estado fundamental do elétron?

Dado:

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31   k g

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Passo 1

A energia do elétron confinado em um curral retangular é a soma das energias se o elétron estivesse confinado em um poço de potencial infinito no eixo x e no eixo y . Logo:

E n x , n y = h 2 8 m L x 2 n x 2 + h 2 8 m L y 2 n y 2 = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2

No estado fundamental temos n x = n y = 1 . Logo:

E 1,1 = h 2 8 m 1 L x 2 + 1 L y 2

Passo 2

Do enunciado temos:

Constante de Planck h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31   k g

Dimensões do curral L x = 800   p m = 8 ∙ 10 - 10   m e L y = 1600   p m = 16 ∙ 10 - 10   m

E 1,1 = 6,626 ∙ 10 - 34 2 8 ∙ 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 1 8 ∙ 10 - 10 2 + 1 16 ∙ 10 - 10 2

E 1,1 ≅ 6,02479 ∙ 10 - 38 ∙ 0,015625 ∙ 10 20 + 0,00390625 ∙ 10 20

E 1,1 ≅ 1,177 ∙ 10 - 19   J

Em elétrons-volt:

1   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J

E 1,1 ≅ 0,735   e V

Resposta

E 1,1 ≅ 1,177 ∙ 10 - 19   J ≅ 0,735   e V

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 242-23

Um elétron é confinado na caixa retangular da Fig.39-14, cujas dimensões são L x = 800   p m , L y = 1600   p m e L z = 390   p m .

Qual é a energia do estado fundamental do elétron?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A energia do elétron confinado em uma caixa tridimensional é a soma das energias se o elétron estivesse confinado em um poço de potencial infinito no eixo x , no eixo y e no eixo z . Logo:

E n x , n y , n z = h 2 8 m L x 2 n x 2 + h 2 8 m L y 2 n y 2 + h 2 8 m L z 2 n z 2 = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2 + n z 2 L z 2

No estado fundamental temos n x = n y = n z = 1 . Logo:

E 1,1 , 1 = h 2 8 m 1 L x 2 + 1 L y 2 + 1 L z 2

Passo 2

Do enunciado temos:

Constante de Planck h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31   k g

Dimensões da caixa L x = 800   p m = 8 ∙ 10 - 10   m , L y = 1600   p m = 16 ∙ 10 - 10   m e L z = 390   p m = 3,9 ∙ 10 - 10   m

E 1,1 , 1 = 6,626 ∙ 10 - 34 2 8 ∙ 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 1 8 ∙ 10 - 10 2 + 1 16 ∙ 10 - 10 2 + 1 3,9 ∙ 10 - 10 2

E 1,1 , 1 ≅ 6,02479 ∙ 10 - 38 ∙ 0,015625 ∙ 10 20 + 0,00390625 ∙ 10 20 + 0,065746 ∙ 10 20

E 1,1 , 1 ≅ 5 , 1 38 ∙ 10 - 19   J

Em elétrons-volt:

1   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J

E 1,1 , 1 ≅ 3 , 207   e V

Resposta

E 1,1 , 1 ≅ 5,138 ∙ 10 - 19   J ≅ 3,207   e V