Espalhamento Compton

Teoria Completa

Se a luz é composta por partículas, os fótons, então teoricamente elas poderiam bater em outras partículas, como bolas numa mesa de sinuca.

De fato, um físico chamado Compton apontou que se a isso fosse verdade, então era possível explicar a interação entre fótons e elétrons livres como um processo onde a luz se espalha, cedendo um pouco de energia pro elétron na forma de energia cinética.

O elétron estaria parado e, quando o fóton colidisse com ele, cederia energia que faria o elétron começar a se mover. Porém, para isso, o fóton teria que ter perdido energia.

O fóton espalhado teria menor energia e, portanto, frequência menor.

Essas colisões são tratadas como elásticas. Então, vamos analisá-las usando a conservação do momento linear e da energia.

De acordo com Compton, o que acontece é o seguinte:

Considerando que a colisão é elástica, nós podemos dizer que:

  • O momento linear do sistema (fóton + partícula) se conserva
  • A energia do sistema (fóton + partícula) se conserva

E caímos num probleminha de colisão.

Mas cuidado!

Quando eu te digo que a energia do sistema se conserva, eu não estou falando da soma da energia cinética com uma energia potencial.

Neste caso a energia é relativística: a energia total da partícula é igual à energia cinética mais uma energia de repouso.

E = K + m c 2

Onde m é a massa da partícula e E = m c 2 é a chamada energia de repouso da partícula.

No final das contas, o que vamos encontrar é essa fórmula aqui:

Δ λ = λ 2 - λ 1 = h m c   1 - cos ⁡ θ

(Espalhamento Compton)

Onde a grandeza h / m c é o que chamamos de comprimento de onda de Compton, e para um elétron vale:

λ c = h m c = 2,426 × 10 - 12 m

λ c ≅ 2,43   p m

Se a luz colidir com outras partículas livres, a interação é igual, mas o comprimento de onda de Compton muda! (porque depende da massa da partícula)

Uma observação conceitual importante é que não existem elétrons livres. Eles estão sempre presos a algum material.

Por isso, para esse espalhamento ser observado em um laboratório, por exemplo, em geral a energia do fóton tem que ser muito maior que a energia que faz o elétron estar preso à superfície.

Nesse caso, a energia do fóton será tão grande que ele vai sentir como se o elétron estivesse livre, quando na verdade, não está.

Espalhamento e Energia Final

Tá, já vimos que no espalhamento Compton o fóton tinha inicialmente um comprimento de onda e depois ele tem outro. O que significa isso?

Significa que a energia do fóton variou:

E i n i c i a l = h c λ 1

E f i n a l = h c λ 2 = h c λ 1 + Δ λ

A energia perdida pelo fóton vai ser absorvida pela partícula na forma de energia cinética.

Logo, a energia cinética dessa outra partícula vai ser:

K = - Δ E f ó t o n = - ( E f i n a l - E i n i c i a l )

O sinal de menos é pra fazer a energia cinética ser maior que zero, visto que Δ E f ó t o n < 0 .

Mas essa não vai ser a energia total da partícula!

A energia relativística total de uma partícula é a soma de sua energia cinética com sua energia de repouso m c 2 , que é a energia equivalente à sua massa.

Com isso, a energia final da partícula será:

E = K + m c 2

Sendo que inicialmente a partícula tinha apenas sua energia de repouso.

E = m c 2

Esse monte de papo sobre energia é importante, pois pode cair em provas pegadinhas. Talvez em algumas faculdades, só se pergunte qual a energia cinética do elétron, ou qual a variação de energia da partícula Δ E p a r t í c u l a = K .

Porém, não tem como eu garantir que na sua faculdade o professor não decida por algum motivo pedir a energia total da partícula.

Então, vamos para os exercícios pra ficarmos afiados com isso!

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 210-33, modificado.

Determine o comprimento de onda de Compton:

  1. De um elétron.
  2. De um próton.

Qual é a energia dos fótons de uma onda eletromagnética com um comprimento de onda igual ao comprimento de onda de Compton

  1. Do elétron.
  2. Do próton.

Dê a energia em J e em M e V

Dados:

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

Massa do próton m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g

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Passo 1

O comprimento de onda de Compton de uma partícula é:

h m c

Onde:

  • h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s é a constante de Planck.
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s é a velocidade da luz no vácuo.
  • m é a massa da partícula.

Passo 2

Letra a)

A massa do elétron é:

m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

Logo:

h m e c = 6,626 ∙ 10 - 34 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 2,998 ∙ 10 8 ≅ 2,426 ∙ 10 - 12   m

Passo 3

Letra b)

A massa do próton é:

m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g

Logo:

h m p c = 6,626 ∙ 10 - 34 1,673 ∙ 10 - 27 ∙ 2,998 ∙ 10 8 ≅ 1,321 ∙ 10 - 15   m

Passo 4

Letra c)

A energia do fóton é dada por:

E = h f = h c λ

Para um fóton com comprimento de onda de Compton do elétron:

E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2,426 ∙ 10 - 12 ≅ 8,188 ∙ 10 - 14   J

A conversão de J para e V é:

1   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J

E = 8,188 ∙ 10 - 14 1,602 ∙ 10 - 19 ≅ 5,11 ∙ 10 5   e V = 0,511   M e V

Passo 5

Letra d)

A energia do fóton é dada por:

E = h f = h c λ

Para um fóton com comprimento de onda de Compton do próton:

E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 1,321 ∙ 10 - 15 ≅ 1,504 ∙ 10 - 10   J

A conversão de J para e V é:

1   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J

E = 1,504 ∙ 10 - 10 1,602 ∙ 10 - 19 ≅ 9,388 ∙ 10 8   e V = 938,8   M e V

Resposta

Letra a)

h m e c ≅ 2,426 ∙ 10 - 12   m

Letra b)

h m p c ≅ 1,321 ∙ 10 - 15   m

Letra c)

E ≅ 8,188 ∙ 10 - 14   J ≅ 0,511   M e V

Letra d)

E ≅ 1,504 ∙ 10 - 10   J ≅ 938,8   M e V

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 207-8.

Espalhamento de Compton.

A Fig.38-20 mostra o deslocamento de Compton Δ λ em função do ângulo de espalhamento ϕ para três diferentes partículas estacionárias usadas como alvo.

Coloque as partículas na ordem de suas massas, começando pela maior.

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Passo 1

O deslocamento de Compton em função do ângulo de espalhamento é dado por:

Δ λ = h m c ( 1 - cos ⁡ ϕ )

De ϕ = 0 até ϕ = π , o cosseno varia de 1 até - 1 , fazendo o deslocamento aumentar a medida que o ângulo de espalhamento aumenta.

A medida de o quanto o ângulo de espalhamento afeta o deslocamento de Compton é dado pelo comprimento de onda de Compton da partícula:

λ C = h m c

Quanto maior o comprimento de onda de Compton mais o deslocamento aumenta com o ângulo.

Assim, pelo gráfico, temos:

λ C , 1 > λ C , 2 > λ C , 3

Passo 2

O comprimento de onda de Compton é inversamente proporcional à massa da partícula.

λ C = h m c

Quanto maior esse valor, menor é a massa da partícula. Logo:

m 1 < m 2 < m 3

Começando pela maior, a ordem das massas das partículas é:

m 3 > m 2 > m 1

Resposta

m 3 > m 2 > m 1

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-29.

Um feixe luminoso com um comprimento de onda de 2,4   p m incide em um alvo que contém elétrons livres.

  1. Determine o comprimento de onda da luz espalhada a 30 ° com a direção do feixe incidente.
  2. Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de 120 ° .
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Passo 1

O deslocamento Compton da luz espalhada é:

Δ λ = λ C ,   e ( 1 - cos ⁡ ϕ )

Onde λ C , e = h / m e c é o comprimento de onda de Compton do Elétron, cuja massa é m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g . O comprimento de onda de Compton do Elétron fica:

λ C , e = h m e c = 6,626 ∙ 10 - 34 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 2,998 ∙ 10 8 ≅ 2,426 ∙ 10 - 12   m

Como 1   p m = 10 - 12 m , teremos:

λ C , e ≅ 2,426   p m

Passo 2

Letra a)

Para ϕ = 30 ° = π 6   r a d , temos:

cos ⁡ ϕ = 3 2

Δ λ ≅ 2,426 ∙ 1 - 3 2 ≅ 2,426 ∙ 2 - 3 2 ≅ 2,426 ∙ 0,134 ≅ 0,325   p m

O comprimento de onda da luz espalhada vai ser o da incidente somado do deslocamento:

λ ' = λ + Δ λ

Pelo enunciado, λ = 2,4   p m .

λ ' = 2,4 + 0,325 = 2,725   p m

Passo 3

Letra b)

Para ϕ = 120 ° = 2 π 3   r a d , temos:

cos ⁡ ϕ = - 1 2

Δ λ ≅ 2,426 ∙ 1 - - 1 2 = 2,426 ∙ 1 + 1 2 2,426 ∙ 3 2 ≅ 3,639   p m

O comprimento de onda da luz espalhada vai ser o da incidente somado do deslocamento:

λ ' = λ + Δ λ

Pelo enunciado, λ ' = 2,4   p m .

λ ' = 2,4 + 3,639 = 6,039   p m