Teoria Completa
Se a luz é composta por partículas, os fótons, então teoricamente elas poderiam bater em outras partículas, como bolas numa mesa de sinuca.
De fato, um físico chamado Compton apontou que se a isso fosse verdade, então era possível explicar a interação entre fótons e elétrons livres como um processo onde a luz se espalha, cedendo um pouco de energia pro elétron na forma de energia cinética.
O elétron estaria parado e, quando o fóton colidisse com ele, cederia energia que faria o elétron começar a se mover. Porém, para isso, o fóton teria que ter perdido energia.
O fóton espalhado teria menor energia e, portanto, frequência menor.
Essas colisões são tratadas como elásticas. Então, vamos analisá-las usando a conservação do momento linear e da energia.
De acordo com Compton, o que acontece é o seguinte:
Considerando que a colisão é elástica, nós podemos dizer que:
- O momento linear do sistema (fóton + partícula) se conserva
- A energia do sistema (fóton + partícula) se conserva
E caímos num probleminha de colisão.
Mas cuidado!
Quando eu te digo que a energia do sistema se conserva, eu não estou falando da soma da energia cinética com uma energia potencial.
Neste caso a energia é relativística: a energia total da partícula é igual à energia cinética mais uma energia de repouso.
Onde é a massa da partícula e é a chamada energia de repouso da partícula.
No final das contas, o que vamos encontrar é essa fórmula aqui:
(Espalhamento Compton)
Onde a grandeza é o que chamamos de comprimento de onda de Compton, e para um elétron vale:
Se a luz colidir com outras partículas livres, a interação é igual, mas o comprimento de onda de Compton muda! (porque depende da massa da partícula)
Uma observação conceitual importante é que não existem elétrons livres. Eles estão sempre presos a algum material.
Por isso, para esse espalhamento ser observado em um laboratório, por exemplo, em geral a energia do fóton tem que ser muito maior que a energia que faz o elétron estar preso à superfície.
Nesse caso, a energia do fóton será tão grande que ele vai sentir como se o elétron estivesse livre, quando na verdade, não está.
Espalhamento e Energia Final
Tá, já vimos que no espalhamento Compton o fóton tinha inicialmente um comprimento de onda e depois ele tem outro. O que significa isso?
Significa que a energia do fóton variou:
A energia perdida pelo fóton vai ser absorvida pela partícula na forma de energia cinética.
Logo, a energia cinética dessa outra partícula vai ser:
O sinal de menos é pra fazer a energia cinética ser maior que zero, visto que .
Mas essa não vai ser a energia total da partícula!
A energia relativística total de uma partícula é a soma de sua energia cinética com sua energia de repouso , que é a energia equivalente à sua massa.
Com isso, a energia final da partícula será:
Sendo que inicialmente a partícula tinha apenas sua energia de repouso.
Esse monte de papo sobre energia é importante, pois pode cair em provas pegadinhas. Talvez em algumas faculdades, só se pergunte qual a energia cinética do elétron, ou qual a variação de energia da partícula .
Porém, não tem como eu garantir que na sua faculdade o professor não decida por algum motivo pedir a energia total da partícula.
Então, vamos para os exercícios pra ficarmos afiados com isso!
Exercício Resolvido #1
Determine o comprimento de onda de Compton:
- De um elétron.
- De um próton.
Qual é a energia dos fótons de uma onda eletromagnética com um comprimento de onda igual ao comprimento de onda de Compton
- Do elétron.
- Do próton.
Dê a energia em e em
Dados:
Massa do elétron
Massa do próton
Passo 1
O comprimento de onda de Compton de uma partícula é:
Onde:
- é a constante de Planck.
- é a velocidade da luz no vácuo.
- é a massa da partícula.
Passo 2
Letra a)
A massa do elétron é:
Logo:
Passo 3
Letra b)
A massa do próton é:
Logo:
Passo 4
Letra c)
A energia do fóton é dada por:
Para um fóton com comprimento de onda de Compton do elétron:
A conversão de para é:
Passo 5
Letra d)
A energia do fóton é dada por:
Para um fóton com comprimento de onda de Compton do próton:
A conversão de para é:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
Letra d)
Exercício Resolvido #2
Espalhamento de Compton.
A Fig.38-20 mostra o deslocamento de Compton em função do ângulo de espalhamento para três diferentes partículas estacionárias usadas como alvo.
Coloque as partículas na ordem de suas massas, começando pela maior.
Passo 1
O deslocamento de Compton em função do ângulo de espalhamento é dado por:
De até , o cosseno varia de até , fazendo o deslocamento aumentar a medida que o ângulo de espalhamento aumenta.
A medida de o quanto o ângulo de espalhamento afeta o deslocamento de Compton é dado pelo comprimento de onda de Compton da partícula:
Quanto maior o comprimento de onda de Compton mais o deslocamento aumenta com o ângulo.
Assim, pelo gráfico, temos:
Passo 2
O comprimento de onda de Compton é inversamente proporcional à massa da partícula.
Quanto maior esse valor, menor é a massa da partícula. Logo:
Começando pela maior, a ordem das massas das partículas é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Um feixe luminoso com um comprimento de onda de incide em um alvo que contém elétrons livres.
- Determine o comprimento de onda da luz espalhada a com a direção do feixe incidente.
- Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de .
Passo 1
O deslocamento Compton da luz espalhada é:
Onde é o comprimento de onda de Compton do Elétron, cuja massa é . O comprimento de onda de Compton do Elétron fica:
Como , teremos:
Passo 2
Letra a)
Para , temos:
O comprimento de onda da luz espalhada vai ser o da incidente somado do deslocamento:
Pelo enunciado, .
Passo 3
Letra b)
Para , temos:
O comprimento de onda da luz espalhada vai ser o da incidente somado do deslocamento:
Pelo enunciado, .
Resposta
Letra a)
Letra b)
Exercício Resolvido #4
Que aumento percentual do comprimento de onda leva a uma perda de da energia do fóton em uma colisão entre um fóton e um elétron livre?
Passo 1
A energia de um fóton é dada por:
Depois da colisão, ele sofre uma perda de da energia do fóton, e fica com uma energia:
O que corresponde a:
Ou seja:
Passo 2
O aumento percentual do comprimento de onda é:
O que corresponde a um aumento de no comprimento de onda.
Resposta
Um aumento de no comprimento de onda.
Exercício Resolvido #5
Se um fóton com de comprimento de onda se choca com um elétron livre e sobre um espalhamento que forma um ângulo de com sua direção original, calcule:
- A variação no comprimento de onda desse fóton;
- O comprimento de onda da luz espalhada;
- A variação de energia do fóton (há perda ou ganho?);
- A energia ganha pelo elétron;
Passo 1
Trata-se de um problema de espalhamento Compton, onde a equação é dada por:
Passo 2
Letra (a): Calcule a variação no comprimento de onda desse fóton.
Onde:
;
;
;
Logo:
Passo 3
Letra (b): Calcule o comprimento de onda da luz espalhada.
Onde:
;
;
Logo:
Passo 4
Letra (c): Calcule a variação de energia do fóton (há perda ou ganho?);
A energia do fóton é dada por:
Passo 5
A variação da energia do fóton será dada por:
Onde:
;
;
;
;
Logo:
Há perda de energia.
Passo 6
Letra (d): Calcule a energia ganha pelo elétron.
A energia ganha pelo elétron é igual à energia perdida pelo fóton. Assim:
Resposta
Letra (a):
Letra (b):
Letra (c):
Letra (d):
Exercício Resolvido #6
Um feixe de raios gama com fótons de energia incide sobre um alvo de alumínio, sendo espalhado em várias direções por elétrons quase livres do alvo.
Calcule o comprimento de onda dos raios gama incidentes.
Determine o comprimento de onda dos raios gama espalhados a em relação à direção do feixe incidente.
Obtenha a energia dos elétrons espalhados quando os fótons são espalhados a .
Passo 1
Para determinar o comprimento de onda, devemos lembrar da definição para a energia dos fótons:
Substituindo por , temos:
Substituindo o valor da energia, assim como o valor da constante , temos:
Perceba que tivemos que passar a energia de para .
Passo 2
Para o Efeito Compton, temos que a variação do comprimento de onda é dada por:
Substituindo os valores dados, assim como os valores das constantes, temos:
O valor , é geralmente fornecido.
Passo 3
Agora, vamos determinar a energia total dos elétrons espalhados. Para isso, vamos utilizar a conservação da energia durante a colisão. Sabendo que antes, temos somente a energia dos fótons incidentes e a energia de repouso do elétron, e depois temos a energia dos fótons espalhados e a energia total dos elétrons, temos:
Substituindo por , temos:
Substituindo os valores já obtidos, assim como os valores das constantes, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Um estudante de Física IV decide calibrar um goniômetro (instrumento para medir ângulos) com o auxílio de uma fonte de raio X com , um bloco de algum material e um analisador de comprimentos de onda.
Sabendo que a onda Compton é , qual o ângulo deverá ser medido no goniômetro uma vez que o analisador mediu um comprimento de onda espalhado
- Nenhuma das anteriores.
Passo 1
Trata-se de um problema de espalhamento. Segundo Compton, podemos associar os comprimentos da onda incidente e espalhado por:
Ou:
Passo 2
Onde:
;
;
;
Logo:
Resposta
c)
Exercício Resolvido #8
Um feixe de raios gama cujos fótons têm uma energia de incide em um alvo de alumínio e é espalhado em várias direções por elétrons quase livres do alvo.
- Qual é o comprimento de onda dos raios gama incidentes?
- Qual é o comprimento de onda dos raios gama espalhados a com o feixe incidente?
- Qual é a energia dos fótons espalhados nessa direção?
Passo 1
Letra a)
A energia de um fóton de luz é dado por:
Onde:
O enunciado nos diz que . Rearrumando nossa equação:
Passo 2
Letra b)
O deslocamento de Compton é dado por
Onde é o comprimento de onda de Compton do Elétron, e a massa é . O comprimento de onda de Compton do Elétron fica:
Como , teremos:
Passo 3
Quando temos