Espalhamento Compton

Teoria Completa

Se a luz é composta por partículas, os fótons, então teoricamente elas poderiam bater em outras partículas, como bolas numa mesa de sinuca.

De fato, um físico chamado Compton apontou que se a isso fosse verdade, então era possível explicar a interação entre fótons e elétrons livres como um processo onde a luz se espalha, cedendo um pouco de energia pro elétron na forma de energia cinética.

O elétron estaria parado e, quando o fóton colidisse com ele, cederia energia que faria o elétron começar a se mover. Porém, para isso, o fóton teria que ter perdido energia.

O fóton espalhado teria menor energia e, portanto, frequência menor.

Essas colisões são tratadas como elásticas. Então, vamos analisá-las usando a conservação do momento linear e da energia.

De acordo com Compton, o que acontece é o seguinte:

Considerando que a colisão é elástica, nós podemos dizer que:

  • O momento linear do sistema (fóton + partícula) se conserva
  • A energia do sistema (fóton + partícula) se conserva

E caímos num probleminha de colisão.

Mas cuidado!

Quando eu te digo que a energia do sistema se conserva, eu não estou falando da soma da energia cinética com uma energia potencial.

Neste caso a energia é relativística: a energia total da partícula é igual à energia cinética mais uma energia de repouso.

E = K + m c 2

Onde m é a massa da partícula e E = m c 2 é a chamada energia de repouso da partícula.

No final das contas, o que vamos encontrar é essa fórmula aqui:

Δ λ = λ 2 - λ 1 = h m c   1 - cos ⁡ θ

(Espalhamento Compton)

Onde a grandeza h / m c é o que chamamos de comprimento de onda de Compton, e para um elétron vale:

λ c = h m c = 2,426 × 10 - 12 m

λ c ≅ 2,43   p m

Se a luz colidir com outras partículas livres, a interação é igual, mas o comprimento de onda de Compton muda! (porque depende da massa da partícula)

Uma observação conceitual importante é que não existem elétrons livres. Eles estão sempre presos a algum material.

Por isso, para esse espalhamento ser observado em um laboratório, por exemplo, em geral a energia do fóton tem que ser muito maior que a energia que faz o elétron estar preso à superfície.

Nesse caso, a energia do fóton será tão grande que ele vai sentir como se o elétron estivesse livre, quando na verdade, não está.

Espalhamento e Energia Final

Tá, já vimos que no espalhamento Compton o fóton tinha inicialmente um comprimento de onda e depois ele tem outro. O que significa isso?

Significa que a energia do fóton variou:

E i n i c i a l = h c λ 1

E f i n a l = h c λ 2 = h c λ 1 + Δ λ

A energia perdida pelo fóton vai ser absorvida pela partícula na forma de energia cinética.

Logo, a energia cinética dessa outra partícula vai ser:

K = - Δ E f ó t o n = - ( E f i n a l - E i n i c i a l )

O sinal de menos é pra fazer a energia cinética ser maior que zero, visto que Δ E f ó t o n < 0 .

Mas essa não vai ser a energia total da partícula!

A energia relativística total de uma partícula é a soma de sua energia cinética com sua energia de repouso m c 2 , que é a energia equivalente à sua massa.

Com isso, a energia final da partícula será:

E = K + m c 2

Sendo que inicialmente a partícula tinha apenas sua energia de repouso.

E = m c 2

Esse monte de papo sobre energia é importante, pois pode cair em provas pegadinhas. Talvez em algumas faculdades, só se pergunte qual a energia cinética do elétron, ou qual a variação de energia da partícula Δ E p a r t í c u l a = K .

Porém, não tem como eu garantir que na sua faculdade o professor não decida por algum motivo pedir a energia total da partícula.

Então, vamos para os exercícios pra ficarmos afiados com isso!

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 210-33, modificado.

Determine o comprimento de onda de Compton:

  1. De um elétron.
  2. De um próton.

Qual é a energia dos fótons de uma onda eletromagnética com um comprimento de onda igual ao comprimento de onda de Compton

  1. Do elétron.
  2. Do próton.

Dê a energia em J e em M e V

Dados:

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

Massa do próton m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g

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Passo 1

O comprimento de onda de Compton de uma partícula é:

h m c

Onde:

  • h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s é a constante de Planck.
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s é a velocidade da luz no vácuo.
  • m é a massa da partícula.

Passo 2

Letra a)

A massa do elétron é:

m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

Logo:

h m e c = 6,626 ∙ 10 - 34 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 2,998 ∙ 10 8 ≅ 2,426 ∙ 10 - 12   m

Passo 3

Letra b)

A massa do próton é:

m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g

Logo:

h m p c = 6,626 ∙ 10 - 34 1,673 ∙ 10 - 27 ∙ 2,998 ∙ 10 8 ≅ 1,321 ∙ 10 - 15   m

Passo 4

Letra c)

A energia do fóton é dada por:

E = h f = h c λ

Para um fóton com comprimento de onda de Compton do elétron:

E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2,426 ∙ 10 - 12 ≅ 8,188 ∙ 10 - 14   J

A conversão de J para e V é:

1   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J

E = 8,188 ∙ 10 - 14 1,602 ∙ 10 - 19 ≅ 5,11 ∙ 10 5   e V = 0,511   M e V

Passo 5

Letra d)

A energia do fóton é dada por:

E = h f = h c λ

Para um fóton com comprimento de onda de Compton do próton:

E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 1,321 ∙ 10 - 15 ≅ 1,504 ∙ 10 - 10   J

A conversão de J para e V é:

1   e V = 1,602 ∙ 10 - 19   J

E = 1,504 ∙ 10 - 10 1,602 ∙ 10 - 19 ≅ 9,388 ∙ 10 8   e V = 938,8   M e V

Resposta

Letra a)

h m e c ≅ 2,426 ∙ 10 - 12   m

Letra b)

h m p c ≅ 1,321 ∙ 10 - 15   m

Letra c)

E ≅ 8,188 ∙ 10 - 14   J ≅ 0,511   M e V

Letra d)

E ≅ 1,504 ∙ 10 - 10   J ≅ 938,8   M e V

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 207-8.

Espalhamento de Compton.

A Fig.38-20 mostra o deslocamento de Compton Δ λ em função do ângulo de espalhamento ϕ para três diferentes partículas estacionárias usadas como alvo.

Coloque as partículas na ordem de suas massas, começando pela maior.

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Passo 1

O deslocamento de Compton em função do ângulo de espalhamento é dado por:

Δ λ = h m c ( 1 - cos ⁡ ϕ )

De ϕ = 0 até ϕ = π , o cosseno varia de 1 até - 1 , fazendo o deslocamento aumentar a medida que o ângulo de espalhamento aumenta.

A medida de o quanto o ângulo de espalhamento afeta o deslocamento de Compton é dado pelo comprimento de onda de Compton da partícula:

λ C = h m c

Quanto maior o comprimento de onda de Compton mais o deslocamento aumenta com o ângulo.

Assim, pelo gráfico, temos:

λ C , 1 > λ C , 2 > λ C , 3

Passo 2

O comprimento de onda de Compton é inversamente proporcional à massa da partícula.

λ C = h m c

Quanto maior esse valor, menor é a massa da partícula. Logo:

m 1 < m 2 < m 3

Começando pela maior, a ordem das massas das partículas é:

m 3 > m 2 > m 1

Resposta

m 3 > m 2 > m 1

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-29.

Um feixe luminoso com um comprimento de onda de 2,4   p m incide em um alvo que contém elétrons livres.

  1. Determine o comprimento de onda da luz espalhada a 30 ° com a direção do feixe incidente.
  2. Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de 120 ° .
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Passo 1

O deslocamento Compton da luz espalhada é:

Δ λ = λ C ,   e ( 1 - cos ⁡ ϕ )

Onde λ C , e = h / m e c é o comprimento de onda de Compton do Elétron, cuja massa é m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g . O comprimento de onda de Compton do Elétron fica:

λ C , e = h m e c = 6,626 ∙ 10 - 34 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 2,998 ∙ 10 8 ≅ 2,426 ∙ 10 - 12   m

Como 1   p m = 10 - 12 m , teremos:

λ C , e ≅ 2,426   p m

Passo 2

Letra a)

Para ϕ = 30 ° = π 6   r a d , temos:

cos ⁡ ϕ = 3 2

Δ λ ≅ 2,426 ∙ 1 - 3 2 ≅ 2,426 ∙ 2 - 3 2 ≅ 2,426 ∙ 0,134 ≅ 0,325   p m

O comprimento de onda da luz espalhada vai ser o da incidente somado do deslocamento:

λ ' = λ + Δ λ

Pelo enunciado, λ = 2,4   p m .

λ ' = 2,4 + 0,325 = 2,725   p m

Passo 3

Letra b)

Para ϕ = 120 ° = 2 π 3   r a d , temos:

cos ⁡ ϕ = - 1 2

Δ λ ≅ 2,426 ∙ 1 - - 1 2 = 2,426 ∙ 1 + 1 2 2,426 ∙ 3 2 ≅ 3,639   p m

O comprimento de onda da luz espalhada vai ser o da incidente somado do deslocamento:

λ ' = λ + Δ λ

Pelo enunciado, λ ' = 2,4   p m .

λ ' = 2,4 + 3,639 = 6,039   p m

Resposta

Letra a)

λ ' = 2,725   p m

Letra b)

λ ' = 6,039   p m

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 210-37.

Que aumento percentual do comprimento de onda leva a uma perda de 75 % da energia do fóton em uma colisão entre um fóton e um elétron livre?

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Passo 1

A energia de um fóton é dada por:

E = h c λ

Depois da colisão, ele sofre uma perda de 75 % da energia do fóton, e fica com uma energia:

E ' = 0,25 ∙ E

O que corresponde a:

h c λ ' = 0,25 ∙ h c λ → λ 0,25 = λ '

Ou seja:

λ ' = 4 ∙ λ

Passo 2

O aumento percentual do comprimento de onda é:

Δ λ = λ ' - λ λ = 3 λ λ = 3

O que corresponde a um aumento de 300 % no comprimento de onda.

Resposta

Um aumento de 300 % no comprimento de onda.

Exercício Resolvido #5

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 213-38.39.

Se um fóton com 0,0425   n m de comprimento de onda se choca com um elétron livre e sobre um espalhamento que forma um ângulo de 35,0 ° com sua direção original, calcule:

  1. A variação no comprimento de onda desse fóton;
  2. O comprimento de onda da luz espalhada;
  3. A variação de energia do fóton (há perda ou ganho?);
  4. A energia ganha pelo elétron;
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Passo 1

Trata-se de um problema de espalhamento Compton, onde a equação é dada por:

λ 2 - λ 1 = h m c   1 - cos ⁡ θ

Passo 2

Letra (a): Calcule a variação no comprimento de onda desse fóton.

Δ λ = λ 2 - λ 1 = h m c   1 - cos ⁡ θ

Onde:

h / m c = 2,426 × 10 - 12 m ;

θ = 35 ° ;

cos ⁡ 35 ° = 0,82 ;

Logo:

Δ λ = 2,426 × 10 - 12 × 1 - 0,82

Δ λ = 0,439 × 10 - 12 = 4,39 × 10 - 4   n m

Passo 3

Letra (b): Calcule o comprimento de onda da luz espalhada.

Δ λ = λ 2 - λ 1

λ 2 = λ 1 + Δ λ

Onde:

λ 1 = 0,0425   n m = 4,25 × 10 - 11   m ;

Δ λ = 4,39 × 10 - 4   n m ≅ 0,00044   n m ;

Logo:

λ 2 = 0,0425 + 0,00044

λ 2 = 0,04294   n m

Passo 4

Letra (c): Calcule a variação de energia do fóton (há perda ou ganho?);

A energia do fóton é dada por:

E = h f = h c λ

Passo 5

A variação da energia do fóton será dada por:

Δ E f = E 2 - E 1 = h c 1 λ 2 - 1 λ 1

Onde:

h = 4,136 × 10 - 15   e V   s ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

λ 2 = 0,04294   n m = 4,294 × 10 - 11   m ;

λ 1 = 0,0425   n m = 4,25 × 10 - 11   m ;

Logo:

Δ E f = 4,136 × 10 - 15 × 3 × 10 8 × 1 4,294 × 10 - 11 - 1 4,25 × 10 - 11

Δ E = - 300   e V

Há perda de energia.

Passo 6

Letra (d): Calcule a energia ganha pelo elétron.

A energia ganha pelo elétron é igual à energia perdida pelo fóton. Assim:

Δ E e = - Δ E f = + 300   e V

Resposta

Letra (a):

4,39 × 10 - 4   n m

Letra (b):

0,04294   n m

Letra (c):

Δ E r = - 300   e V

Letra (d):

Δ E e = + 300   e V

Exercício Resolvido #6

PUC-RIO, Física 4, Prova 3, 2012.2.

I

Um feixe de raios gama com fótons de energia 0,511   M e V incide sobre um alvo de alumínio, sendo espalhado em várias direções por elétrons quase livres do alvo.

a ) Calcule o comprimento de onda dos raios gama incidentes.

b ) Determine o comprimento de onda dos raios gama espalhados a 90 ° em relação à direção do feixe incidente.

c ) Obtenha a energia dos elétrons espalhados quando os fótons são espalhados a 90 ° .

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Passo 1

a )

Para determinar o comprimento de onda, devemos lembrar da definição para a energia dos fótons:

E = h . f

Substituindo f por c / λ   , temos:

E = h . c λ

Substituindo o valor da energia, assim como o valor da constante h . c = 1240   e V .   n m , temos:

0,511 × 10 6 = 1240 λ

Perceba que tivemos que passar a energia de M e V para e V .

λ 0 = 0,002427   n m

Passo 2

b )

Para o Efeito Compton, temos que a variação do comprimento de onda é dada por:

Δ λ = h m . c   1 - cos ⁡ θ

λ - λ 0 = h m . c 1 - cos ⁡ θ

Substituindo os valores dados, assim como os valores das constantes, temos:

λ - 0,002427 = 0,00243 ( 1 - cos ⁡ 90 ° )

O valor h m e . c = 0,00243   n m , é geralmente fornecido.

λ = 0,004857   n m

Passo 3

c )

Agora, vamos determinar a energia total dos elétrons espalhados. Para isso, vamos utilizar a conservação da energia durante a colisão. Sabendo que antes, temos somente a energia dos fótons incidentes e a energia de repouso do elétron, e depois temos a energia dos fótons espalhados e a energia total dos elétrons, temos:

E f ó t o n s i + m e . c 2 = E f ó t o n s f + E e l é t r o n s

E f ó t o n s i + m e . c 2 = h . f + E e l é t r o n s

Substituindo f por c / λ , temos:

E f ó t o n s i + m e . c 2 = h . c λ + E e l é t r o n s

Substituindo os valores já obtidos, assim como os valores das constantes, temos:

0,511 × 10 6 + 0,511 × 10 6 = 1240 0,004857 + E e l é t r o n s

E e l é t r o n s = 0,511 × 10 6 + 0,511 × 10 6 - 0,255 × 10 6

E e l é t r o n s = 0,767   M e V    

Resposta

a ) λ 0 = 0,002427   n m

b ) λ = 0,004857   n m

c ) E e l é t r o n s = 0,767   M e V

Exercício Resolvido #7

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2011.2.

Um estudante de Física IV decide calibrar um goniômetro (instrumento para medir ângulos) com o auxílio de uma fonte de raio X com λ 0 = 2,988   Å , um bloco de algum material e um analisador de comprimentos de onda.

Sabendo que a onda Compton é λ c = 0,024   Å , qual o ângulo deverá ser medido no goniômetro uma vez que o analisador mediu um comprimento de onda espalhado λ = 3   Å   .

  1. 30 °
  2. 45 °
  3. 60 °
  4. 75 °
  5. 90 °
  6. Nenhuma das anteriores.
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Passo 1

Trata-se de um problema de espalhamento. Segundo Compton, podemos associar os comprimentos da onda incidente λ 1 e espalhado λ 2 por:

λ 2 - λ 1 = h m c   1 - cos ⁡ θ

Ou:

λ 2 - λ 1 = λ c   1 - cos ⁡ θ

Passo 2

λ 2 - λ 1 = λ c   1 - cos ⁡ θ

Onde:

λ 2 = λ = 3   Å ;

λ 1 = λ 0 = 2,988   Å ;

λ c = 0,024   Å ;

Logo:

cos ⁡ θ = 1 - λ 2 - λ 1 λ c

cos ⁡ θ = 1 - 3 - 2,988 0,024 = 0,5

θ = 60 °

Resposta

c) 60 °

Exercício Resolvido #8

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 210-32.

Um feixe de raios gama cujos fótons têm uma energia de 0,511   M e V incide em um alvo de alumínio e é espalhado em várias direções por elétrons quase livres do alvo.

  1. Qual é o comprimento de onda dos raios gama incidentes?
  2. Qual é o comprimento de onda dos raios gama espalhados a 90,0 ° com o feixe incidente?
  3. Qual é a energia dos fótons espalhados nessa direção?
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Passo 1

Letra a)

A energia de um fóton de luz é dado por:

E = h c λ

Onde:

  • h = 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s

O enunciado nos diz que E = 0,511   M e V = 0,511 ∙ 10 6   e V . Rearrumando nossa equação:

λ = h c E = 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 0,511 ∙ 10 6 = 24,266 ∙ 10 - 13   m ≅ 2,4266   p m

Passo 2

Letra b)

O deslocamento de Compton é dado por

Δ λ = λ C ,   e ( 1 - cos ⁡ ϕ )

Onde λ C , e = h / m e c é o comprimento de onda de Compton do Elétron, e a massa é m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g . O comprimento de onda de Compton do Elétron fica:

λ C , e = h m e c = 6,626 ∙ 10 - 34 9,109 ∙ 10 - 31 ∙ 2,998 ∙ 10 8 ≅ 2,426 ∙ 10 - 12   m

Como 1   p m = 10 - 12 m , teremos:

λ C , e ≅ 2,426   p m

Passo 3

Quando ϕ = 90 °