O Fóton

Teoria Completa

A hipótese de Planck

Lá pra meados de 1900 , a física começou a apresentar milhares de problemas.

Uma série de fenômenos contrariavam completamente resultados da física clássica, e não adiantava dizer que os pontos experimentais do gráfico estavam errados porque não estavam.

Para resolver um desses pepinos, um físico chamado Max Planck fez basicamente o que a gente faz em prova quando não sabe como resolver um problema: chuta e reza pra Deus. E funcionou.

Ele fez uma hipótese que dizia que a luz não era bem uma onda que levava energia continuamente pra onde ela iluminava: ela cedia energia em pacotinhos, ou seja, era quantizada.

É como a areia e a água. Se você tiver muita paciência e uma lupa, é possível contar quantos grãos de areia tem na praia de Copacabana. Já a água do oceano atlântico nem adianta tentar contar, que ela não é feita de grãozinhos.

Esses pacotinhos são partículas de luz chamadas fótons (você pode ouvir alguém dizer que eles são “quantas de energia”) e a energia de cada um é dada por:

E f ó t o n = h f

Onde E é a energia do fóton, f é a frequência da luz e h é chamada constante de Planck.

h ≅ 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s

Às vezes, a frequência também pode ser chamada de υ e ficamos com E = h υ . Mas é a mesma coisa!

A energia também pode ser descrita em função do comprimento de onda da luz usando a velocidade da luz.

λ f = c → f = c λ

E f ó t o n = h c λ

Uma dica: os valores em geral são pequenos. Pra garantir um cálculo mais exato, é uma boa usar um valor mais exato pra velocidade da luz.

c ≅ 2,998 ∙ 10 8   m / s

Como esses pacotinhos são muito pequenos, tem uma unidade muito pequena que usamos também chamada elétrons-volt. Ela corresponde a carga de 1   e l é t r o n multiplicada pelo potencial de 1   V .

1   e V = e ∙ 1 V = 1,602 ∙ 10 - 19   C ∙ 1   V = 1,602 ∙ 10 - 19   J

Nessa unidade a constante de Planck fica:

h ≅ 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s

Na verdade, Planck só tinha chutado a matemática da coisa pra um caso específico e ele sequer tinha entendido direito porque funcionava.

Quem deu toda essa interpretação foi um físico super conhecido chamado Einstein.

Mas quais são as implicações disso? Bem, são duas principais:

  • A luz não pode ceder uma energia menor que h f ;
  • A luz não pode ceder energias que sejam uma fração de h f , como por exemplo 0,5 h f . Tem de ser sempre múltiplos inteiros.

Logo, a energia da luz sempre tem de ser um múltiplo inteiro da energia do fóton:

E l u z = n h f → n = E l u z E f ó t o n

Relacionando propriedades luminosas com os fótons

A gente pode relacionar algumas propriedades da luz com a idéia de energia quantizada.

Uma delas é a potência luminosa P .

A potência da luz é a energia que ela transfere para algum lugar em um dado tempo.

1   W a t t = 1   J o u l e   /   s e g u n d o

Ela se relaciona com a taxa de fótons emitidos pela fonte luminosa.

“Taxa de fótons emitidos” significa o número de fótons emitidos por unidade de tempo. Sendo a potência e energia total da luz emitida em um dado tempo, se dividirmos essa energia pela energia de 1   f ó t o n , podemos encontrar o número de fótons emitidos.

N = P E f ó t o n

A taxa de fótons emitidos vai ser então a potência luminosa dividida pela energia de um fóton.

Quando a luz se propaga, toda a potência da fonte vai se espalhando na área que a luz se propaga.

A intensidade é então essa potência dividida pela área que a luz se espalhou.

I = P A

Se dividirmos a intensidade pela energia de 1   f ó t o n , temos o fluxo de fótons:

I E f ó t o n = P E f ó t o n ∙ A = N A = N -

Onde N é a quantidade de fótons emitidos por unidade de tempo, A a área e N - o fluxo de fótons.

Momento Linear do Fóton

As ondas eletromagnéticas possuem um momento linear que as permite empurrar objetos como satélites e caudas de cometa. Neste caso, os fótons também terão associados a si um momento linear e também poderão empurrar os outros.

A magnitude do momento linear do fóton é dada por:

p = E c

Porém, como tínhamos visto para os fótons:

E = h f

Substituindo:

p = h f c = h λ

Já a direção e o sentido do momento linear do fóton são a direção e sentido de propagação da luz. Seja k ^ o vetor de propagação (unitário).

p → f ó t o n = h f c k ^

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-4

A luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio usada em iluminação pública é mais intensa em um comprimento de onda de 589   n m .

Qual é a energia dos fótons com esse comprimento de onda?

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Passo 1

A energia de um fóton é dada por:

E = h f

Porém podemos relacionar a frequência e o comprimento de onda da luz:

f λ = c

f = c λ

E assim:

E = h c λ

Sabemos que:

  • h ≅ 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s
  • c ≅ 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ = 589   n m = 589 ∙ 10 - 9   m (pelo enunciado)

E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 589 ∙ 10 - 9 ≅ 3,3726   ∙ 10 - 19   J

Ou, em e V :

1   e V ≅ 1,602 ∙ 10 - 19 J  

E = 3,37 26   ∙ 10 - 19 1,602 ∙ 10 - 19 ≅ 2,11   e V

Resposta

E ≅ 3,3726   ∙ 10 - 19   J ≅ 2,11   e V

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2011.2

Para quebrar a ligação química nas moléculas da pele humana e causar queimaduras solares, é necessário um fóton com energia de cerca de 3,50   e V .

O comprimento de onda da radiação que provoca queimaduras na pele é de cerca de:

  1. 724   n m
  2. 524   n m
  3. 244   n m
  4. 354   n m
  5. Nenhuma das anteriores.
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Passo 1

Podemos associar a energia do fóton com o seu comprimento de onda a partir da equação:

E = h c λ

λ = h c E

Onde:

h = 4,136 × 10 - 15   e V   s ;

E = 3,50   e V ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

λ = 4,136 × 10 - 15 × 3 × 10 8 3,5

λ = 3,54 × 10 - 7   m = 354   n m

Resposta

Letra (d): 354   n m

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-27.

Um feixe de raios X tem um comprimento de onda de 35,0   p m .

  1. Qual é a frequência correspondente?
  2. Determine:

  3. A energia dos fótons do feixe.
  4. O momento dos fótons do feixe, em k e V / c .
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Passo 1

Letra a)

A frequência e o comprimento de onda se relacionam por:

λ f = c

f = c λ

Onde:

  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ = 35,0   p m = 35,0 ∙ 10 - 12   m

f = 2,998 ∙ 10 8 35 ∙ 10 - 12 ≅ 8,566 ∙ 10 18   H z

Passo 2

Letra b)

A energia dos fótons é dada por:

E = h f

Onde h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s é a constante de Planck. Usando o resultado do item anterior:

E ≅ 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 8,566 ∙ 10 18 ≅ 56,758 ∙ 10 - 16   J = 5,6758 ∙ 10 - 15   J

Vamos ver quanto fica em e V . Temos que:

1   e V ≅ 1,602 ∙ 10 - 19 J

E ≅ 5,6758 ∙ 10 - 15   J ≅ 35   429,46   e V

Passo 3

Letra c)

O momento linear do fóton é dado por:

p l i n = E c

Encontramos no item anterior que E ≅ 35   429,46   e V ≅ 35,429   k e V .

p l i n = 35,429   k e V / c

Resposta

Letra a)

f ≅ 8,566 ∙ 10 18   H z

Letra b)

E ≅ 5,6758 ∙ 10 - 15   J ≅ 35   429,46   e V

Letra c)

p l i n = 35,429   k e V / c

Exercício Resolvido #4

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 211-38.9

Uma fonte de luz de 75   W consome 75   W de potência elétrica.

Suponha que toda essa energia se transfira para a luz emitida com comprimento de onda 600   n m .

  1. Calcule a frequência da luz emitida.
  2. Quantos fótons por segundo a fonte emite?
  3. As respostas às partes (a) e (b) são iguais? A frequência da luz é a mesma que o número de fótons emitidos por segundo? Explique.
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Passo 1

a) Calcule a frequência da luz emitida.

Podemos associar a frequência f e o comprimento de onda λ através da seguinte relação:

c = λ f → λ = c f

Onde:

c = 3 × 10 8   m / s ;

λ = 600   n m = 6 × 10 - 7 m ;

Logo:

f = 3 × 10 8 6 × 10 - 7 = 5,0 × 10 14   H z