O Fóton

Resumo Completo

A hipótese de Planck

Lá pra meados de 1900 , a física começou a apresentar milhares de problemas.

Uma série de fenômenos contrariavam completamente resultados da física clássica, e não adiantava dizer que os pontos experimentais do gráfico estavam errados porque não estavam.

Para resolver um desses pepinos, um físico chamado Max Planck fez basicamente o que a gente faz em prova quando não sabe como resolver um problema: chuta e reza pra Deus. E funcionou.

Ele fez uma hipótese que dizia que a luz não era bem uma onda que levava energia continuamente pra onde ela iluminava: ela cedia energia em pacotinhos, ou seja, era quantizada.

É como a areia e a água. Se você tiver muita paciência e uma lupa, é possível contar quantos grãos de areia tem na praia de Copacabana. Já a água do oceano atlântico nem adianta tentar contar, que ela não é feita de grãozinhos.

Esses pacotinhos são partículas de luz chamadas fótons (você pode ouvir alguém dizer que eles são “quantas de energia”) e a energia de cada um é dada por:

E f ó t o n = h f

Onde E é a energia do fóton, f é a frequência da luz e h é chamada constante de Planck.

h 6,626 10 - 34   J s

Às vezes, a frequência também pode ser chamada de υ e ficamos com E = h υ . Mas é a mesma coisa!

A energia também pode ser descrita em função do comprimento de onda da luz usando a velocidade da luz.

λ f = c f = c λ

E f ó t o n = h c λ

Uma dica: os valores em geral são pequenos. Pra garantir um cálculo mais exato, é uma boa usar um valor mais exato pra velocidade da luz.

c 2,998 10 8   m / s

Como esses pacotinhos são muito pequenos, tem uma unidade muito pequena que usamos também chamada elétrons-volt. Ela corresponde a carga de 1   e l é t r o n multiplicada pelo potencial de 1   V .

1   e V = e 1 V = 1,602 10 - 19   C 1   V = 1,602 10 - 19   J

Nessa unidade a constante de Planck fica:

h 4,136 10 - 15   e V s

Na verdade, Planck só tinha chutado a matemática da coisa pra um caso específico e ele sequer tinha entendido direito porque funcionava.

Quem deu toda essa interpretação foi um físico super conhecido chamado Einstein.

Mas quais são as implicações disso? Bem, são duas principais:

  • A luz não pode ceder uma energia menor que h f ;
  • A luz não pode ceder energias que sejam uma fração de h f , como por exemplo 0,5 h f . Tem de ser sempre múltiplos inteiros.

Logo, a energia da luz sempre tem de ser um múltiplo inteiro da energia do fóton:

E l u z = n h f n = E l u z E f ó t o n

Relacionando propriedades luminosas com os fótons

A gente pode relacionar algumas propriedades da luz com a idéia de energia quantizada.

Uma delas é a potência luminosa P .

A potência da luz é a energia que ela transfere para algum lugar em um dado tempo.

1   W a t t = 1   J o u l e   /   s e g u n d o

Ela se relaciona com a taxa de fótons emitidos pela fonte luminosa.

“Taxa de fótons emitidos” significa o número de fótons emitidos por unidade de tempo. Sendo a potência e energia total da luz emitida em um dado tempo, se dividirmos essa energia pela energia de 1   f ó t o n , podemos encontrar o número de fótons emitidos.

N = P E f ó t o n

A taxa de fótons emitidos vai ser então a potência luminosa dividida pela energia de um fóton.

Quando a luz se propaga, toda a potência da fonte vai se espalhando na área que a luz se propaga.

A intensidade é então essa potência dividida pela área que a luz se espalhou.

I = P A

Se dividirmos a intensidade pela energia de 1   f ó t o n , temos o fluxo de fótons:

I E f ó t o n = P E f ó t o n A = N A = N -

Onde N é a quantidade de fótons emitidos por unidade de tempo, A a área e N - o fluxo de fótons.

Momento Linear do Fóton

As ondas eletromagnéticas possuem um momento linear que as permite empurrar objetos como satélites e caudas de cometa. Neste caso, os fótons também terão associados a si um momento linear e também poderão empurrar os outros.

A magnitude do momento linear do fóton é dada por:

p = E c

Porém, como tínhamos visto para os fótons:

E = h f

Substituindo:

p = h f c = h λ

Já a direção e o sentido do momento linear do fóton são a direção e sentido de propagação da luz. Seja k ^ o vetor de propagação (unitário).

p f ó t o n = h f c k ^

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-4

A luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio usada em iluminação pública é mais intensa em um comprimento de onda de 589   n m .

Qual é a energia dos fótons com esse comprimento de onda?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A energia de um fóton é dada por:

E = h f

Porém podemos relacionar a frequência e o comprimento de onda da luz:

f λ = c

f = c λ

E assim:

E = h c λ

Sabemos que:

  • h 6,626 10 - 34   J s
  • c 2,998 10 8   m / s
  • λ = 589   n m = 589 10 - 9   m (pelo enunciado)

E = 6,626 10 - 34 2,998 10 8 589 10 - 9 3,3726   10 - 19   J

Ou, em e V :

1   e V 1,602 10 - 19 J  

E = 3,37 26   10 - 19 1,602 10 - 19 2,11   e V

Resposta

E 3,3726   10 - 19   J 2,11   e V

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2011.2

Para quebrar a ligação química nas moléculas da pele humana e causar queimaduras solares, é necessário um fóton com energia de cerca de 3,50   e V .

O comprimento de onda da radiação que provoca queimaduras na pele é de cerca de:

  1. 724   n m
  2. 524   n m
  3. 244   n m
  4. 354   n m
  5. Nenhuma das anteriores.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos associar a energia do fóton com o seu comprimento de onda a partir da equação:

E = h c λ

λ = h c E

Onde:

h = 4,136 × 10 - 15   e V   s ;

E = 3,50   e V ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

λ = 4,136 × 10 - 15 × 3 × 10 8 3,5

λ = 3,54 × 10 - 7   m = 354   n m

Resposta

Letra (d): 354   n m

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-27.

Um feixe de raios X tem um comprimento de onda de 35,0   p m .

  1. Qual é a frequência correspondente?
  2. Determine:

  3. A energia dos fótons do feixe.
  4. O momento dos fótons do feixe, em k e V / c .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

A frequência e o comprimento de onda se relacionam por:

λ f = c

f = c λ

Onde:

  • c = 2,998 10 8   m / s
  • λ = 35,0   p m = 35,0 10 - 12   m

f = 2,998 10 8 35 10 - 12 8,566 10 18   H z

Passo 2

Letra b)

A energia dos fótons é dada por:

E = h f

Onde h = 6,626 10 - 34   J s é a constante de Planck. Usando o resultado do item anterior:

E 6,626 10 - 34 8,566 10 18 56,758 10 - 16   J = 5,6758 10 - 15   J

Vamos ver quanto fica em e V . Temos que:

1   e V 1,602 10 - 19 J

E 5,6758 10 - 15   J 35   429,46   e V

Passo 3

Letra c)

O momento linear do fóton é dado por:

p l i n = E c

Encontramos no item anterior que E 35   429,46   e V 35,429   k e V .

p l i n = 35,429   k e V / c

Resposta

Letra a)

f 8,566 10 18   H z

Letra b)

E 5,6758 10 - 15   J 35   429,46   e V

Letra c)

p l i n = 35,429   k e V / c

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 211-38.9

Uma fonte de luz de 75   W consome 75   W de potência elétrica.

Suponha que toda essa energia se transfira para a luz emitida com comprimento de onda 600   n m .

  1. Calcule a frequência da luz emitida.
  2. Quantos fótons por segundo a fonte emite?
  3. As respostas às partes (a) e (b) são iguais? A frequência da luz é a mesma que o número de fótons emitidos por segundo? Explique.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a) Calcule a frequência da luz emitida.

Podemos associar a frequência f e o comprimento de onda λ através da seguinte relação:

c = λ f λ = c f

Onde:

c = 3 × 10 8   m / s ;

λ = 600   n m = 6 × 10 - 7 m ;

Logo:

f = 3 × 10 8 6 × 10 - 7 = 5,0 × 10 14   H z

Passo 2

b) Quantos fótons por segundo a fonte emite?

O problema nos dá a potência P que, por definição, é a taxa de variação da energia E por unidade de tempo.

Assim, 75   W = 75   J / s . Ou seja, a cada segundo são produzidos 75   J de energia.

Para descobrirmos quantos fótons a fonte emite por segundo, vamos calcular a energia de cada fóton e ver a quantidade correspondente a 75   J .

Passo 3

A energia do fóton é dada por:

E f ó t o n = h f

Onde:

h = 6,626 × 10 - 34   J   s ;

f = 5,0 × 10 14   H z ;

Logo:

E f ó t o n = 6,626 × 10 - 34 × 5,0 × 10 14

E f ó t o n = 3,313 × 10 - 19   J

Passo 4

O número de fótons emitidos por segundo é dado por:

n = E E f ó t o n = 75 3,313 × 10 - 19

n = 2,3 × 10 20   f ó t o n s

Passo 5

c) As respostas às partes (a) e (b) são iguais? A frequência da luz é a mesma que o número de fótons emitidos por segundo? Explique.

Não, ambos possuem significados físicos diferentes. A frequência está diretamente associada à energia do fóton e independe da potência da fonte.

Porém, o número de fótons emitidos por segundo depende da potência da fonte.

Resposta

a)

5,0 × 10 14   H z

b)

2,3 × 10 20 f ó t o n s / s

c)

Não.

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-7

Uma lâmpada ultravioleta emite luz com um comprimento de onda de 400   n m , com uma potência de 400   W .

Uma lâmpada infravermelha emite luz com um comprimento de onda de 700   n m , também com uma potência de 400   W .

  1. Qual das duas lâmpadas emite mais fótons por segundo?
  2. Quantos fótons por segundo essa lâmpada emite?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

Vamos ver como calcular quantos fótons por segundo cada lâmpada emitiria.

Primeiro, vemos a energia de cada fóton:

E = h f = h c λ

Ou seja, quanto maior o comprimento de onda, menor a energia dos fótons.

Depois, vemos a energia que cada lâmpada emite por segundo. Uma potência de 1   W corresponde a 1   J / s , que é energia por segundo.

Assim, seja P a potência da lâmpada em Watts e E a energia dos fótons em Joules. O número de fótons por segundo será:

N = P E

Quanto menor a energia, maior o número de fótons emitidos.

Juntando as duas considerações, temos que quanto maior o comprimento de onda da luz, maior a quantidade de fótons emitidos.

A fonte com maior comprimento de onda é a lâmpada infravermelha, que emitirá mais fótons por segundo.

Passo 2

Letra b)

Como discutimos no item anterior, o número de fótons emitidos será dado por:

N = P E

Mas também vimos que:

E = h c λ

Logo:

N = P λ h c

Onde todos os termos devem estar com unidades do SI.

  • P = 400   W
  • λ = 700   n m = 700 10 - 9   m
  • h 6,626 10 - 34   J s
  • c 2,998 10 8   m / s

Substituindo:

N = 400 700 10 - 9 6,626 10 - 34 2,998 10 8 14   095 ,   32 10 17   f ó t o n s 1,41 10 21   f ó t o n s

Resposta

Letra a)

A lâmpada infravermelha emite mais fótons por segundo.

Letra b)

N 1,41 10 21   f ó t o n s

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 207-5.

O fóton A tem uma energia duas vezes maior que o fóton B .

  1. O momento do fóton A é menor, igual ou maior que o momento do fóton B ?
  2. O comprimento de onda do fóton A é maior, menor ou igual ao comprimento de onda do fóton B?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

O momento linear de um fóton é dado por:

p l i n = E c

Onde E é a energia do fóton e c é a velocidade da luz.

Isso nos mostra que quanto maior a energia do fóton, maior seu momento linear.

Como a energia do fóton A é maior que a do fóton B , o momento do fóton A é maior que o do fóton B .

Passo 2

Letra b)

A energia de um fóton é dada por:

E = h f = h c λ

Rearrumando:

λ = h c E

Quanto maior a energia do fóton, menor seu comprimento de onda.

Como a energia de A é maior que a de B , o comprimento de onda de A é menor que o de B .

Resposta

Letra a)

O momento do fóton A é maior que o do fóton B .

Letra b)

O comprimento de onda do fóton A é menor que o do fóton B .

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-10.

Em condições ideais, o sistema de visão humano é capaz de perceber uma luz com um comprimento de onda de 550   n m se os fótons dessa luz forem absorvidos pela retina à razão de pelo menos 100 fótons por segundo.

Qual é a potência luminosa absorvida pela retina nessas condições?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Digamos que a potência luminosa absorvida pela retina é de P   W a t t s . Como 1   W = 1   J / s , isso significa que a retina absorve uma energia de P   J o u l e s a cada segundo.

Se cada fóton tiver uma energia de E   J o u l e s , então o número de fótons absorvidos em um segundo vai ser:

N = P E P = N E

Pelo enunciado, sabemos que N = 100   f ó t o n s , o que nos dá:

P = 100 E

Passo 2

Agora, precisamos encontrar a energia de cada fóton.

A energia de 1 fóton vai ser:

E = h f = h c λ

O valor do comprimento de onda é dado pelo enunciado, e h e c são constantes:

  • h 6,626 10 - 34   J s
  • c 2,998 10 8   m / s
  • λ = 550   n m = 550 10 - 9   m

Onde passamos todos os valores para Joules, metros e segundos.

E = h c λ 6,626 10 - 34 2,998 10 8 550 10 - 9 3,61177 10 - 19   J

P = 100 E 3,6 10 - 17   W

Resposta

P 3,6 10 - 17   W

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 208-11

Uma lâmpada de sódio de 100   W ( λ = 589   n m ) irradia energia uniformemente em todas as direções.

  1. Quantos fótons por segundo são emitidos pela lâmpada?
  2. A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à taxa de 1,00   f ó t o n / c m 2 s ?
  3. Qual é o fluxo de fótons (fótons por unidade de área e por unidade de tempo) em uma pequena tela situada a 2,00   m da lâmpada?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra a)

A potência da lâmpada é de P = 100   W .

A energia individual de cada fóton é:

E = h c λ

Onde:

  • h = 6,626 10 - 34   J s
  • c = 2,998 10 8   m / s
  • λ = 589   n m = 589 10 - 9   m

E = 6,626 10 - 34 2,998 10 8 589 10 - 9 3,3726 10 - 19   J

A taxa de emissão de fótons vai ser:

N = P E 100 3,3726 10 - 19 2,965 10 20   f ó t o n s / s e g u n d o

Passo 2

Letra b)

Como a lâmpada irradia luz uniformemente em todas as direções, isso significa que a luz se espalha numa esfera com centro na fonte de luz.

A superfície de uma esfera é dada por:

A = 4 π r 2

Assim, o número de fótons emitidos por unidade de tempo por unidade de área vai ser:

N - = N A = N 4 π r 2

Passo 3

Nós queremos achar a distância r correspondente a um fluxo de fótons de N - = 1,00   f ó t o n / c m 2 s .

Rearranjando a fórmula e substituindo os valores:

r 2 = N 4 π N - r = N 4 π N -

r 2,965 10 20 4 π 1,00 0,4857 10 10   c m = 4,857 10 7 m

Passo 4

Letra c)

Para uma distância de r = 2,0   m da fonte luminosa, o fluxo de elétrons vai ser:

N - = N 4 π r 2 2,965 10 20 4 π 2 2 5,899 10 18   f ó t o n s / m 2 s

Resposta

Letra a)

N 2,965 10 20   f ó t o n s / s e g u n d o

Letra b)

r 4,857 10 7 m

Letra c)

N - 5,899 10 18   f ó t o n s / m 2 s

Exercício Resolvido #9

Enunciado

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-12

Um detector de luz possui uma área útil de 2,00 × 10 - 6   m 2 e absorve 50 % da luz incidente, cujo comprimento de onda é 600   n m . O detector é colocado diante de uma fonte luminosa isotrópica, a 12,0   m da fonte.

A Fig.38-24 mostra a energia E emitida pela fonte em função do tempo t . A escala do eixo vertical é definida por E s = 7,2   n J e a escala do eixo horizontal é definida por t s = 2,0   s .

Quantos fótons por segundo são absorvidos pelo detector?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos fazer um passo a passo partindo da fonte luminosa até chegar ao olho.

A potência da fonte é a energia que ela emite por unidade de tempo, ou seja:

P l u z = E t

Pela escala do gráfico, E s = 7,2   n J = 7,2 10 - 9   J corresponde a t s = 2,0   s .

P l u z = 7,2 10 - 9 2 = 3,6 10 - 9   W

Passo 2

Como a fonte é uma fonte isotrópica, a luz se espalha uniformemente em todas as direções, descrevendo uma esfera com centro na fonte.

Assim, a potência luminosa se espalha ao longo de uma esfera, e a intensidade será:

I = P l u z A l u z = P l u z 4 π r 2

Onde r = 12,0   m é a distância que a luz percorre.

I = 3,6 10 - 9   4 π 12 2 1,989 10 - 12   J / m 2 s

Passo 3

A mesma intensidade atinge o detector.

I = P d A d P d = I A d

A área do detector é A d = 2,00 10 - 6   m 2 .

P d 1,989 10 - 12 2 10 - 6 3,979 10 - 18   W

Porém, de toda essa potência que atinge o detector, apenas 50 % é absorvida. A potência P absorvida é:

P = 0,5 P d 1,989 10 - 18   W

Passo 4

A taxa de fótons absorvidas vai ser a taxa de energia absorvida (a potência) dividida pela energia individual dos fótons.

A energia de cada fóton é:

E = h c λ

Onde:

  • h = 6,626 10 - 34   J s
  • c = 2,998 10 8   m / s
  • λ = 600   n m = 600 10 - 9   m = 6 10 - 7   m

E = 6,626 10 - 34 2,998 10 8 6 10 - 7 3,3108 10 - 19   J

Taxa de Fótons:

N = P E 1,989 10 - 18   3,3108 10 - 19 6,008   f ó t o n s / s e g u n d o

Resposta

N 6,008   f ó t o n s / s e g u n d o

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