Teoria Completa
A hipótese de Planck
Lá pra meados de , a física começou a apresentar milhares de problemas.
Uma série de fenômenos contrariavam completamente resultados da física clássica, e não adiantava dizer que os pontos experimentais do gráfico estavam errados porque não estavam.
Para resolver um desses pepinos, um físico chamado Max Planck fez basicamente o que a gente faz em prova quando não sabe como resolver um problema: chuta e reza pra Deus. E funcionou.
Ele fez uma hipótese que dizia que a luz não era bem uma onda que levava energia continuamente pra onde ela iluminava: ela cedia energia em pacotinhos, ou seja, era quantizada.
É como a areia e a água. Se você tiver muita paciência e uma lupa, é possível contar quantos grãos de areia tem na praia de Copacabana. Já a água do oceano atlântico nem adianta tentar contar, que ela não é feita de grãozinhos.
Esses pacotinhos são partículas de luz chamadas fótons (você pode ouvir alguém dizer que eles são “quantas de energia”) e a energia de cada um é dada por:
Onde é a energia do fóton, é a frequência da luz e é chamada constante de Planck.
Às vezes, a frequência também pode ser chamada de e ficamos com . Mas é a mesma coisa!
A energia também pode ser descrita em função do comprimento de onda da luz usando a velocidade da luz.
Uma dica: os valores em geral são pequenos. Pra garantir um cálculo mais exato, é uma boa usar um valor mais exato pra velocidade da luz.
Como esses pacotinhos são muito pequenos, tem uma unidade muito pequena que usamos também chamada elétrons-volt. Ela corresponde a carga de multiplicada pelo potencial de .
Nessa unidade a constante de Planck fica:
Na verdade, Planck só tinha chutado a matemática da coisa pra um caso específico e ele sequer tinha entendido direito porque funcionava.
Quem deu toda essa interpretação foi um físico super conhecido chamado Einstein.
Mas quais são as implicações disso? Bem, são duas principais:
- A luz não pode ceder uma energia menor que ;
- A luz não pode ceder energias que sejam uma fração de , como por exemplo . Tem de ser sempre múltiplos inteiros.
Logo, a energia da luz sempre tem de ser um múltiplo inteiro da energia do fóton:
Relacionando propriedades luminosas com os fótons
A gente pode relacionar algumas propriedades da luz com a idéia de energia quantizada.
Uma delas é a potência luminosa .
A potência da luz é a energia que ela transfere para algum lugar em um dado tempo.
Ela se relaciona com a taxa de fótons emitidos pela fonte luminosa.
“Taxa de fótons emitidos” significa o número de fótons emitidos por unidade de tempo. Sendo a potência e energia total da luz emitida em um dado tempo, se dividirmos essa energia pela energia de , podemos encontrar o número de fótons emitidos.
A taxa de fótons emitidos vai ser então a potência luminosa dividida pela energia de um fóton.
Quando a luz se propaga, toda a potência da fonte vai se espalhando na área que a luz se propaga.
A intensidade é então essa potência dividida pela área que a luz se espalhou.
Se dividirmos a intensidade pela energia de , temos o fluxo de fótons:
Onde é a quantidade de fótons emitidos por unidade de tempo, a área e o fluxo de fótons.
Momento Linear do Fóton
As ondas eletromagnéticas possuem um momento linear que as permite empurrar objetos como satélites e caudas de cometa. Neste caso, os fótons também terão associados a si um momento linear e também poderão empurrar os outros.
A magnitude do momento linear do fóton é dada por:
Porém, como tínhamos visto para os fótons:
Substituindo:
Já a direção e o sentido do momento linear do fóton são a direção e sentido de propagação da luz. Seja o vetor de propagação (unitário).
Exercício Resolvido #1
A luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio usada em iluminação pública é mais intensa em um comprimento de onda de .
Qual é a energia dos fótons com esse comprimento de onda?
Passo 1
A energia de um fóton é dada por:
Porém podemos relacionar a frequência e o comprimento de onda da luz:
E assim:
Sabemos que:
- (pelo enunciado)
Ou, em :
Resposta
Exercício Resolvido #2
Para quebrar a ligação química nas moléculas da pele humana e causar queimaduras solares, é necessário um fóton com energia de cerca de .
O comprimento de onda da radiação que provoca queimaduras na pele é de cerca de:
- Nenhuma das anteriores.
Passo 1
Podemos associar a energia do fóton com o seu comprimento de onda a partir da equação:
Onde:
;
;
;
Logo:
Resposta
Letra (d):
Exercício Resolvido #3
Um feixe de raios X tem um comprimento de onda de .
- Qual é a frequência correspondente?
- A energia dos fótons do feixe.
- O momento dos fótons do feixe, em .
Determine:
Passo 1
Letra a)
A frequência e o comprimento de onda se relacionam por:
Onde:
Passo 2
Letra b)
A energia dos fótons é dada por:
Onde é a constante de Planck. Usando o resultado do item anterior:
Vamos ver quanto fica em . Temos que:
Passo 3
Letra c)
O momento linear do fóton é dado por:
Encontramos no item anterior que .
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
Exercício Resolvido #4
Uma fonte de luz de consome de potência elétrica.
Suponha que toda essa energia se transfira para a luz emitida com comprimento de onda .
- Calcule a frequência da luz emitida.
- Quantos fótons por segundo a fonte emite?
- As respostas às partes (a) e (b) são iguais? A frequência da luz é a mesma que o número de fótons emitidos por segundo? Explique.
Passo 1
a) Calcule a frequência da luz emitida.
Podemos associar a frequência e o comprimento de onda através da seguinte relação:
Onde:
;
;
Logo:
Passo 2
b) Quantos fótons por segundo a fonte emite?
O problema nos dá a potência que, por definição, é a taxa de variação da energia por unidade de tempo.
Assim, . Ou seja, a cada segundo são produzidos de energia.
Para descobrirmos quantos fótons a fonte emite por segundo, vamos calcular a energia de cada fóton e ver a quantidade correspondente a .
Passo 3
A energia do fóton é dada por:
Onde:
;
;
Logo:
Passo 4
O número de fótons emitidos por segundo é dado por:
Passo 5
c) As respostas às partes (a) e (b) são iguais? A frequência da luz é a mesma que o número de fótons emitidos por segundo? Explique.
Não, ambos possuem significados físicos diferentes. A frequência está diretamente associada à energia do fóton e independe da potência da fonte.
Porém, o número de fótons emitidos por segundo depende da potência da fonte.
Resposta
a)
b)
c)
Não.
Exercício Resolvido #5
Uma lâmpada ultravioleta emite luz com um comprimento de onda de , com uma potência de .
Uma lâmpada infravermelha emite luz com um comprimento de onda de , também com uma potência de .
- Qual das duas lâmpadas emite mais fótons por segundo?
- Quantos fótons por segundo essa lâmpada emite?
Passo 1
Letra a)
Vamos ver como calcular quantos fótons por segundo cada lâmpada emitiria.
Primeiro, vemos a energia de cada fóton:
Ou seja, quanto maior o comprimento de onda, menor a energia dos fótons.
Depois, vemos a energia que cada lâmpada emite por segundo. Uma potência de corresponde a , que é energia por segundo.
Assim, seja a potência da lâmpada em Watts e a energia dos fótons em Joules. O número de fótons por segundo será:
Quanto menor a energia, maior o número de fótons emitidos.
Juntando as duas considerações, temos que quanto maior o comprimento de onda da luz, maior a quantidade de fótons emitidos.
A fonte com maior comprimento de onda é a lâmpada infravermelha, que emitirá mais fótons por segundo.
Passo 2
Letra b)
Como discutimos no item anterior, o número de fótons emitidos será dado por:
Mas também vimos que:
Logo:
Onde todos os termos devem estar com unidades do SI.
Substituindo:
Resposta
Letra a)
A lâmpada infravermelha emite mais fótons por segundo.
Letra b)
Exercício Resolvido #6
O fóton tem uma energia duas vezes maior que o fóton .
- O momento do fóton é menor, igual ou maior que o momento do fóton ?
- O comprimento de onda do fóton é maior, menor ou igual ao comprimento de onda do fóton B?
Passo 1
Letra a)
O momento linear de um fóton é dado por:
Onde é a energia do fóton e é a velocidade da luz.
Isso nos mostra que quanto maior a energia do fóton, maior seu momento linear.
Como a energia do fóton é maior que a do fóton , o momento do fóton é maior que o do fóton .
Passo 2
Letra b)
A energia de um fóton é dada por:
Rearrumando:
Quanto maior a energia do fóton, menor seu comprimento de onda.
Como a energia de é maior que a de , o comprimento de onda de é menor que o de .
Resposta
Letra a)
O momento do fóton é maior que o do fóton .
Letra b)
O comprimento de onda do fóton é menor que o do fóton .
Exercício Resolvido #7
Em condições ideais, o sistema de visão humano é capaz de perceber uma luz com um comprimento de onda de se os fótons dessa luz forem absorvidos pela retina à razão de pelo menos fótons por segundo.
Qual é a potência luminosa absorvida pela retina nessas condições?
Passo 1
Digamos que a potência luminosa absorvida pela retina é de . Como , isso significa que a retina absorve uma energia de a cada segundo.
Se cada fóton tiver uma energia de , então o número de fótons absorvidos em um segundo vai ser:
Pelo enunciado, sabemos que , o que nos dá:
Passo 2
Agora, precisamos encontrar a energia de cada fóton.
A energia de fóton vai ser:
O valor do comprimento de onda é dado pelo enunciado, e e são constantes:
Onde passamos todos os valores para Joules, metros e segundos.
Resposta
Exercício Resolvido #8
Uma lâmpada de sódio de () irradia energia uniformemente em todas as direções.
- Quantos fótons por segundo são emitidos pela lâmpada?
- A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à taxa de ?
- Qual é o fluxo de fótons (fótons por unidade de área e por unidade de tempo) em uma pequena tela situada a da lâmpada?
Passo 1
Letra a)
A potência da lâmpada é de .
A energia individual de cada fóton é:
Onde:
A taxa de emissão de fótons vai ser:
Passo 2
Letra b)
Como a lâmpada irradia luz uniformemente em todas as direções, isso significa que a luz se espalha numa esfera com centro na fonte de luz.
A superfície de uma esfera é dada por:
Assim, o número de fótons emitidos por unidade de tempo por unidade de área vai ser:
Passo 3
Nós queremos achar a distância correspondente a um fluxo de fótons de .
Rearranjando a fórmula e substituindo os valores:
Passo 4
Letra c)
Para uma distância de da fonte luminosa, o fluxo de elétrons vai ser:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
Exercício Resolvido #9
Um detector de luz possui uma área útil de e absorve da luz incidente, cujo comprimento de onda é . O detector é colocado diante de uma fonte luminosa isotrópica, a da fonte.
A Fig.38-24 mostra a energia emitida pela fonte em função do tempo . A escala do eixo vertical é definida por e a escala do eixo horizontal é definida por .
Quantos fótons por segundo são absorvidos pelo detector?
Passo 1
Vamos fazer um passo a passo partindo da fonte luminosa até chegar ao olho.
A potência da fonte é a energia que ela emite por unidade de tempo, ou seja:
Pela escala do gráfico, corresponde a .
Passo 2
Como a fonte é uma fonte isotrópica, a luz se espalha uniformemente em todas as direções, descrevendo uma esfera com centro na fonte.
Assim, a potência luminosa se espalha ao longo de uma esfera, e a intensidade será:
Onde é a distância que a luz percorre.
Passo 3
A mesma intensidade atinge o detector.
A área do detector é .
Porém, de toda essa potência que atinge o detector, apenas é absorvida. A potência absorvida é:
Passo 4
A taxa de fótons absorvidas vai ser a taxa de energia absorvida (a potência) dividida pela energia individual dos fótons.
A energia de cada fóton é:
Onde: