Transformada de Lorentz para a Velocidade

Teoria Completa

Novamente, o sistema de referência S ' se move em relação a um segundo sistema de referência S com velocidade u na direção + x .

Por definição, a velocidade no referencial S ' é dada por:

v x ' = d x ' d t '

A partir das Transformações de Lorentz pra Espaço e Tempo podemos dizer que:

d x ' = γ d x - u   d t

d t ' = γ ( d t - u   d x / c 2 )

Daqui, fazendo a divisão e organizando os termos direito, o que vamos encontrar é o seguinte:

v x ' = v x - u 1 - u   v x / c 2

Podemos usar exatamente o mesmo raciocínio para calcular todas as outras velocidades, por exemplo:

v y ' = d y ' d t '

v z ' = d z ' d t '

v x = d x d t

v y = d y d t

v z = d z d t

Mas pra não quebrarmos ainda mais a cabeça com isso, vou te colocar na boa:

  • Transformação de S (em repouso) para S ' (em movimento):
  • v x ' = v x - u 1 - u v x c 2

    v y ' = v y γ 1 - u v x c 2

    v z ' = v z γ 1 - u v x c 2

    T r a n s f o r m a ç õ e s   d e   L o r e n t z   p a r a   a   v e l o c i d a d e

  • Transformação de S ' (em movimento) para S (em repouso):

v x = v x ' + u 1 + u v x ' c 2

v y = v y ' γ 1 + u v x ' c 2

v z = v z ' γ 1 + u v x ' c 2

T r a n s f o r m a ç õ e s   d e   L o r e n t z   p a r a   a   v e l o c i d a d e

Novamente, nas situações em que u ≪ c , γ → 1 , e as Transformações de Lorentz se tornam as transformações de Galileu.

Obs.: Você precisa tomar cuidado pra não confundir as velocidades u e v x , por exemplo. A velocidade u é a velocidade com a qual o referencial S ' se move em relação ao referencial S . Enquanto a velocidade v x é a velocidade no eixo x de um evento observado no referencial S e v x ' é a velocidade no eixo x de um evento observado no referencial S ' .

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 179-29.

Uma partícula está se movendo ao longo do eixo x ' do referencial S ' com uma velocidade 0,4 c . O referencial S ' está se movendo com uma velocidade de 0,6 c em relação ao referencial S . Qual é a velocidade da partícula no referencial S ?

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Passo 1

O enunciado nos deu a velocidade v x ' da partícula no referencial S ' e a velocidade relativa u entre os dois referenciais. Agora já podemos nos virar sozinhos.

A velocidade da partícula no referencial S será dada por:

v x = v x ' + u 1 + u v x ' c 2

Onde:

v x ' = 0,4 c

u = 0,6 c

Substituindo esses caras na expressão da velocidade, teremos:

v x = 0,4 c + 0,6 c 1 + 0,6 c × 0,4 c c 2

v x ≅ 0,81 c

Ou:

v x ≅ 2,43 × 10 8   m / s

Resposta

v x ≅ 0,81 c = 2,43 × 10 8   m / s

Exercício Resolvido #2

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37.

Duas partículas são produzidas em um acelerador de partículas de alta energia e se afastam em sentidos opostos.

A velocidade de uma das partículas, medida no laboratório, é igual a 0,650 c , e a velocidade relativa entre as duas é de 0,950 c .

Qual é o módulo da velocidade da outra partícula, medida no laboratório?

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Passo 1

Vamos começar identificando os nossos referenciais em repouso S e em movimento S ' .

Nesse caso, o nosso referencial em repouso S é o laboratório, e vamos adotar o nosso referencial em movimento S ' como sendo uma das partículas em movimento.

Assim, o problema já nos diz o valor da velocidade entre os dois referenciais u e, quando ele diz “velocidade relativa”, na verdade já está nos dizendo a velocidade medida no referencial em movimento S ' , nesse caso, v x ' .

Passo 2

Trata-se de um problema de Transformações de Lorentz para a velocidade.

Como queremos determinar a velocidade da outra partícula em relação ao laboratório (referencial em repouso), queremos calcular v x , dado por:

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

Vale lembrar que, como as duas partículas estão se deslocando em sentidos opostos, vamos adotar que u possui um sinal negativo (se deslocando no sentido negativo do eixo x ), e que v x ' possui sinal positivo (se deslocando no sentido positivo do eixo x ).

Passo 3

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

Onde:

v x ' = 0,950 c ;

u = - 0,650 c ;

Logo:

v x = 0,950 c - 0,650 c 1 - 0,950 c × 0,650 c c 2

v x = 0,3 c 1 - 0,6175 = 0,3 c 0,3825

v x = 0,784 c

Resposta

0,784 c

Exercício Resolvido #3

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37.

Uma espaçonave da Armada Imperial se desloca com velocidade elevada em relação ao planeta Arrakis e dispara um foguete na direção do planeta com uma velocidade de 0,920 c em relação à espaçonave.

Um observador na superfície da Arrakis verifica que o foguete está se aproximando com velocidade de 0,360 c .

Qual é a velocidade da espaçonave em relação ao planeta Arrakis?

A espaçonave está se aproximando ou se afastando de Arrakis?

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Passo 1

Vamos começar identificando os nossos referenciais em repouso S e em movimento S ' .

Nesse caso, o nosso referencial em repouso S é o planeta Arrakis, e o nosso referencial em movimento S ' é a espaçonave que dispara o foguete.

Assim, o problema já nos diz o valor da velocidade do foguete em relação à espaçonave v x ' , medida no referencial em movimento S ' , e a velocidade medida no referencial em repouso S , nesse caso, v x .

Passo 2

Trata-se de um problema de Transformações de Lorentz para a velocidade.

Como queremos determinar a velocidade entre a espaçonave e o planeta Arrakis, queremos calcular u . Para isto, podemos usar a seguinte equação.

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

Nesse caso, vamos supor que tanto a espaçonave quanto o foguete estão se deslocando no mesmo sentido. Assim, adotaremos o mesmo sinal para ambas as velocidades (positivo).

Se no final das contas o valor que acharmos para u for positivo, significa que a nossa hipótese está correta. Se o valor de u for negativo, significa que, a espaçonave está, na verdade, se afastando do planeta, ok?

Passo 3

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' / c 2

Onde:

v x = 0,360 c ;

v x ' = 0,920 c ;

Logo:

0,360 c = 0,920 c + u 1 + u   0,920 c c 2

0,360 c   1 + 0,920 u c = 0,920 c + u

0,360 c + 0,3312 u = 0,920 c + u

u - 0,3312 u = 0,360 c - 920 c

0,6688 u = - 0,560 c

u = - 0,837 c

Reforçando o que dissemos anteriormente quando fizemos a nossa hipótese, como achamos um valor negativo para u , significa que, na verdade, a nave está se afastando do planeta Arrakis.

Resposta

- 0,837 c ;

A espaçonave está se afastado de Arrakis;

Exercício Resolvido #4

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37.

Uma nave do planeta Tatooine está tentando alcançar um cruzador da Federação do Comércio. Em relação a um observador em Tatooine, o cruzador está se afastando do planeta com uma velocidade de 0,600 c .

A nave está se deslocando com uma velocidade de 0,800 c em relação a Tatooine, no mesmo sentido que o cruzador.

  1. Para a nave alcançar o cruzador, a velocidade do cruzador em relação a ela deve ser positiva ou negativa?
  2. Qual é a velocidade do cruzador em relação à nave?
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Passo 1

a) Para a nave alcançar o cruzador, a velocidade do cruzador em relação a ela deve ser positiva ou negativa?

Para que a nave alcance o cruzador, é necessário que, do referencial da nave, o cruzador esteja se aproximando.

Ou seja, a velocidade do cruzador em relação à nave deve ser negativa, considerando positivo o sentido em que o cruzador e a nave se movem em relação ao planeta Tatooine.

Passo 2

b) Qual é a velocidade do cruzador em relação à nave?

O primeiro passo é sempre definir quem são os referenciais em repouso e em movimento.

Nesse caso, estamos interessados em descobrir a velocidade do cruzador em relação à nave.

Assim, a nave é o nosso referencial em movimento S ' e o planeta Tatooine é o nosso referencial em repouso S .

Passo 3

Trata-se de um problema de Transformação de Lorentz para a velocidade.

O problema nos dá a velocidade u da nave em relação ao planeta (referencial em repouso), e a velocidade v x do cruzador em relação ao planeta.

Portanto, para encontrarmos a velocidade v x ' do cruzador em relação à nave (referencial em movimento), temos que fazer uma transformação do referencial S (em repouso) para o referencial S ' (em movimento), dada por:

v x ' = v x - u 1 - u   v x / c 2

Passo 4

v x ' = v x - u 1 - u   v x / c 2

Onde:

v x = 0,600 c ;

u = 0,800 c ;

Logo:

v x ' = 0,6 c - 0,8 c 1 - 0,8 c × 0,6 c c 2

v x ' = - 0,2 c 1 - 0,48 = - 0,2 c 0,52

v x ' = - 0,385 c