Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

Teoria Completa

Como adotamos desde o início, o sistema de referência S ' se move em relação a um segundo sistema de referência S com velocidade u .

Para um observador no referencial S ' um evento ocorre nas coordenadas x ' , y ' , z ' , t ' , enquanto para o observador no referencial S , o mesmo evento ocorre nas coordenadas x , y , z , t .

A questão é: qual a relação entre os dois sistemas de coordenadas?

Transformação de Galileu

Antes de começar a estudar relatividade, se tivéssemos que estabelecer a relação entre as coordenadas, usaríamos as Transformações de Galileu, dadas por:

x ' = x - u t

t ' = t

“Sério que esse cara está falando que as transformações que eu usei a vida toda estão erradas?!”

Calma... as Transformações de Galileu podem ser perfeitamente utilizadas quando u ≪ c , vou te mostrar isso no final desse capítulo, pode cobrar.

Transformação de Lorentz para as coordenadas

O referencial S ' se move em relação ao referencial S com velocidade u no sentido + x . Assim, as coordenadas y e z permanecem as mesmas nos dois referenciais.

Como estamos interessados em saber a relação entre as coordenadas de S ' e S , eu vou pular a parte da dedução, então você precisa confiar em mim, ok?

A relação entre x e x ' é dada por:

x ' = γ x - u t

x = γ x ' + u t '

Lembrando que:

γ = 1 1 - u 2 c 2 = 1 1 - β 2

Para achar a relação entre t e t ' , bastaria isolar x ' ou x das duas equações igualá-las, assim:

x ' = γ x - u t = ⏟ D a   p r i m e i r a e q u a ç ã o - u t ' + x / γ     ⏟ D a   s e g u n d a e q u a ç ã o

O resultado é o seguinte:

t ' = γ t - u x / c 2

Fazendo o mesmo para x , encontraremos:

t = γ t ' + u x ' / c 2

Bom, pra simplificar a nossa vida, se liga no resumão abaixo.

  • Transformação de S (em repouso) para S ' (em movimento):
  • x ' = γ x - u t

    y ' = y

    z ' = z

    t ' = γ t - u x / c 2

    T r a n s f o r m a ç õ e s   d e   L o r e n t z   p a r a   a s   c o o r d e n a d a s

  • Transformação de S ' (em movimento) para S (em repouso):

x = γ x ' + u t '

y = y '

z = z '

t = γ t ' + u x ' / c 2

T r a n s f o r m a ç õ e s   d e   L o r e n t z   p a r a   a s   c o o r d e n a d a s

Ah, é! Sobre as transformações de Galileu, olha só: nas situações em que u ≪ c , γ → 1 , as Transformações de Lorentz se tornam as transformações de Galileu.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P2-2012.1-ME01

Num referencial parado na Terra, dois estudantes de Física IV, que têm coordenadas espaciais dadas por x 1 = 300 m , x 2 = 600 m , y 1 = y 2 = 0 , z 1 = z 2 = 0 , emitem dois sinais luminosos separados por um intervalo de tempo igual a t = 10 - 6 s .

Outro estudante está numa nave que se desloca em relação à Terra com velocidade igual a v → = 0,6 c   x ^ .

As origens dos dois sistemas coincidem para t = t ' = 0 .

Qual a distância e o intervalo de tempo medidos por este estudante que está na nave, entre os dois sinais emitidos?

  1. 10 8 × 10 - 6 s ;   375 m
  2. 0,5 × 10 - 6 s ;   240 m
  3. 0,5 × 10 - 6 s ;   150 m
  4. 8 10 × 10 - 6 s ;   240 m
  5. 8 10 × 10 - 6 s ;   375 m
  6. Nenhuma das anteriores
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Passo 1

De acordo com as transformações de Lorentz para o espaço de um referencial em repouso para um referencial em movimento:

x ' = γ ( x - u t )

A variação de espaço Δ x ' é dada por:

Δ x ' = γ ( Δ x - u Δ t )

Passo 2

Vamos começar calculando γ .

γ = 1 1 - u 2 c 2

Onde u = 0,6 c . Logo:

γ = 1 1 - 0,6 c c 2 = 1 1 - 0,36 = 1 0,64 = 1 0,8

γ = 10 8 = 1,25

Passo 3

Δ x ' = γ ( Δ x - u Δ t )

Onde:

γ = 1,25 ;

Δ x = 300   m ;

Δ t = 10 - 6   s ;

u = 0,6 c ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Logo:

Δ x ' = 1,25 × 300 - 0,6 × 3 × 10 8 × 10 - 6

Δ x ' = 150   m

Passo 4

De acordo com as transformações de Lorentz para o tempo de um referencial em repouso para um referencial em movimento:

t ' = γ t - u x c 2

Logo, o intervalo de tempo é dado por:

Δ t ' = γ Δ t - u Δ x c 2

Onde:

γ = 1,25 ;

Δ t = 10 - 6 ;

u = 0,6 c ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

Δ x = 300   m ;

Logo:

Δ t ' = 1,25 10 - 6 - 0,6 × 3 × 10 8 × 300 ( 3 × 10 8 ) 2

Δ t ' = 0,5 × 10 - 6   s

Resposta

Letra (c): 0,5 × 10 - 6 s ;   150 m

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 181-64.

A figura abaixo mostra uma nave (cujo referencial é S ' ) passando por um observador (cujo referencial é S ) com velocidade v → = 0,95 c   i → .

Um próton é emitido com uma velocidade de 0,98 c ao longo da maior dimensão da nave, a proa para a popa. O comprimento próprio da nave é 760 m .

Determine a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave a de acordo com um passageiro da nave e b de acordo com um observador estacionário no referencial S .

Suponha que o percurso do próton, em vez de ser da proa para a popa, seja da popa para a proa. Nesse caso, qual é a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave c de acordo com um passageiro da nave e d de acordo com um observador estacionário no referencial S ?

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Passo 1

a Determine a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave de acordo com um passageiro da nave.

De acordo com o referencial do passageiro, o intervalo de tempo medido (no referencial S ' ) será:

Δ t ' = Δ x ' 0,98 c = 760 0,98 × 3 × 10 8

Δ t ' = 2,59 × 10 - 6   s

Δ t ' = 2,59   μ s

Passo 2

b Determine a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que chegou à popa da nave de acordo com um observador estacionário no referencial S .

Usando a transformação de Lorentz para o tempo, do referencial S ' (em movimento) para S (em repouso), teremos:

Δ t = γ Δ t ' + v Δ x ' c 2

Vamos começar calculando o fator de Lorentz, dado por:

γ = 1 1 - v c 2

Obs.: É importante ressaltar que a velocidade v é a velocidade relativa entre os dois referenciais. Logo, é ela que devemos usar para calcular o fator de Lorentz.

γ = 1 1 - 0,95 c c 2