Efeito Doppler – Frequência e Comprimento de Onda

Teoria Completa

Já estudamos esse efeito, só que para ondas sonoras.

Agora, no caso da luz, por ela não precisar de um meio para se propagar, o efeito depende apenas da velocidade relativa entre a fonte e o detector.

Fonte e detector se afastando

Se uma fonte que está emitindo ondas luminosas de frequência f 0 se afasta em linha reta de um detector com velocidade u (e, portanto, com parâmetro de velocidade β = u c ), a frequência f medida pelo detector será dada por:

f = f 0 1 - β 1 + β  

A frequência f 0 é chamada de frequência própria da fonte, ou seja, a frequência medida por um detector em repouso em relação à fonte.

Fonte e detector se aproximando

Para um detector que está se aproximando da fonte, é só substituir β por – β . Isso acontece porque nós consideramos u positivo quando o detector está se afastando da fonte, e u negativo quando o observador está se aproximando da mesma.

Portanto, a frequência f medida pelo detector será dada por:

f = f 0 1 + β 1 - β  

Ou seja, os sinais da equação são simplesmente invertidos.

Efeito Doppler em baixas velocidades

Para o caso de β ≪ 1 , a frequência f medida por um detector que está se afastando da fonte será dada por:

f = f 0 1 - β + 1 2 β 2

Novamente, para um detector se aproximando da fonte, basta substituir β por – β . Assim, a frequência f medida pelo detector será dada por:

f = f 0 1 + β + 1 2 β 2

Efeito Doppler e Comprimento de Onda

Vamos começar supondo que estamos observando uma estrela que se movimenta com velocidade u , de forma a se afastar da gente.

Nesse caso, se β ≪ 1 , podemos dizer:

f = f 0 1 - β + 1 2 β 2

Considerando β suficientemente pequeno, podemos até ignorar o termo ao quadrado e obter:

f = f 0 1 - β

Substituindo f por c λ , temos:

c λ = c λ 0 . ( 1 - β )

λ = λ 0 1 - β - 1

Lembre-se: essa situação é válida apenas para casos em que β é muito pequeno. Assim, fazendo uma expansão em série de potências, chegaremos à seguinte expressão:

λ = λ 0 1 + β

β = λ - λ 0 λ 0

Substituindo β por u c e λ - λ 0 por Δ λ , temos:

u = Δ λ λ 0 c

v e l o c i d a d e   d a   f o n t e

Essa equação é válida para os casos em que u ≪ c .

Onde Δ λ é o chamado deslocamento Doppler, usamos seu valor absoluto para que ele seja sempre positivo. Além disso, λ 0   é o comprimento de onda próprio, dado pela fórmula:

λ 0 = c f 0

Quando tivermos que λ > λ 0 , a fonte está se afastando do detector e o deslocamento Doppler é chamado de deslocamento para o vermelho.

Quando tivermos que λ < λ 0 , a fonte está se aproximando do detector e o deslocamento Doppler é chamado de deslocamento para o azul.

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 176-8.

Um astronauta está a bordo de uma espaçonave e detecta sinais transmitidos por quatro naves de salvamento que estão se aproximando ou se afastando em linha reta. Os sinais têm a mesma frequência própria f 0 .

As velocidades e direções das naves de salvamento em relação ao astronauta são a 0,3 c se aproximando; b 0,6 c se aproximando; c   0,3 c se afastando; d   0,6 c se afastando.

Coloque as naves de salvamento na ordem das frequências recebidas pelo astronauta, começando pela maior.

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Passo 1

a 0,3 c se aproximando;

De acordo com a equação de efeito Doppler, quando a nave está se aproximando, a frequência recebida pelo astronauta será:

f a = f 0 1 + β 1 - β  

Onde β = u / c = 0,3 . Logo:

f a = f 0 1 + 0,3 1 - 0,3  

f a = 1,36 f 0

Passo 2

b 0,6 c se aproximando;

De acordo com a equação de efeito Doppler, quando a nave está se aproximando, a frequência recebida pelo astronauta será:

f b = f 0 1 + β 1 - β  

Onde β = u / c = 0,6 . Logo:

f b = f 0 1 + 0,6 1 - 0,6  

f b = 2 f 0

Passo 3

c   0,3 c se afastando;

De acordo com a equação de efeito Doppler, quando a nave está se afastando, a frequência recebida pelo astronauta será:

f c = f 0 1 - β 1 + β  

Onde β = u / c = 0,3 . Logo:

f c = f 0 1 - 0,3 1 + 0,3  

f c = 0,73 f 0

Passo 4

d   0,6 c se afastando.

De acordo com a equação de efeito Doppler, quando a nave está se afastando, a frequência recebida pelo astronauta será:

f d = f 0 1 - β 1 + β  

Onde β = u / c = 0,6 . Logo:

f d = f 0 1 - 0,6 1 + 0,6  

f d = 0,5 f 0

Assim, a ordem das frequências recebidas pelo astronauta, começando pela maior, será:

f b > f a > f c > f d

Resposta

f b > f a > f c > f d

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 179-34.

Certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia da constelação da Virgem são 0,4 % maiores que a luz correspondente produzida por fontes terrestres.

a Qual é a velocidade radial dessa galáxia em relação à Terra?

b A galáxia está se aproximando ou se afastando da Terra?

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Passo 1

a Qual é a velocidade radial dessa galáxia em relação à Terra?

A equação que relaciona os comprimentos de onda com a velocidade é dada por:

u = Δ λ λ 0 c

Quando o enunciado diz que “certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia são 0,4% maiores que a luz produzida por fontes terrestres”, no fundo o que ele está nos dizendo é que:

Δ λ λ 0 = 0,4 % = 0,004

Portanto:

u = 0,004 × 3 × 10 8

u = 1,2 × 10 6   m / s

Passo 2

b A galáxia está se aproximando ou se afastando da Terra?

O enunciado diz que “certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia são 0,4% maiores que a luz correspondente produzida por fontes terrestres”.

A luz correspondente seria uma que teria mesmo comprimento de onda.

Isso significa que o comprimento de onda λ que a gente detecta é maior que o comprimento de onda λ 0 da fonte, na outra galáxia (da constelação de Virgem).

λ > λ 0

Isso significa que a galáxia está se afastando da Terra e o deslocamento Doppler é chamado de deslocamento para o vermelho.

Resposta

a

u = 1,2 × 10 6   m / s

b

A galáxia está se afastando da Terra.

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P2-2013.2-4ii

I I

Uma nave espacial emite luz com comprimento de onda 700   n m e se desloca com velocidade 0,210   c , onde c é a velocidade da luz, em relação a um observador postado ao longo da direção de sua velocidade. Calcule o comprimento de onda medido por esse observador para o caso de aproximação e depois de afastamento.

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Passo 1

Vamos começar determinando o comprimento de onda medido pelo observador no caso em que a nave se afasta do observador com 0,210   c .

Para isso, precisamos lembrar da seguinte fórmula:

f = f 0 .   1 - β 1 + β

Onde β = u / c , sendo u a velocidade do observador em relação à fonte. Além disso, f será a frequência medida pelo observador e f 0 a frequência própria da fonte.

Passo 2

Lembrando que f = c / λ , temos:

c λ = c λ 0 .   1 - β 1 + β

λ = λ o .   1 + β 1 - β

No caso em que a fonte e o observador estão se afastando, temos:

λ = λ o .   1 + β 1 - β

λ = 700 × 10 - 9 .   1 + 0,210   c c 1 - 0,210   c c

λ = 866,3 × 10 - 9   m

λ a f a s t = 866,3   n m

Passo 3

Para o caso em que a fonte e o observador estão se aproximando, iremos utilizar a seguinte fórmula:

λ = λ o .   1 - β 1 + β

Veja que é a mesma fórmula que usamos antes, a única diferença é que temos sinais diferentes!

Substituindo os valores, temos:

λ = 700 × 10 - 9 .   1 - 0,210   c c 1 + 0,210   c c

λ = 565,6 × 10 - 9 m

λ a p r o x = 565,6   n m

Resposta

λ a f a s t = 866,3   n m

λ a p r o x = 565,6   n m

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 179-35.

Supondo que a equação abaixo possa ser aplicada, determine com que velocidade um motorista teria que passar por um sinal vermelho para que ele parecesse verde. Tome 620   n m como o comprimento de onda da luz vermelha e 540   n m como o comprimento de onda da luz verde.

v = Δ λ λ 0 c

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Passo 1

Utilizando a expressão acima, teremos:

λ 0 = 620   n m

λ = 540   n m

c = 3 × 10 8   m / s

Assim, a velocidade será dada por:

v = 620 - 540 620 × 3 × 10 8

v = 3,87 × 10 7 m / s

Resposta

v = 3,87 × 10 7 m / s

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 183-78.

Um transmissor de radar T está em repouso em um referencial S ' que se move para a direita com velocidade v em relação ao referencial S .

Um contador mecânico (que pode ser considerado um relógio) do referencial S ' , com um período τ 0 (no referencial S ' ), faz com que o transmissor T emita pulsos de radar que se propagam com a velocidade da luz e são recebidos por R , um receptor no referencial S .

a Qual é o período τ do contador do ponto de vista do observador A , que está em repouso no referencial S ?

b Mostre que no receptor R no intervalo de tempo entre os pulsos recebidos não é τ nem τ 0 , mas

τ R = τ 0 c + v c - v .

c Explique por que o receptor R e o observador A , que estão em repouso no mesmo referencial, medem um período diferente para o transmissor T . (Sugestão: Um relógio e um pulso de radar não são a mesma coisa.)

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Passo 1

a Qual é o período τ do contador do ponto de vista do observador A , que está em repouso no referencial S ?

O período marcado pelo observador no referencial S pode ser calculado através da equação de dilatação do tempo:

τ = γ τ 0

τ = τ 0 1 - u 2 c 2

Passo 2

b Mostre que no receptor R no intervalo de tempo entre os pulsos recebidos não é τ nem τ 0 , mas τ R = τ 0 c + v c - v .

O período τ R , por definição, é igual ao inverso da frequência, logo:

τ R = 1 f R

A frequência é dada pela equação do efeito Doppler, logo:

f R = f 0 1 - β 1 + β  

Substituindo β por v / c , teremos:

f R = f 0 1 - v / c 1 + v / c  

f R = f 0 c - v c + v  

Assim, o período τ R será:

τ R = 1 f R = 1 f 0 c + v c - v  

Onde τ 0 = 1 / f 0 :

τ R = τ 0 c + v c - v .

Passo 3

c Explique por que o receptor R e o observador A , que estão em repouso no mesmo referencial, medem um período diferente para o transmissor T .

O efeito Doppler combina dois fenômenos físicos: a dilatação do tempo devido ao fato da fonte se movimentar com altas velocidades e as diferenças de tempo de viagem envolvidas na emissão periódica. Assim, não basta analisar os dois referenciais, os resultados desses fenômenos variam localmente.

Resposta

a

τ = τ 0 1 - u 2 c 2

Exercício Resolvido #6

PUCRIO-P3-2012.2-1i

A galáxia NGC 7319 está a aproximadamente 3,0 × 10 8 anos-luz da Terra. A análise do espectro luminoso emitido por essa galáxia mostra um pico de intensidade no comprimento de onda λ = 525   n m . Essa emissão no laboratório terrestre tem comprimento de onda 513   n m . Considere tal efeito devido exclusivamente ao efeito Doppler.

a ) Determine a velocidade radial dessa galáxia em relação à Terra e diga se ela está se aproximando ou se afastando do nosso planeta. Justifique sua resposta.

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Passo 1

Vamos lá...

Primeira coisa que precisamos aqui é saber qual é o comprimento de onda recebido λ r e c e qual o comprimento de onda próprio, que realmente é emitido pela fonte λ .

Olhando o nosso enunciado, temos que uma análise do espectro luminoso emitido por essa galáxia mostra um pico de intensidade no comprimento λ = 525 n m . Essa análise foi feita com o espectro que foi emitido da galáxia. Mas concorda comigo que ninguém foi lá na galáxia medir o comprimento, né... Então esse é o nosso λ r e c !

λ r e c = 525 n m

E o comprimento próprio emitido pela fonte... como podemos saber, se ninguém vai lá na galáxia medir? Aí que entra o experimento: Recriaram essa emissão, em um laboratório terrestre, e mediram o comprimento de onda. Como foi recriado a emissão, esse comprimento medido é igual ao comprimento próprio (isso considerando que deu tudo certo no experimento rs). Aí está o nosso comprimento próprio λ 0 !

λ 0 = 513 n m

Agora que analisamos o enunciado, bora pra questão!

Passo 2

Então, para determinar a velocidade da galáxia, podemos utilizar a seguinte relação:

v = Δ λ λ 0 .   c

v = λ r e c - λ 0 λ 0 . c

Substituindo os valores, temos:

v = 525 - 513 513 . c

v = 0,023 . c

Podemos perceber que λ r e c > λ 0 , portanto, a galáxia está se afastando da Terra.

Resposta

v = 0,023 .   c

A fonte está se afastando.

Exercício Resolvido #7

PUCRIO-P3-2013.1-1a

As estrelas emitem uma luz com comprimento de onda 656,3   n m   produzida por átomos de Hidrogênio na estrela.

a ) Calcule o comprimento de onda λ r e c dessa luz recebido na Terra, supondo que a estrela se afasta da Terra com velocidade 0,001   c . Considere tal efeito devido exclusivamente ao efeito Doppler. Justifique sua resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Normalmente, as fórmulas de efeito Doppler Relativísco determinam frequência, no entanto, caso a velocidade da fonte seja muito menor que a velocidade da luz, que é o caso da estrela que se afasta da Terra, temos a seguinte aproximação, quenos dará diretamente o comprimento de onda :

v = Δ λ λ 0 .   c

Substituindo os valores, temos:

0,001 . c = λ r e c - 656,3 656,3 . c

λ r e c = 656,3 + 0,6563

λ r e c = 656,96   n m

Podemos perceber que λ r e c > λ 0 , o que é de se esperar, visto que a fonte está se afastando.

Resposta

λ r e c = 656,96   n m

A fonte está se afastando.

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