Exercícios Resolvidos de Formas Bilineares

Callioli, C.A; Domingues, H.H. e Costa, R.C.F., Álgebra Linear e Aplicações, 4a. edição, São Paulo, Atual, 1983.

Passo 1

Mais um exercício de provar coisas . Dessa vez temos que mostrar que algumas certas funções são formas bilineares, mais especificamente, se forem dadas f e g bilineares queremos mostrar que f + g e λ f são bilineares também.

Lembrando só que f + g é uma função tal que para todo x , temos que f + g x = f x + g ( x ) e do mesmo jeito λ f x = λ f ( x ) .

Então vamos ter que mostrar nossas velhas amigas:

  1. f u + λ w , v = f u , v + λ f ( w , v )
  2. f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Meio chato mas vamos lá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que f + g é bilinear.A eq. 1:

f + g u + λ w , v = f u + λ w , v + g u + λ w , v

Como f e g são bilineares, as relações 1 e 2, valem para elas separadamente, então:

f + g u + λ w , v = f u , v + λ f w , v + g u , v + λ g ( w , v )

f + g u + λ w , v = f + g u , v + λ ( f + g ) ( w , v )

Como queríamos.

Para a eq. 2 é a mesma coisa:

f + g u , v + λ w = f u , v + λ w + g ( u , v + λ w )

f + g u , v + λ w = f u , v + λ f u , w + g u , v + λ g ( u , w )

f + g u , v + λ w = f + g u , v + λ ( f + g ) ( u , w )

Pronto, já mostramos que as duas equações valem.

Passo 3

Agora vamos mostrar que λ f é bilinear, para não confundirmos as coisas vamos trocar o λ por k ok?

A eq.1:

k f u + λ w , v = k f u + λ w , v = k ( f u , v + λ f w , v )

Fazendo a didtributiva chegamos no que queremos:

k f u + λ w , v = k f u , v + λ ( k f ) ( w , v )

Do mesmo jeito:

k f u , v + λ w = k f u , v + λ w = k f u , v + λ f u , w = k f u , v + λ ( k f ) ( u , w )

Pronto

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